1、选择填空训练题：函数与导数的应用一、考情分析：函数与导数出现在选择填空题中基本上属于比较难的题型，因此在平时的训练过程中要注意梯度训练，不断地从基础题出发训练达到高考考题的要求，在一些函数中涉及到不常用函数的单调性、值域、最值及含参函数等问题时可以考虑使用导数求解。二、典例剖析：例 1已知函数 f(x)ax 3x1 的图像在点( 1，f(1) 处的切线过点( 2，7)，则 a_解析：因为 f(x)3ax 21，所以函数在点(1，f (1)，f (1)= 2a，即点(1，2a) 处的切线的斜率 kf( 1)3a1.又切线过点( 2， 7)，则经过点(1， 2a)，(2， 7) 的直线的斜率k ，
2、所以 3a1 ，解得 a1.2 a 71 2 2 a 71 2(1)切点既在切线上也在曲线上，曲线 在 处切线的斜率为 ；()fx00kfx(2)由两点 所确定的直线斜率为 。12,Pxy 21ykx例 2设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x)，且函数 y(1 x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)B函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)C函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)D函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)解析：结合图形可知：(1)当 x0，而 1x0，所以此时
3、f(x)0；(2)当20，所以此时 f(x)0 ，而 1 x2 时，y0，则函数 f(x)图像如下图：易知：函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)函数 在区间 上的导函数 ，则 在 上为增函数；,ab()0()fx,ab函数 在区间 上的导函数 ，则 在 上为减函数；()f fx例 3定义在 上的函数 f(x)，f( x)是它的导函数，且恒有 f(x) f Bf( 1)f D. f 0，sin xcos x令 g(x) ， ，f（x）sin x 2fi-cos=in0i则可知 g(x)在 上单调递增，(0， 2)由 g g ，g(1)g ，g g ，(3) (4) (6) (4)
4、(6)可知 A，B，C 错误，由 g g 可知 D 正确，故选 D.(3) (6)1、方法：构造函数法2、导数的运算性质： f(x)=f()x+f()g2f(x)f()-=g0g例 4设函数 f(x)e x(x33x 3) ae xx( x2)，若不等式 f(x)0 有解则实数 a 的最小值为_解析：f( x)0 可化为 ex(x3 3x3) ae xx0，ax 33x3 ，xex令 F(x)x 33x 3 ，则 F(x)3x 23 (x1)(3x3e x )，xex x 1ex令 G(x)3x 3e x ，则 G(x)3e x ，故当 ex 3，即 xln 3 时 ，G(x)3x3 ex 有
5、最小值 G(ln 3)3ln 363 0，(2 ln 3)故当 x2，1)时，F 0；(x) (x)故 F(x)有最小值 F(1)13 3 1 ，1e 1e故实数 a 的最小值为 1 .1e1、方法：利用分离参数法求参数的取值范围；2、构造函数利用导数求最值。3、难点：构造函数 G(x)3x3e x 确定导数 F(x)的符号，通过再次求导来实现；对于不常见函数的单调性、最值、符号等问题可以通过再次求导来实现。三、强化训练题：1设 f(x)xln x，若 f(x0)2，则 x0( )Ae 2 Be C. Dln 2ln 222设函数 f(x) ，则 f ( )xsin x ( 2)A B. C1
6、 D1 2 23如图，直线 l 是曲线 yf(x)在 x4 处的切线，则 f(4)( ) A. B3 C4 D5124已知函数 f(x) ，其导函数记为 f(x)， 则 f(2 016)f(2 016)f( 2 016)（x 1）2 sin xx2 1f(2 016) _ _5已知 f 是函数 f 的导数，f f 2xx 2，f ( )(x) (x) (x) (1) (2)A. B. C. D212 8ln 21 2ln 2 21 2ln 2 41 2ln 26函数 yxe x 在其极值点处的切线方程为_ _7函数 yx 2sin x 的导数为( )Ay2xcos xx 2sin x By2x
7、cos xx 2sin xCy2xsin xx 2cos x Dy2xsin xx 2cos x8设函数 yf(x) 的图像如图，则导函数 yf( x)的图像可能是下图中的( )10若曲线 y x2 与曲线 yaln x 在它们的公共点 P12e处具有公共切线，则实数 a( )(s， t)A2 B. C1 D21211函数 f(x)2ln xx 2bxa( b0，aR) 在点(b，f (b)处的切线斜率的最小值是_ _12函数 f(x)的定义域是开区间(a，b)，导函数 f(x)在(a，b)内的图像如图所示，则 f(x)在开区间 (a，b)内有极小值点( )A1 个 B2 个 C3 个 D4
8、个13函数 f(x) (2x3)e x 的单调递增区间是( )A. B(2，) C. D.( ， 12) (0， 12) (12， )14已知 f(x)3sin x x，对任意的 x ，给出以下四个结论：(0， 2)f(x )0； f(x)0；f (x)f ，且 f 1，则不等(x) (x) (x) (x) (0)式 g(x) Bf( x)g( a)0，b0，且函数 f(x)4x 3ax 22bx2 在 x1 处有极值，则 ab 的最大值等于( )A3 B6 C9 D227已知 f(x)为 R 上的可导函数，且x R ，均有 f(x)f( x)，则有( )Ae 2 016f(2 016)e 2
9、 016f(0)Be 2 016f(2 016) f(0)，f(2 016)e 2 016f(0)De 2 016f(2 016)f(0)，f(2 016)(1)3ln x1 的解集为 ( )A(1，) B(e，) C(0，1) D(0 ，e)34已知函数 f(x)的定义域为1，5 ，部分对应值如下表.x 1 0 4 5f(x) 1 2 2 1f(x)的导函数 yf(x)的图象如图所示下列关于函数 f(x)的命题：函数 yf(x) 是周期函数；函数 f(x)在0，2是减函数；如果当 x1，t时，f(x)的最大值是 2，那么 t 的最大值为4；当 1K) ln x 1exAK 的最大值为 BK
10、的最小值为1e 1eCK 的最大值为 2 DK 的最小值为 236若曲线 C1：y3x 4ax 36x 2 在 x1 处的切线与曲线 C2：ye x 在 x1 处的切线互相垂直，则实数 a 的值为_ _37如图，yf(x)是可导函数 ，直线 l：ykx2 是曲线 yf(x)在x3 处的切线，令 g(x)xf(x)，其中 g(x)是 g(x)的导函数，则 g(3)_ _38设函数 f(x)ln x ax2bx，若 x1 是 f(x)的极大值点，则 a12的取值范围为_ _39某商品每件成本 5 元，售价 14 元，每星期卖出 75 件如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数 m 与
11、商品单价的降低值 x(单位：元，0x0 时，f( x)xln x，则不等式 f(x)a，则实数 a 的取值范围是 _强化训练题答案：1设 f(x)xln x，若 f(x0)2，则 x0(B)Ae 2 Be C. Dln 2ln 22【解析】因 f(x)xln x，所以 f(x)ln x1.由 f(x0)ln x 012 解得 x0e.故选 B.2设函数 f(x) ，则 f ( C)xsin x ( 2)A B. C1 D1 2 2【解析】f(x) ，则 f 1，故选 C.sin x xcos xsin2x (2) 113如图，直线 l 是曲线 yf(x)在 x4 处的切线，则 f(4)(A)
12、A. B3 C4 D512【解析】直线过点 ， ，所以直线斜率(0， 3) (4， 5)k ，f (4) .12 124已知函数 f(x) ，其导函数记为 f(x)， 则 f(2 016)f(2 016)f( 2 016)（x 1）2 sin xx2 1f(2 016) _2_【解析】f(x)1 ，f (x)是偶函数，f(2 016)f(2 016)f(2 016)2x sin xx2 1f( 2 016) 2.5已知 f 是函数 f 的导数，f f 2xx 2，f (C)(x) (x) (x) (1) (2)A. B. C. D212 8ln 21 2ln 2 21 2ln 2 41 2ln
13、 2【解析】因为 f f 2xln 22x，所以 f f 2ln 22，解得 f(1) ，所(x) (1) (1) (1)21 2ln 2以 f 2xln 22x，所以 f 22ln 222 ，故选 C.(x)21 2ln 2 (2) 21 2ln 2 41 2ln 26函数 yxe x 在其极值点处的切线方程为_y _1e【解析】y(x1)e x，令 y0，得 x1，此时 y ，即极值点为 ，1e ( 1， 1e)函数在该点处的切线斜率为零，故切线方程为 y .1e7函数 yx 2sin x 的导数为(C)Ay2xcos xx 2sin x By2xcos xx 2sin xCy2xsin
14、xx 2cos x Dy2xsin xx 2cos x【解析】y(x 2sin x)(x 2)sin xx 2(sin x)2xsin xx 2cos x，故选 C.8设函数 yf(x) 的图像如图，则导函数 yf( x)的图像可能是下图中的(D)【解析】由 yf(x) 图象知，函数先增，再减，再增，对应的导数值，应该是先大于零，再小于零，最后大于 0.故选 D.10若曲线 y x2 与曲线 yaln x 在它们的公共点 P 处具有公共切线，则实数12e (s， t)a(C)A2 B. C1 D212【解析】根据题意可知：y x，y ，两曲线在点 P 处有公共的切线，所以1e ax (s， t
15、)s 即： s ，代入 aln s1e as ae s22e解得：a1，所以答案为 C.11函数 f(x)2ln xx 2bxa(b0，aR )在点(b，f(b) 处的切线斜率的最小值是_2 _2【解析】因为 f(x)2ln xx 2bxa，f(x) 2x b，所以2xk 2bb b2 ，当且仅当 b 时取等号，即 b 时，k 取得最小值为 2 .2b 2b 2 2b 2 212函数 f(x)的定义域是开区间(a，b)，导函数 f(x)在(a，b)内的图像如图所示，则 f(x)在开区间 (a，b)内有极小值点(A)A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【解析】设导函数 f(x)在(a，b)内的
16、图像与 x 轴的交点( 自左向右)分别为x1，x 2，x 3，x 4，其中 x10，x(x 1，x 2)时，f (x)0 且 f(x2)0，所以 x2 是函数 f(x)的极小值点；当 x(x 2，x 3)或 x(x 3，x 4)时，f(x)0 ，故 x3 不是函数 f(x)的极值点；当 x(x 3，x 4)时，f(x)0，而当 x(x 4，b)时，f(x)0，可得 x .(x) (2x 3) (2x 1) (x) (12， )14已知 f(x)3sin x x，对任意的 x ，给出以下四个结论：(0， 2)f(x )0； f(x)0；f (x)0，f (x)是增函数，从而得出结论17已知函数
17、f(x)x 3bx 2cxd( b，c，d 为常数)，当 x( 0，1)时取极大值，当x(1，2) 时取极小值，则 (c3) 2 的取值范围是(D)(b 12)2 A. B( ，5) C. D(5，25)(372， 5) 5 (374， 25)【解析】因为函数 f(x)x 3bx 2cxd 的导数为 f(x)3x 22bxc.又由于当 x(0，1)时取极大值，当 x(1，2) 时取极小值，所以 即f（1）0，f（2）2， )2b c 30，4b c 120.)因为 (c3) 2 表示点(b，c)到点 的距离的平方通过图形可得过点 A(b 12)2 ( 12， 3)最大，过点 B 最小，通过计算
18、可得 (c3) 2 的取值范围为 (5，25)故选 D.(b 12)2 18若函数 f(x) 在 x1 处取极值，则 a_3_x2 ax 1【解析】f ，f (x)在 x1 处取极值 ，(x)2x(x 1) (x2 a)(x 1)2 f 0，a3.(1)19函数 g(x)ax 32( 1a) x23ax(af ，且 f 1，则不等(x) (x) (x) (x) (0)式 f ，所以 F(x)0， 答案选 B.23设直线 xt 与函数 f(x) x2，g(x) ln x 的图象分别交于 M、N 两点，则当 MN 达到最小时 t 的值为_ _22【解析】由题意得：MN|t 2ln t |t 2ln
19、 t ，设 yt 2ln t(t0)则由 y2t 0 得：1tt ， 当 t ，y f ，当 t ，y0，yf ，所以当 MN 达22 (0， 22) ( 22) ( 22， ) ( 22)到最小时 t 的值为 .2224要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为 72 cm3，其底面两邻边长之比为12，则它的宽为_3_m_， 长为_6_m _，高为_4_m_时，可使表面积最小【解析】设两边分别为 x cm、2x cm，高为 y cm.V2x 2y72，y ，722x2S2(2x 22xyxy )4x 26xy4x 2 .216xS8x ，令 S0，解得 x3.216x225设函数 f(x)，
20、g(x)在a，b 上均可导，且 f(x)g(x) Bf(x)g(a) F(x)F(b)，经过整理，可知 B 是正确的，故选 B.26若 a0，b0，且函数 f(x)4x 3ax 22bx2 在 x1 处有极值，则 ab 的最大值等于(C)A3 B6 C9 D2【解析】f( x)12x 22ax2b，又因为在 x1 处有极值，ab6，a0，b 0，ab 9，(a b2 )2当且仅当 ab3 时取等号所以 ab 的最大值等于 9.27已知 f(x)为 R 上的可导函数，且x R ，均有 f(x)f( x)，则有(D)Ae 2 016f(2 016)e 2 016f(0)Be 2 016f(2 01
21、6) f(0)，f(2 016)e 2 016f(0)De 2 016f(2 016)f(0)，f(2 016)f(x)，并且 ex0，g(x)g(0)，g(2 016)f(0)， f（ 2 016）e 2 016 f（2 016）e2 016f(0)，f(2 016)0，当 xe 时，g( x)(1)3ln x1 的解集为 (D)A(1，) B(e，)C(0，1) D(0，e)【解析】令 ln xu，不等式即为 f(u)3u1，即 h(u)f(u)3u10，而 h(u)f (u)30 的解为 u1 时，而 1K) ln x 1exAK 的最大值为 BK 的最小值为1e 1eCK 的最大值为
22、2 DK 的最小值为 2【解析】因为 fK(x)f(x )，所以 Kf(x)在区间(0 ，)上恒成立，即 Kf (x)max，由f(x) 得 f(x) ，令 h(x)1xln xx，当 00，当 x1 时，h(x )0 ，函数 f(x)单调递增，在区间(1， )上， 函数 f(x)单调递减，所以当 x1 时，函数 f(x)有最大值，即 f(x)maxf(1) ，所以 K ，即 K 的最小值为 ，故选 B.1e 1e 1e36若曲线 C1：y3x 4ax 36x 2 在 x1 处的切线与曲线 C2：ye x 在 x1 处的切线互相垂直，则实数 a 的值为_ _13e【解析】因为曲线 C1：y3x
23、 4ax 36x 2，所以 y12x 33ax 212x，所以y 3a，又因为曲线 C2：ye x，所以 ye x，所以 y e，又因为曲线|x 1) |x 1)C1：y 3x4ax 36x 2 在 x 1 处的切线与曲线 C2：ye x 在 x1 处的切线互相垂直，所以3ae 1，解之得 a ， 故应填 .13e 13e37如图，yf(x)是可导函数 ，直线 l：ykx2 是曲线 yf(x)在 x3 处的切线，令 g(x)xf(x)， 其中 g(x)是 g(x)的导函数 ，则 g(3)_0_【解析】由题意直线 l：ykx 2 是曲线 yf(x) 在 x3 处的切线，由图像可知其切点为(3，1
24、)，代入直线方程得 k ，13f(3) ， g(x)(xf(x)xf(x)xf(x)f(x) xf(x) ，所以 g(3)f(3) 3f(3)1313 0.( 13)38设函数 f(x)ln x ax2bx，若 x1 是 f(x)的极大值点，则 a 的取值范围为12_(1，)_【解析】f(x) 的定义域为 (0，)，f (x) axb，1x依题意可得 f(1)1a b 0，解得 b1a.f(x) axa1 .1x ax2 1 ax xx(1)若 a0，当 00 ，f(x) 单调递增；当 x1 时，f (x)1，解得10 得 10 时，f( x)xln x，则不等式 f(x)0 时，f(x)ln x1，令 f(x)0， x ，当 0 时，f( x)0，f(x )单调递增，所以 f(x)极小1ef ， 且当 0e 时，f (x)e，由于(1e) 1e 1ef(x)是奇函数，所以当 x0 时，f ( x)0，f (x)是增函数；当 xa，则实数x22a 的取值范围是 _ _( ， 72)【解析】f(x)3x 2x2，令 f(x)0，得 3x2x20.解得 x1 或 x .23又 f(1) ，f ，72 ( 23) 15727f(1) ，f(2)7，112故 f(x)min .72a .72
