1、124.5 三角形的内切圆知识点 1 三角形内切圆的概念及性质12017广州 如图 2451 所示， O 是 ABC 的内切圆，则点 O 是 ABC 的( )图 2451A. 三条边的垂直平分线的交点B三条角平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点2下列说法错误的是( )A三角形的内心到三边的距离相等B一个三角形一定有唯一一个内切圆C一个圆一定有唯一一个外切三角形D等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆3教材例题变式 如图 2452 所示，在 ABC 中， A66，点 I 是内心，则 BIC 的度数为( )图 2452A. 114 B122 C123 D1324教材习题 24.5 第 2 题变式
2、 如图 2453，在 ABC 中，内切圆 I 与边BC， CA， AB 分别相切于点 D， E， F，若 A70，则 EDF_.2图 245352018湖州如图 2454，已知 ABC 的内切圆 O 与 BC 边相切于点 D，连接OB， OD.若 ABC40，则 BOD 的度数是_图 24546如图 2455， P 是 ABC 的内心，连接 PA， PB， PC， PAB， PBC， PAC 的面积分别为 S1， S2， S3，则 S1_S2 S3.(填“”“”或“”)图 2455知识点 2 作三角形的内切圆7为美化校园，学校准备在如图 2456 所示的三角形空地上修建一个面积最大的圆形花坛，
3、请在图中画出这个圆形花坛(保留作图痕迹，不要求写作法)图 24568如图 2457 所示， O 是 ABC 的内心，过点 O 作 EF AB，与 AC， BC 分别交于点E， F，则( )图 2457A EF AE BF B EF AE BF3C EF AE BF D EF AE BF9如图 2458， O 截 ABC 的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是( )图 2458A点 O 是 ABC 的内心B点 O 是 ABC 的外心C ABC 是等边三角形D ABC 是等腰三角形10九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是
4、：“今有直角三角形，如图 2459，勾(短直角边)长为 8 步，股(长直角边)长为 15 步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”( )图 2459A3 步 B5 步 C6 步 D8 步11如图 24510，在 ABC 中， AB AC， A40，延长 AC 到点 D，使 CD BC，点 P 是 ABD 的内心，则 BPC 的度数为( )图 24510A105 B110C130 D14512如图 24511，Rt ABC 的内切圆 O 切斜边 AB 于点 D，切 BC 于点 E， BO 的延长线交 AC 于点 M.求证： BOBC BDBM.图 24511413教材习题 24.5
5、 第 5 题变式 如图 24512， E 为 ABC 内一点， AE 的延长线交ABC 的外接圆 O 于点 D，且 DB DC DE.求证： E 为 ABC 的内心图 2451214如图 24513，在等腰三角形 ABC 中， CA CB， AD 是腰 BC 边上的高， ACD 的内切圆 E 分别与边 AD， BC 相切于点 F， G.(1)求证： AF BG；(2)过点 E 作 EH AB 于点 H，试探索线段 EH 与线段 AB 的数量关系，并说明理由图 24513515已知 ABC 的内切圆 O 与 AB， BC， AC 分别相切于点 D， E， F，若 ，如图EF DE 24514.(
6、1)判断 ABC 的形状，并证明你的结论；(2)设 AE 与 DF 相交于点 M，如图， AF2 FC4，求 AM 的长图 2451467教师详解详析1 B2 C3 C 解析 A66，ABCACB114.点 I 是内心，IBC ABC，ICB ACB，12 12IBCICB57，BIC18057123.故选 C.455 解析 连接 IE，IF，I 内切于ABC，IEAIFA90，EIF180A110.由圆周角定理，得EDF EIF55.12570 解析 ABC 的内切圆O 与 BC 边相切于点 D，OB 平分ABC，ODBC，OBD ABC 4020，12 12BOD90OBD70.6 解析
7、过点 P 作 PDAB 于点 D，PEAC 于点 E，PFBC 于点 F，P 是ABC 的内心，PDPEPF.S 1 ABPD，S 2 BCPF，S 3 ACPE，ABBCAC，12 12 12S 1S 2S 3.7解：如图所示的O.8 C 解析 连接 OA，OB，则 AO，BO 分别是CAB 与CBA 的平分线，EAOOAB.EFAB，EOAOAB，EOA EAO，AEEO.同理可得：FOBF，EFAEBF.故选 C.9 A 解析 如图，过点 O 作 OMAB 于点 M，ONBC 于点 N，OQAC 于点 Q.DEFGHK，OMONOQ，即点 O 到ABC 三边的距离相等，点 O 是ABC
8、的内心故选 A.810 C 解析 根据勾股定理得斜边长为 17，82 152则该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)半径 r 3(步)，则直径为 6 步故8 15 172选 C.11 D 解析 连接 PD，连接 AP 并延长交 BC 于点 E，ABAC，A40，ABCACB (180A)70.12CDCB，DCBD，而ACBDCBD，CBD ACB35，12ABD3570105.点 P 是ABD 的内心，AP 平分BAC，BP 平分ABD，AE 垂直平分 BC，PBD ABD52.5，12PBC52.53517.5.PE 垂直平分 BC，PBPC，PBCPCB17.5，BPC18017.517.5
9、145.12解析 连接 OD，证明BODBMC 即可证明：连接 OD，O 为 RtABC 的内切圆，D，E 均为切点，ODAB，OBDMBC.又C90，ODBC90，BODBMC， ，BOBM BDBC即 BOBCBDBM.13证明：连接 BE，DBDC， ，DB DC DABDACDBC，AD 为CAB 的平分线DBDE，DBEDEB，即DABABEDBCCBE，ABECBE，BE 平分ABC，E 为ABC 的内心14解：(1)证明：如图，设ACD 的内切圆E 与边 AC 相切于点 I，ACD 的内切圆E 与边 BC 相切于点 G，CICG.同理可得 AIAF.CACB，CICG，AIBG，
10、AFBG.9(2)EH AB.12理由：如图，过点 E 作 EHAB 于点 H，连接 AE，BE，CE，由E 是ACD 的内切圆可知ACEBCE.在ACE 和BCE 中，CA CB， ACE BCE，CE CE， )ACEBCE(SAS)，AECBEC，AEBE.E 是ACD 的内切圆的圆心，ADC90，AEC90 ADC135，12BECAEC135，AEB90.又AEBE，ABE 为等腰直角三角形EHAB 于点 H，EH AB.1215解：(1)ABC 为等腰三角形证明：ABC 的内切圆O 与 AB，BC，AC 分别相切于点 D，E，F，CFOCEOBDOBEO90.四边形的内角和为 360，EOFC180，DOEB180. ，EOFDOE，EF DE BC，ABAC，ABC 为等腰三角形(2)连接 OB，OC，OD，OF，如图，在等腰三角形 ABC 中，AEBC，E 是 BC 的中点，即 BECE.由题意得 AFAD4，CFCE2，BDBE，10BDCF2，DFBC， .AMAE AFAC 23AE 4 ，AC2 CE2 2AM4 .223 8 23
