1、学科：奥数 年级：初三 不分版本 期数：346本周教学内容：韦达定理及其应用【内容综述】设一元二次方程 有二实数根 ，则 ， 。这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数 a，b，c 的关系，称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。【要点讲解】1求代数式的值应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。例 1 若 a，b 为实数，且 ， ，求 的值。思路 注意 a，b 为方程 的二实根；（隐含 ） 。解 （1）当 a=b 时，；（2）当 时，由已知及根的定义可知，a
2、，b 分别是方程 的两根，由韦达定理得， ab=1.说明 此题易漏解 a=b 的情况。根的对称多项式 ， ， 等都可以用方程的系数表达出来。一般地，设 ， 为方程 的二根，则有递推关系。其中 n 为自然数。由此关系可解一批竞赛题。附加：本题还有一种最基本方法即分别解出 a，b 值进而求出所求多项式值，但计算量较大。例 2 若 ， 且 ，试求代数式 的值。思路 此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。解：因为 ，由根的定义知 m，n 为方程 的二不等实根，再由韦达定理，得，2构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一
3、元二次方程。例 3 设一元二次方程 的二实根为 和 。（1）试求以 和 为根的一元二次方程；（2）若以 和 为根的一元二次方程仍为 。求所有这样的一元二次方程。解 （1）由韦达定理知， 。，。所以，所求方程为 。（2）由已知条件可得 解之可得由得 ， 分别讨论（p,q）=(0,0)，(1,0) ，( ,0)，(0,1) ，(2,1)，( ,1)或(0, )。121于是，得以下七个方程 ， ， ， ， ， ，其中 无实数根，舍去。其余六个方程均为所求。01x220x23证明等式或不等式根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。 例 4 已知 a，b，c 为实数，且满足条件：
4、， ，求证 a=b。证明 由已知得 ， 。根据韦达定理的逆定理知，以 a，b 为根的关于 x 的实系数一元二次方程为由 a，b 为实数知此方程有实根。 ，故 c=0，从而 。这表明有两个相等实根，即有 a=b。0c2说明 由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。另外在求得 c=0 后，由恒等式可得 ，即 a=b。此方法较第一种烦琐，且需一定的跳跃性思维。4研究方程根的情况将韦达定理和判别式定理相结合，可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性等。关于方程 的实根符号判定有下述定理：方程有二正根 ，ab0；方程有二负根 ，ab0，ac0；方程有异号二根 ，ac0；方程两根均为“0” ，b=c=0
5、， ；例 5 设一元二次方程 的根分别满足下列条件，试求实数 a的范围。二根均大于 1；一根大于 1，另一根小于 1。思路 设方程二根分别为 ， ，则二根均大于 1 等价于 和 同时为正；一根大于 1，另一根小于是等价于 和 异号。解 设此方程的二根为 ， ，则， 。方程二根均大于 1 的条件为解之得3a7方程二根中一个大于 1，另一个小于 1 的条件为.0)a2(6)x(1,0a42解之得。7a说明 此例属于二次方程实根的分布问题，注意命题转换的等价性；解题过程中涉及二次不等式的解法，请参照后继相关内容。此例若用二次函数知识求解，则解题过程极为简便。5求参数的值与解方程韦达定理及其逆定理在确
6、定参数取值及解方程（组）中也有着许多巧妙的应用。例 6 解方程 。解：原方程可变形为。令 ， 。则, 。由韦达定理逆定理知，以 a， 为根的一元二次方程是b。解得 ， 。即 a= 或 a=9。8或 通过 求解 x 结果相同，且严谨。， （舍去） 。解之得 ， 。此种方法应检验： 是或否成立本周强化练习： A 级1.若 k 为正整数，且方程 有两个不等的正整数根，则 k 的值为_。2.若 ， ，则_。3 .已知 和 是方程 的二实根，则 _。4.已知方程 （m 为整数）有两个不等的正整数根，求 m 的值。级 5.已知： 和 为方程 及方程 的实根，其中 n 为正奇数，且 。求证： ， 是方程 的
7、实根。6.已知关于 x 的方程 的二实根 和 满足 ，试求 k 的值。参考答案12提示：原方程即 ，所以 ， 由知 k=1，2，3，5，11；由 知 k=2，3，4，7。所以 k=2，3，但 k=3 时原方程有二相等正整数根，不合题意。故 k=2。2 提示：由 x，y 为方程 的二根，知 ， 。于 。321提示：由 ， ， 知，4设二个不等的正整数根为 ， ，由韦达定理，有消去 m，得。即 。则 且 。， 。故 。5由韦达定理有 ， 。又 ， 。二式相减得 。， 。将 代入有 。从而 ，同理 和 是方程 的根。6当 时，可知 ，所以 ，当 时，易证得12k134。从而 ，为方程 的二不同实根。， 。于是 ， 。当 时，方程为 。解得 或取 ， 即能符合题意，故 k 的值为 。
