1、1因式分解的方法 (初中版)因式分解是初中一个重点，它牵涉到分式方程，一元二次方程，所以很有必要学会一些基本的因式分解的方法。下面列举了九种方法，希望对大家的学习能有所帮助。1】提取公因式这种方法比较常规、简单，必须掌握。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等例一： -3x=02x解：x(2x-3)=0=0, =3/212这是一类利用因式分解的方程。总结：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解 x=a 时，该式分解后必有一个(x-a)因式这对我们后面的学习有帮助。2】公式法将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等注意：使用公式法前，建议先提取公因式。
2、例二： -4 分解因式2x分析：此题较为简单，可以看出 4=2 2，适用平方差公式 a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2解：原式=(x+2)(x-2)3】十字相乘法是 做 竞 赛 题 的 基 本 方 法 ， 做 平 时 的 题 目 掌 握 了 这 个 也 会 很 轻 松 。 注 意 ： 它 不 难 。这 种 方 法 的 关 键 是 把 二 次 项 系 数 a 分 解 成 两 个 因 数 的 积 21.a， 把 常 数 项 c 分 解21.成 两 个 因 数 的 积 21.c， 并 使 正 好 是 一 次 项 b， 那 么 可 以 直 接 写 成 结 果21. 121c例 三 ： 把 -
3、7x+3 分 解 因 式 . 分 析 ： 先 分 解 二 次 项 系 数 ， 分 别 写 在 十 字 交 叉 线 的 左 上 角 和 左 下 角 ， 再 分 解 常 数 项， 分 别 写 在 十 字 交 叉 线 的 右 上 角 和 右 下 角 ， 然 后 交 叉 相 乘 ， 求 代 数 和 ， 使 其 等 于 一 次项 系 数 . 分 解 二 次 项 系 数 (只 取 正 因 数 )： 2 12 21； 分 解 常 数 项 ： 23=13=31=(-3)(-1)=(-1)(-3). 用 画 十 字 交 叉 线 方 法 表 示 下 列 四 种 情 况 ： 1 1 2 3 13+21 =5 1 3
4、 2 1 11+23 =7 1 -1 2 -3 1(-3)+2(-1) =-5 1 -3 2 -1 1(-1)+2(-3) =-7 经 过 观 察 ， 第 四 种 情 况 是 正 确 的 ， 这 是 因 为 交 叉 相 乘 后 ， 两 项 代 数 和 恰 等 于 一 次 项系 数 7.解 原 式 =(x-3)(2x-1).总 结 ： 对 于 二 次 三 项 式 +bx+c(a0)， 如 果 二 次 项 系 数 a 可 以 分 解 成 两 个 因 数 之 积， 即 a= 21.， 常 数 项 c 可 以 分 解 成 两 个 因 数 之 积 ， 即 c= 21.， 把 ， 排 列21,c如 下 ：
5、 1c 2a 11c3按 斜 线 交 叉 相 乘 ， 再 相 加 ， 得 到 ， 若 它 正 好 等 于 二 次 三 项 式 +bx+121ca2ac 的 一 次 项 系 数 b， 即 =b， 那 么 二 次 三 项 式 就 可 以 分 解 为 两 个 因 式 x+c121ca与 2xa之 积 ， 即 +bx+c=( x+ )( x+ ). 12c这 种 方 法 要 多 实 验 ， 多 做 ， 多 练 。 它 可 以 包 括 前 两 者 方 法 。4】 分 组 分 解 法也 是 比 较 常 规 的 方 法 。一 般 是 把 式 子 里 的 各 个 部 分 分 开 分 解 ， 再 合 起 来需
6、要 可 持 续 性 ！例 四 ： 224yx可 以 看 出 ， 前 面 三 项 可 以 组 成 平 方 ， 结 合 后 面 的 负 平 方 ， 可 以 用 平 方 差 公 式解 ： 原 式 = 2)(=(x+2+y)(x+2-y)总 结 ： 分 组 分 解 法 需 要 前 面 的 方 法 作 基 础 ， 可 见 前 面 方 法 的 重 要 性 。5】 换 元 法整 体 代 入 ， 免 去 繁 琐 的 麻 烦 ， 亦 是 建 立 的 之 前 的 基 础 上例 五 ： 分解因式1)(2)(yx考虑到 x+y 是以整体出现，展开是十分繁琐的，用 a 代替 x+y那么原式= -2a+12a= )1(回
7、代原式= 2)(yx46】主元法这种方法要难一些，多练即可即把一个字母作为主要的未知数，另一个作为常数例六： 422)1()(16xyxy分 析 ： 本 题 尚 且 属 于 简 单 例 用 ， 只 是 稍 加 难 度 ， 以 y 为 主 元 会 使 原 式 极 其 烦 琐 ，而 以 x 为 主 元 的 话 ， 原 式 的 难 度 就 大 大 降 低 了 。 原 式 = -【 主 元 法 】 yxyy16)(2)1(24= -【 十 字 相 乘 法 】)(82 可 见 ， 十 字 相 乘 十 分 重 要 。7】 双 十 字 相 乘 法难 度 较 之 前 的 方 法 要 提 升 许 多 。 是 用
8、 来 分 解 形 如 的 二 次feydxcbyax22六 项 式 在 草 稿 纸 上 ， 将 a 分 解 成 mn 乘 积 作 为 一 列 ， c 分 解 成 pq 乘 积 作 为 第 二 列 ，f 分 解 成 jk 乘 积 作 为 第 三 列 ， 如 果 mq np b， pk qj e， mk nj d， 即 第 1,2列 和 第 2,3 列 都 满 足 十 字 相 乘 规 则 。 则 原 式 （ mx py j） （ nx qy k）要 诀 ： 把 缺 少 的 一 项 当 作 系 数 为 0， 0 乘 任 何 数 得 0， 例 七 ： 分解因式22ba解 ： 原 式 01 ab a b
9、 2 （ 0a b 1） （ a b 2） （ b 1） （ a b 2）58】 待 定 系 数 法将 式 子 看 成 方 程 ， 将 方 程 的 解 代 入这 时 就 要 用 到 1】 中 提 到 的 知 识 点 了当一个方程有一个解 x=a 时，该式分解后必有一个(x-a)因式例 八 ： +x-2该 题 可 以 用 十 字 相 乘 来 做 ， 这 里 介 绍 一 种 待 定 系 数 法我 们 可 以 把 它 当 方 程 做 ， +x-2=0一 眼 看 出 ， 该 方 程 有 一 根 为 x=1那 么 必 有 一 因式为(x-1)结合多项式展开原理，另一因式的常数必为 2（因为乘-1 要为-
10、2 ）一次项系数必为 1（因为与 1 相乘要为 1）所以另一因式为（x+2）分解为(x-1)(x+2)9】列竖式让人拍案叫绝的方法。原理和小学的除法差不多。要建立在待定系数法的方程法上不足的项要用 0 补除的时候，一定要让第一项抵消例九： 分解因式253x提示：x=-1 可以使该式=0，有因式（x+1）6那么该式分解为（x+1）( +2x-2)23x因式分解还有许多方法，只是不太常见，就不在此列举了。考虑到每种方法只有一个例题，下面提供一些题目，供大家练习。22)()(ba22)(4)(x3222396cabcbaxy62x3y 22 )3(4)(34)( baba(x2)(x 3)(x2)(
11、x 4)12x2 29x15x(y2)xy17324422yxyx101324 35722yxyx22384nm1525ax+5bx+3ay+3by12a2b(xy)4ab(yx)(x1) 2(3x2)(23x) x211x24 y212y28x24x5 y43y 328y 2蚊子与牛一样重从前有一只骄傲的蚊子，总认为自己的体重和牛是一样重。有一天，它找到了牛，并说出了体重一样的理由。它认为，可以设自己的体重为 a,牛的体重为 b，则有：a22abb 2=b22aba 2左右两边分别因式分解为：(ab) 2=(ba) 2从而就有：ab=ba移项，得：2a=2b, 即 a=b蚊子骄傲地把自己的理由说完，牛睁大了眼睛，听傻了！请同学们想一想，牛和蚊子的体重真的会一样吗？若不一样，那么蚊子的证明究竟错在哪里呢？讲这个例子的目的何在？
