1、13 计算导数学习目标 重点难点1.会用导数的定义求四个常见函数y c， y x， y x2， y 的导数，能作为公式记忆并1x且能灵活运用2记住基本初等函数的求导公式并能应用导数公式求一些简单函数的导数.重点：几个常用函数导数的推导及运用难点：几个常用函数导数的推导过程的理解关键：利用导数的定义去证明.1导函数一般地，如果一个函数 f(x)在区间( a， b)上的每一点 x 处都有导数，导数值记为f( x)： f( x)_，则 f( x)是关于 x 的函数，称 f( x)为 f(x)的导函数，通常也简称为_预习交流 1议一议：导函数和导数值有什么区别和联系？2导数公式表(其中三角函数的自变量
2、单位是弧度)函数 导函数 函数 导函数y c(c 是常数 ) _ ysin x _y x ( 是实数 ) _ ycos x _y ax(a0， a1) _特别地_ ytan x _ylog ax(a0， a1) _特别地_ ycot x _预习交流 2想一想： x_，( x2)_， _，( )(1x) x_.是否符合( x ) x 1?答案：预习导引1. 导数lim x 0f x x f x x预习交流 1：提示： f( x)是以 x 为自变量的一个函数，导数值是函数值，所以 f( a) .lim x 0f a x f a x2 y0 y x 1 y axln a (e x)e x y (ln
3、 x) 1xln a 1xycos x ysin x y y1cos2x 1sin2x2预习交流 2：提示： x1，( x2)2 x， ，( ) x ，符合( x )(1x) 1x2 x 12 12 x 1 .在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点 我的学疑点一、求导函数求函数 y f(x) x22 的导函数 f( x)，并利用 f( x)求 f(1)， f(1)，f(0)思路分析：根据导数的定义，求出 f(x)的导数的表达式，代入 x 求值利用导数的定义求 y1 x， y2 x2， y3 x3的导数，并由此归纳出 y xn的导数公式(xn) nxn1
4、 其导数等于幂指数 n 与自变量的( n1)次幂的乘积二、利用导数公式求导数求下列函数的导数：(1)y x ；x(2)y ；1x4(3)y ；5x3(4)ylog 2x2log 2x；(5)y2sin .x2(1 2cos2x4)思路分析：直接运用公式 y x ， y x 1 ； ylog ax， y ； ysin 1xln ax， ycos x 求导下列各式中正确的是( )A(log ax) B(log ax) C(3 x)3 x D(3 x)1x ln 10x3 xln 3求导数时要看清函数类型，再按照公式求导三、导数公式的应用求函数 ylg x 在点(1,0)处的切线方程思路分析：根据导
5、数在某一点处的几何意义就是这一点处切线的斜率，求出斜率，由3点斜式写出切线方程求与曲线 y 在 P(8,4)处切线垂直的直线方程3x21.用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算量比较大，利用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，减少运算量2利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构进行调整，如将根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导3有时将复杂的函数式进行化简再求导答案：活动与探究 1：解：首先给自变量 x 一个改变量 x，得到相应的函数值的改变量 y. y f(x x) f(x)( x x)22( x22)2 x x( x)2，再计算相应的平均
6、变化率 2 x x， y x当 x 趋于 0 时，可以得出导数：f( x) (2x x)2 x.lim x 0f x x f x x lim x 0分别将 x1， x1， x0 代入 f( x)，可得：f(1)212， f(1)2(1)2， f(0)200.迁移与应用：解： y1 x 11 x11 ；lim x 0 x x x xy2( x2) 2 x2 x21 ；lim x 0 x x 2 x2 xy3( x3) 3 x23 x31 .lim x 0 x x 3 x3 x由此我们可以归纳出( xn) nxn1 .活动与探究 2：解：(1) y( x )( ) 1 ；x 232 32x(2)y
7、 ( x4 )4 x41 4 x5 ；(1x4) 4x5(3)y( )( ) 1 ；5x33535 35 2355x2 35x35x(4) ylog 2x2log 2x2log 2xlog 2xlog 2x， y(log 2x) ；1xln 2(5) y2sinx2(1 2cos2x4)2sinx2(2cos2x4 1)2sin cos sin x，x2 x2 y(sin x)cos x.4迁移与应用：D 解析：(log ax) ，( ax) axln a，特别地，(ln x) ，(e x)1xln a 1xe x.活动与探究 3：解： y(lg x) ，1xln 10 k ，1ln 10在点
8、(1,0)处的切线方程为 y (x1)，即 x yln 1010.1ln 10迁移与应用：解： y( ) 1 ，23x23 23 13x k ，23 138 13所求直线斜率为 k3，所求直线方程为 y43( x8)，即 3x y280.1下列结论不正确的是( )A若 y3，则 y0 B若 y ，则 y1x 12xC若 y ，则 y D若 y x1，则 y1x12x2函数 f(x) xn在 x2 处的导数值为 12，则 n( )A1 B2 C3 D43若 f(x)log ax，则 f(e)( )Aln a B. C. D.1a 1e 1eln a4曲线 ye x在点(2，e 2)处的切线与坐标
9、轴围成的三角形的面积为_5已知点 P(1,1)， Q(2,4)是曲线 y x2上的两点，求与直线 PQ 平行的曲线 y x2的切线方程答案：1B 解析：30； ( ) ；( )( )(1x) 1212x12 312x x 12 ；12x12x y x1 的斜率为 1， y1.2B 解析： f(2) n2n1 12，只有 n3 时成立3D 解析：(log ax) ， f(e) .1xln a 1eln a54. 解析： ye xln ee x，则切线斜率为 e2，切线方程为 ye 2e 2(x2)，e22 ye 2xe 2.当 x0 时， ye 2； y0 时， x1，切线与 x 轴交点为(1,0)，与 y 轴交点为(0，e 2)，切线与坐标轴围成的三角形的面积为 1e2 .12 e225解： y( x2)2 x，设切点为 M(x0， y0)，则 f( x0)2 x0.又 kPQ 1，切线与 PQ 平行，4 12 1 k2 x01， x0 ，12切点坐标为 .(12， 14)所求切线方程为 y x ，14 12即 4x4 y10.提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.知识精华 技能要领
