1、第44卷第3期 2012年9月 郑州大学学报(理学版) JZhengzhou Univ(NatSciEd) Vol_44 No3 Sep2012 DOI：103969jissn1671-6841201203013 正、负顾客依状态到达的 MMm(km)优先权排队系统 王 玉， 吕胜利， 张 雷 (燕山大学理学院河北秦皇岛066004) 摘要：研究了具有2类顾客的多服务台排队系统，2类顾客共用一个容量为( 一m)的等待空间其中第1类顾客 具有强占优先权，第2类顾客分正顾客和负顾客2种，正、负顾客依状态到达，且负顾客不接受服务，负顾客到达系 统后一对一抵消排在队尾的第2类正顾客利用矩阵分析理论得到
2、2类顾客的平均队长和溢出率 关键词：多服务台；强占优先权；负顾客；依状态到达；溢出率 中图分类号：0 226 文献标志码：A 文章编号：16716841(2012)03004605 0 引言 Gelenbe在20世纪90年代初首次将负顾客引入排队网络 ，排队论的研究领域得到了进一步的扩 展优先权排队也是实际排队系统中常见的现象，在通信网络、电子对抗系统、计算机中断系统、医疗救治系 统中，优先权排队有着广泛的应用 随后，出现了把多服务台和带有优先权同时考虑的排队系统 J，也 有学者对带有优先权和有限空间的排队进行了尝试性探究 3但是对在2类顾客中分别考虑强占优先权和 负顾客的情况研究较少，在有限
3、等待空间的基础上同时考虑到多服务台和依状态到达的研究则更少本文 正是基于对通信网络系统中语音信号的传递和处理较数据信号具有优先权、信号传输速率和服务率的变化、 外来信号和病毒对数据信号的干扰的实际应用背景而建立的排队模型，为系统优化提供了理论依据 1模型描述 系统中有m个服务台，一个等待区域，等待空间为(km)(后m)有2类顾客且均无等待时间限制第 1类顾客较第2类顾客具有强占优先权，只有当第1类顾客数少于服务台数时第2类顾客才能接受服务，即 使第2类顾客正在接受服务，这时若有第1类顾客到达，则马上停止对第2类顾客的服务而对刚到达的第1 类顾客服务，被抢占的此第2类顾客回到原来等待轨道的队首重
4、新等待服务规则是先到先服务在服务台 全忙且正在接受服务的全是第1类顾客的时候，若等待空间未满则新到来的第1类顾客自动排到轨道的队 首等待接受服务系统中的第2类顾客会受到负顾客的干扰，负顾客的到达只对第2类顾客实行RCE抵消 策略，即使第2类顾客正在接受服务，负顾客不接受服务 在此模型中，若到达的顾客发现系统已满则马上离开系统，称为溢出第1类顾客以参数A 的泊松流到 达，第2类顾客依状态到达，正顾客以参数A： 到达，负顾客以参数 到达， A21 = A2， = ：，0n ， 其中n表示系统中已有的顾客数，当n=0时，第2类正顾客以参数A：的泊松流到达，由此可知，随着系统中 顾客数目的增多，第2类
5、正顾客的到达率逐渐降低而负顾客的到达率逐渐升高 收稿日期：20111012 基金项目：国家自然科学基金资助项目，编号71071133 作者简介：王玉(1987一)，女，硕士研究生，主要从事排队论及其应用研究，E-mail：wangyu526124126corn 第3期 王 玉，等：正、负顾客依状态到达的MMm(j一m)优先权排队系统 47 服务台对2类顾客的服务均服从相互独立的指数分布，参数分别为 ， ，若系统中第 (L=1，2)类顾 客有n 个在接受服务，系统对第 类顾客的服务率为n 顾客的到达与服务时间相互独立任意时刻f系 统中第 类顾客数为 (t)，L：1，2令N(t)=l(t)，Nz(
6、t)，第1类顾客较第2类顾客有强占优先权，只 要系统中有第1类顾客，第2类顾客数必少于 记系统状态空间1-1=(i， )l 0iIi，0J后一i过 程iv()在很小的时间段上的状态转移只能发生在相邻状态，因此为二维的生灭过程因为系统状态空间有 限，稳态分布必定存在，记P =lira1(t)=i，Nz()= 2 模型分析 21 稳态下的平衡方程 设P =(P0 ，尸1 J，P J)T，=0，1， P。=(尸0，PlJ，P -JJ，0) J=1，2， P_一1： (尸0，P1J，P 。J一1) ，=1，2， 一1 1 =(1，1，1)，n=1，2， +1 1)由稳态分析可得下列状态转移平衡方程：
7、Jn-O时， (A1+A2，0)P0，o=tz1P1o+( 2+A；，1)P0，1， (A1+A2， +驰1)Pi，o=(i+1)tz1P+1，0+A1Pi 10+( 2+A +1)P ，1，i=1，2，m一1， (A1+A2， +mix1)P ，0=mix1P +l，o+A1Pil，o+A +lP ，1，i=m，n+1，k一1， ， 1P 0=A1P一10 =1，2， 一m时，(A】+A2， +A +tjtz2)Po：)t2,j-P0，一1+ lP1+(A乃+1+2 2)PoJ+1当 =1， 2，m一1时，tl=，t2= +1，当 ：m，m+1， 一m时，t1=t2=m (A1+A2， +J
8、+A；， +f1 2+驰1)P =A2,1+j-IP J一1+A1P l十(i+1) 1Pi+1J+(A i +l+z2 2)P J+l，其 中，i=1，2，m一1，当i+ m时，Zl= ，z2=J+1，当 + m时，2l=Z2=mi (Al+A2， 吖+A ， + 1)P J=,2,ij-iP Jl+A1Pil+ lP +1J+A ， +lP J+l，i=m，m+1， 一j一1 (A + 1)Pk。J=A2,k-IP Jl+AlP 01J = 一m+1， 一1时， (A1+A2+A +， 2)P0J=z,j-iPo一l+ 1P1J+(， 2+A +1)PoJ+1 (A1+A2， +J+A ，
9、 +驰1+(，n ) 2)Pi，J=A2， ,j-iP J一1+A1P 1J+(i+1) 1P +1J+ (m ) 2+A ， +1)P +1，i=1，2，|i一 一1 (A ， +驰l+(m ) 2)P J=Z,k-IP -，J一1+AlP 一lJ =Ij2时，( 2+A )P0 ：A2,k-iP 2)把以上的平衡方程化为矩阵形式 当J=0时， Ao。P0=CoP1， A0= fo g1 一A1 g2 一A1 一1 g 一A。 ，C0= 2+A2 A m+1 A 0 ，n ，n+1 ： 后 后+1 其中 ：A1+A2，0 =A1+A2， + 1(t=1，2，m) =A1+A2， +，r 1(
10、t=m+1， 一1) =， c上l， 第3期 王 玉，等：正、负顾客依状态到达的MMm(km)优先权排队系统 49 P。=B0 P (3) C-B,=( 一 一。 一。) ，其中_=1，2，k一1， 一。为取 t中前k一_+1行和前|i一_+1列构成 的方阵，由式(2)得 P =(Ai 一， 一。) P州= P州=1，2，k一1 (4) 易知P =Po 令E。=1，由式(3)、(4)递推得 P，=E州Po (5) 式(5)中， = 【Eko-；一 】， =l =l，Jl一1， 为|i一_+1阶列向量 由正规化条件 1小1)P_=1，则 P =(1+P 1)E -，)-1 (6) 将式(6)代入
11、式(5)可求得系统中第2类顾客的稳态分布， =el x(刊)P。，_=0，1，k (7) 系统中第2类顾客的平均队长为 E(L：)=_ (8) 第2类顾客的溢出概率为 r2=l( +1)P0+ 1 P1+ 12 P l+Po =sl x( +I)P。， (9) 其中 l ( +1)=(Q：Q 1)=0，1，k 由于第1类顾客较第2类顾客具有强占优先权，且不受负顾客影响，故第1类顾客的稳态分布与只有一 类顾客的经典的MMm(km)排队相同 第1类顾客的稳态分布为 P 其中，Po= 第1类顾客的平均队长 第1类顾客的溢出率 式(13)中P0由式(11)给出 3 一个数值例子 P0( 1， P0 m
12、 m， l ! 矗+i =m I上zilm!mi-1l (11) E(L1)=iP = ， (12) (13) 利用参数m，k，Al，A2， 1， 2和式(3)一(13)用matlab编程取m=3，k=8，Al：A2=07， l= 2 =03，可得系统中第2类顾客的稳态分布如表1所示 由式(8)和(9)得稳态下第2类顾客的平均队长和溢出率分别为E( 2)=3795 9，r2=0253 3 、 0 _ ， m I m 50 郑州大学学报(理学版) 第44卷 4结束语 利用优先权排队可以为2类顾客提供不同的服务质量，考虑到现代通信中干扰信号的存在以及不同信 号传输速率的变化，研究了依状态到达的正、
13、负顾客对排队系统的影响通过对系统中2类顾客平均队长的 分析，可以估计2类顾客在系统中的延误时间；利用溢出概率可以改进服务台的服务率和等待轨道的容量， 从而使系统得到优化，满足不同的需求，这对通信网络的发展能起到很大的推进作用 参 1 2 3 4 5 6 7 8 考文献： Gelenbe E，Glynn P，Sigman KQueues with negative arrivalsJJ Appl Prob，1991，28(3)：245250 Harrison P G，Pitel ESojourn times in single-server queues with negative custom
14、ersJJ Appl Prob，1993，30(4)：943963 Miller D RComputation of steady-state probabilities for priority queuesJOperations Research，1981，29(6)：945958 Steve DAn Eigen value approach to analyzing a finite source priority queuing modelJAnnals of Operations Research，2002， ll2(2)：139152 陈佩叔，朱翼隽，耿响具有强占优先权的不耐烦顾客
15、的排队模型J系统工程与电子技术，2008，30(6)：10691073 Demetres K，Nasredine TAn MEbased approximation for multi-server queues with preemptive priorityJEuropean Journal of Operational Research，1994，77(3)：496515 Indranil B，Raktim PAverage waiting time of customers in a priority MDk queue with finite buffersJComputers an
16、d opera tions research，2002，29(4)：327339 孙荣恒，李建平排队论基础M北京：科学出版社，2002：4454 MMm(km)Preemptive Priority Queuing System th Positive and Negative Customers Arriving According to State WANG Yu，LO Shengli，ZHANG Lei (College of Science，Yanshan Univenity，Qinhuangdao 066004，China) Abstract：A multiserver queuin
17、g system with two classes of customers was studiedThe two classes of customers shared a limited buffer of(km)The class一1 customers had the preemptive priority，while the class-2 included positive and negative customers，and both arrived in accordance with the stateThe negive customers would not be ser
18、ved and would remove the class-2 positive cUstomers one by one at the tailBy using matrix analysis theory，the average queuing length and the loss rate of the two classes were obtained separately Key words：multi-server；preemptive priority；negative customer；arrive in accordance with the state； loss rate
