1、15 简单复合函数的求导法则学习目标 重点难点1.能说出复合函数概念，记住复合函数的求导法则2会运用复合函数求导法则求一些复合函数的导数3能把一个函数分成两个或几个简单函数的和、差、积、商的形式，利用导数运算法则求出导数或者把该函数用复合函数求导法则直接求导.重点：运用复合函数求导法则正确求简单复合函数的导数难点：两个函数的复合关系的理解，及运用复合关系求复合函数的导数.一般地，对于两个函数_和_，给定 x 的一个值，就得到了 u 的值，进而确定了 y 的值，这样 y 可以表示成 x 的函数，我们称这个函数为函数_和_的复合函数，记作 y f( (x)，其中 u (x)为中间变量复合函数 y
2、f( (x)的导数为 yx f( (x) f( u) ( x)预习交流想一想：复合函数中的 u (x) ax b 是不是一定是一次函数呢？答案：预习导引y f(u) u (x) ax b y f(u) u (x)预习交流：提示：不是，复合函数的中间变量可以是任何函数，而中学阶段我们只研究中间变量 u (x) ax b 的情况，降低了学习难度在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点 我的学疑点一、复合函数的复合关系指出下列函数的复合关系：(1)y(2 x3) 2；(2) yln(2 x3)；(3) y2 3x2 ；(4)y .4x 3思路分析：根据基本函数
3、与( ax b)复合的原则拆分函数 ysin(2 x1)如果看成复合函数 y f( (x)，下列认为正确的是( )2A (x)2 x B (x)sin x C (x)2 x1 D (x)sin(2 x1)判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数主体形式，各层的中间变量结构也是基本函数关系这样一层一层分析，最里层应是关于自变量 x 的基本函数(中学阶段仅限于 (x) ax b)二、复合函数的求导求下列函数的导数：(1)y(3 x2) 2；(2) yln(6 x4)；(3) ye 2x1 ；(4)y ；(5) ysin .2x 1 (3x 4)思路分析：先
4、对基本函数进行求导，再对( ax b)进行求导，将其相乘函数 y (exe x)的导数是( )12A. (exe x) B. (exe x) Ce xe x De xe x12 12复合函数求导的关键是选择中间变量，必须正确分析复合函数是由哪些基本初等函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系，要善于把一部分量或式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体就是中间变量，求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不要遗漏此外，还应特别注意求导后，要把中间变量转换成自变量的函数答案：活动与探究 1：解：(1) y(2 x3) 2是由 y u2和 u2 x3 复合而成(2)yln(2 x3)是由 yln
5、u 和 u2 x3 复合而成(3)y2 3x2 是由 y2 u和 u3 x2 复合而成(4)y 是由 y 和 u4 x3 复合而成4x 31迁移与应用：B 解析： ysin(2 x1)是由函数 ysin u 和 u2 x1 复合而成，可见 (x)2 x1.活动与探究 2：解：(1) y2(3 x2)(3 x2)6(3 x2)18 x12；(2)y (6x4) ；16x 4 33x 2(3)y(e 2x1 )(2x1)2e 2x1 ；(4)y (2x1) ；122x 1 12x 1(5)ycos 3cos .(3x 4) (3x 4) (3x 4)迁移与应用：A 解析： y 12 ex e x
6、3 (12ex) (12e x) ex e x( x)12 12 (exe x)121设 f(x)(2 x a)2，且 f(2)20，则 a 等于( )A1 B1 C0 D任意实数2函数 ye 2x4 上点 x2 处的切线方程为( )A2 x y30 B2 x y30 Ce x y2e10 De x y2e103函数 y 的导数是( )1 3x 1 2A. B. C 6 3x 1 3 6 3x 1 2 6 3x 1 3D6 3x 1 24设函数 f(x)cos( x )(0 )，若 f(x) f( x)是奇函数，则3 _.5求曲线 yln(2 x1)上的点到直线 l：2 x y30 的最短距离
7、答案：1B 解析： f(x)(2 x a)2， f( x)2(2 x a)(2x a)4(2 x a)8 x4 a.又 f(2)20，824 a20， a1.2A 解析： y(e 2x4 )e 2x4 (2x4)2e 2x4 ， k2e 224 2.把 x2 代入 ye 2x4 ，得 y1，切点为(2,1)函数 ye 2x4 上点 x2 处的切线方程为 y12( x2)，2 x y30.3B 解析： y(3 x1) 2 2(3 x1) 3 (3x1) .6 3x 1 34. 解析： f( x) sin( x )， 6 3 3 f(x) f( x)cos( x ) sin( x )3 3 3 y
8、 f(x) f( x)定义域为 R，且为奇函数， f(0) f(0)0，即 cos sin 0.3t an .334又0 ， . 65解：作出直线 2x y30 和曲线 yln(2 x1)的图像可知它们无公共点，平移直线 l 使之与曲线相切时，切点到直线 l 的距离就是曲线上的点到直线 l 的最短距离 y (2x1) .12x 1 22x 1设切点为 P(x0， y0) 2， x01.22x0 1 y0ln(211)0， P(1,0)曲线 yln(2 x1)上的点到 l(2x y30)的最短距离为 P(1,0)，到直线l：2 x y30 的距离：d .|21 0 3|22 12 55 5提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.知识精华 技能要领
