1、1空间向量与立体几何1、空间向量的概念：在空间，具有大小和方向的量称为空间向量向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指2的方向表示向量的方向向量 的大小称为向量的模（或长度） ，记作 3A A模（或长度）为 的向量称为零向量；模为 的向量称为单位向量401与向量 长度相等且方向相反的向量称为 的相反向量，记作 5a aa方向相同且模相等的向量称为相等向量62、空间向量的加法和减法：求两个向量和的运算称为向量的加法，它1遵循平行四边形法则即：在空间以同一点为起点的两个已知向量 、 为邻边作平行ab四边形 ，则以 起点的对角线 就是CAC与 的和，这种求向量和的方法，称为向
2、量加ab法的平行四边形法则求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵2循三角形法则即：在空间任取一点 ，作， ，则 aAbabA3、实数 与空间向量 的乘积 是一个向量，称为向量的数乘运算当时， 与 方向相同；当 时， 与 方向相反；当 时， 为00a0a零向量，记为 的长度是 的长度的 倍4、设 ， 为实数， ， 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结ab合律分配律： ；结合律： a5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线26、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量 ， ， 的充要条a0b/ab件是存在实数 ，使
3、ab7、平行于同一个平面的向量称为共面向量8、向量共面定理：空间一点 位于平面 内的充要条件是存在有序实数对 ，CAx，使 ；或对空间任一定点 ，有 ；或yxyCAxyCA若四点 ， ， ， 共面，则 1xyzz9、已知两个非零向量 和 ，在空间任取一点 ，作 ， ，则abab称为向量 ， 的夹角，记作 两个向量夹角的取值范围是：A,ab,0,ab10、对于两个非零向量 和 ，若 ，则向量 ， 互相垂直，记作ab,2abab11、已知两个非零向量 和 ，则 称为 ， 的数量积，记cos,b作 即 零向量与任何向量的数量积为 cos,ab 012、 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积a
4、bacos,ab13、若 ， 为非零向量， 为单位向量，则有 ；e1cos,eae； ， ， ；20ab3ab与 同 向与 反 向 2a； 4cos,5ab14、向量数乘积的运算律： ； ；1a2bab3abcbc15、若 ， ， 是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量 ，存在有序ijk p实数组 ，使得 ，称 ， ， 为向量 在 ， ， 上,xyzpxiyjzkxiyjzkijk的分量316、空间向量基本定理：若三个向量 ， ， 不共面，则对空间任一向量 ，abcp存在实数组 ，使得 ,xyzpxyz17、若三个向量 ， ， 不共面，则所有空间向量组成的集合是abc这个集合可看作是由向量
5、 ， ， 生成的，,pxyzxR abc称为空间的一个基底， ， ， 称为基向量空间任意三个不共面的,abcabc向量都可以构成空间的一个基底18、设 ， ， 为有公共起点 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位1e23正交基底） ，以 ， ， 的公共起点 为原点，分别以 ， ， 的方向为12e3 1e23轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系 则对于空间任意一个向xyz xyz量 ，一定可以把它平移，使它的起点与原点 重合，得到向量 存在p p有序实数组 ，使得 把 ， ， 称作向量 在单位,xyz123pxeyzxyz正交基底 ， ， 下的坐标，记作 此时，向量 的坐标是点1e23, 在
6、空间直角坐标系 中的坐标 xyzxyz19、设 ， ，则 1,a2,b11212,abxyz 221bxyz31,4212axyz若 、 为非零向量，则 5b 121200abxyz若 ，则 6012/ ,xy72211axyz8212 21cos, yzbx， ，则91,xyzA2,xz4222111dxyzA20、在空间中，取一定点 作为基点，那么空间中任意一点 的位置可以用向量 来表示向量 称为点 的位置向量21、空间中任意一条直线 的位置可以由 上一个定点 以及一个定方向确llA定点 是直线 上一点，向量 表示直线 的方向向量，则对于直线 上的任la l意一点 ，有 ，这样点 和向量
7、不仅可以确定直线 的位置，还可以tAl具体表示出直线 上的任意一点l22、空间中平面 的位置可以由 内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点 ，它们的方向向量分别为 ， 为平面 上任意一点，存在有ab序实数对 ，使得 ，这样点 与向量 ， 就确定了平面 的,xyxyab位置23、直线 垂直 ，取直线 的方向向量 ，则向量 称为平面 的法向量lla24、若空间不重合两条直线 ， 的方向向量分别为 ， ，则bab/ab， abR 0a25、若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且 ，则n/， 0n/aa26、若空间不重合的两个平面 ， 的法向量分别为 ， ，则b/ab， 0ab27、设
8、异面直线 ， 的夹角为 ，方向向量为 ， ，其夹角为 ，则有abcosab28、设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ， 与 所成的角为 ， 与llnll的夹角为 ，则有 nsincol29、设 ， 是二面角 的两个面 ， 的法向量，则向量 ， 的夹12l1n2角（或其补角）就是二面角的平面角的大小若二面角 的平面角为 ，l5则 12cosn30、点 与点 之间的距离可以转化为两点对应向量 的模 计算AA31、在直线 上找一点 ，过定点 且垂直于直线 的向量为 ，则定点 到直lAlnA线 的距离为 lcos,nd32、点 是平面 外一点， 是平面 内的一定点， 为平面 的一个法向量，则点
9、到平面 的距离为 cs,nA空间向量与立体几何练习题 1一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）1.如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， M 为 AC 与 BD 的交点.若 =a，1BA=b， =c，则下列向量中与 相等的向量是1DA1A. a+ b+c B. a+ b+c22C. a b+c D. a b+c112.下列等式中，使点 M 与点 A、B、C 一定共面的是A. B.OAO23 OCBAOM51321C. D.0 03.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 1，点 E、F 分别是AB、AD 的中点，则 等于DCEFA. B. C. D.41414343
10、4.若 ， ， 与 的夹角为 ，则 的值为)2,(a),(bab06A.17 或-1 B.-17 或 1 C.-1 D.15.设 ， ， ，则线段 的中点 到点 的),1(OA)8,23(B),(OCABPC6距离为A. B. C. D.2132534534536.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是A B C D7.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是A.9B.10C.D. 28.如图， ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是A.BD平面 CB1D1B.AC1 BDC.AC1平面 CB1D1D.异面直线 AD 与 CB1所成的角为 609
11、.如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中， AB=BC=2,AA1=1,则 BC1与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为A. B. C. D.63525010.ABC 的三个顶点分别是 ， ， ，则 AC 边上的高)2,1(A),65(B)1,3(CBD 长为A.5 B. C.4 D.412二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）正方体 圆锥 三棱台 正四棱锥俯视图 正(主)视图 侧(左)视图2322711.设 ， ，且 ，则 .)3,4(xa),2(ybba/xy12.已知向量 ， ， 且 ，则 =_.100429013.在直角坐标系 中，设 A（-2，3） ，B（3，-2） ，沿
12、轴把直角坐标平面折xOy x成大小为 的二面角后，这时 ，则 的大小为 1214.如图， PABCD 是正四棱锥，是正方体，其中1ABCD，则 到平面 PAD2,61B的距离为 .三、解答题（共 80 分）15.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，侧棱 PA 的长为 2，且 PA 与 AB、AD 的夹角都等于 600， 是 PC 的中M点，设 cbaAPDAB,（1）试用 表示出向量 ；cBM（2）求 的长16.（本小题满分 14 分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位
13、：cm）.（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结 ，证明： 面 EFGBC GEFCBDCA BDMPD CBA817.（本小题满分 12 分）如图，在四面体 中， ，点ABCDADB，分别是 的中点求证：EF， ABD，（1）直线 面 ；/C（2）平面 面 18.（本小题满分 14 分）如图，已知点 P 在正方体 的对角线DCBA上，PDA=60.BD（1）求 DP 与 所成角的大小；C（2）求 DP 与平面 所成角的大小.DA224侧侧侧侧侧侧624D CBA PD CBA9侧侧侧侧侧侧侧侧侧 12 11
14、21ED CBAP19.（本小题满分 14 分）已知一四棱锥 PABCD 的三视图如下，E 是侧棱 PC 上的动点（1）求四棱锥 PABCD 的体积；（2）是否不论点 E 在何位置，都有 BDAE？证明你的结论;（3）若点 E 为 PC 的中点，求二面角 DAEB 的大小20.（本小题满分 14 分）如图，已知四棱锥 ，底面 为菱形，PABCD平面 ， ， 分别是 的中点PABCD60AEF， ，10（1）证明： ；AEPD（2）若 为 上的动点， 与平面 所成最大角的正切值为 ，求二HHPAD62面角 的余弦值FC参考答案一、选择题1. =c+ ( a+b)= a+ b+c，故选 A.)(2
15、11 BCABM21212. 1),(zyxRzyxOCyxOCA 、 MBAM0、.)( 、 yBxyx ,1故选 D.、CAM3. , ,的 中 点分 别 是 DFE, BDEFDEF21,21/ 、 40cos,cos21 BBC故选 B.4.B 5.B 6.D 7.D 8.D 9.D10.由于 ，所以 ,故选4,cosACAD 52ADBA二、填空题11.9 12.313.作 ACx 轴于 C，BDx 轴于 D，则 DBCABPB E CDFA11 cos6)180cos(,0,2,5,3 DBACDBCADBCA 00022 22 2, .1cos),60()1( () 、 AC14
16、.以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系BAx1DyA1z设平面 PAD 的法向量是 ，(,)mx， ，取 得 ，(0,2),2DP02,0zy1z(2,01)m， 到平面 PAD 的距离 .1,BA1B165BAd三、解答题15.解：（1） 是 PC 的中点，M)(21)(21ABPDBPCMcbacb21)(2（2） ,1,cbaPADB、 160cos2060, baA),(21cbaM、 23)(14)(2414 22 cbcB.626、B16.解：（1）如图12（2）所求多面体体积 V长 方 体 正 三 棱 锥 14623284(cm)3（3）证明：在长方体 中，ABCD连
17、结 ，则 AD因为 分别为 ， 中点，EG，所以 ，从而 又 平面 ， EFG所以 面 BC F17.证明：（1）E,F 分别是 的中点，ABD，EF 是ABD 的中位线，EFAD，AD 面 ACD，EF 面 ACD，直线 EF面 ACD；（2）ADBD，EFAD，EFBD，CB=CD，F 是的中点，CFBD又 EFCF=F, BD面 EFC，BD 面 BCD，面 面 .EFCBD18.解：如图，以 为原点， 为单位长建立空间直角坐标系 DADxyz则 ， 连结 ， (10)A， ， (01)， ， 在平面 中，延长 交 于 BPBH设 ，由已知 ，()(Hm， ， 60D，由 ，可得 cos
18、DAA， 21m解得 ，所以 221， ，（1）因为 ，02cosHC，所以 ，即 与 所成的角为 45D， DP45（2）平面 的一个法向量是 A(01)C， ，因为 ，20cos 21HC，所以 ，可得 与平面 所成的角为 6D， DPA3019.解：（1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1A BCDEFGA BCDPxyzH13zyxED CBAP的正方形，侧棱 PC底面 ABCD，且 PC=2. 1233PABCDABCVSP(2)不论点 E 在何位置，都有 BDAE证明如下：连结 AC，ABCD 是正方形，BDACPC底面 ABCD 且 平面 BDPCB
19、又 BD平面 PACACP不论点 E 在何位置，都有 AE 平面 PAC 不论点 E 在何位置，都有 BDAE(3)解法 1：在平面 DAE 内过点 D 作 DGAE 于 G，连结 BGCD=CB,EC=EC， ，ED=EBRtCtEBAD=AB，EDAEBA，BGEA 为二面角 DEAB 的平面角GBBCDE，ADBC，ADDE在 RADE 中 = =BGAE23在DGB 中，由余弦定理得 21cos2BGD = ，二面角 DAEB 的大小为 .DGB233解法 2：以点 C 为坐标原点，CD 所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图示：则 ,从而(1,0)(,)(0,1)()ABE0(,1)D
20、EAB设平面 ADE 和平面 ABE 的法向量分别为(,)(,)mabcnc由法向量的性质可得： ，0,ab0,abc令 ，则 ，1,c1, (1)(1,)mn设二面角 DAEB 的平面角为 ，则cos2| ，二面角 DAEB 的大小为 .232320.（1）证明：由四边形 为菱形， ，可得 为正三角AC60ACABC形因为 为 的中点，所以 EBCE14又 ，因此 BCAD EA因为 平面 ， 平面 ，所以 PBCDPAE而 平面 ， 平面 且 ，P所以 平面 又 平面 ，所以 （2）解：设 ， 为 上任意一点，连接 2HH，由（1）知 平面 ，AE则 为 与平面 所成的角D在 中， ，Rt
21、 3所以当 最短时， 最大，即当 时， 最大HP此时 ，6tan2AEH因此 又 ，所以 ，2D45A所以 P解法一：因为 平面 ， 平面 ，ABCPC所以平面 平面 过 作 于 ，则 平面 ，EOEO过 作 于 ，连接 ，则 为二面角 的平面角，SFSEAF在 中， ， ，RtA 3sin02A 3cos02又 是 的中点，在 中， ，FPCRtSO in45A又 ，在 中，239048SEOtES，15cos304即所求二面角的余弦值为 5解法二：由（1）知 两两垂直，以 为坐标原点，建立如图所示的AEDP， ， A空间直角坐标系，又 分别为 的中点，所以F， BC，(0)(310)(3)
22、(02)AB， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，PB E C DFAyzx15，31(02)(0)2PEF， ， ， ， ， ， ， ，所以 (3)A， ， ， ， ，设平面 的一法向量为 ，EF11()xyz， ，m则 因此0A，m11302xyz， 取 ，则 ，1z()， ，因为 ， ， ，所以 平面 ，BDCPACABDAFC故 为平面 的一法向量F又 ，所以 (30)， ， 2315cosBA， m因为二面角 为锐角，所以所求二面角的余弦值为 EAFC5空间向量与立体几何 2一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1下列各组向量中不平行的是（ ）A B)4,2(),(ba )0
23、,3(),01(dcC D032fe 421652hg2已知点 ，则点 关于 轴对称的点的坐标为（ ）(,1)AxA B C D)4,(4,),13(),(3若向量 ，且 与 的夹角余弦为 ，则 等于（ ）2(),(baab98A B C 或 D 或25254若 A ，B ，C ，则ABC 的形状是（ ）)1,()3,4()4,16(A不等边锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等边三角形165若 A ，B ，当 取最小值时， 的值等于（ )12,(x)2,(xBAx）A B C D19781496空间四边形 中， ， ，则 的OAB3AOCcos,OABC值是（ ）A B C D2122
24、07设 表示直线， 表示平面，则下列命题中不正确的是（ ） nm、A ，则 / Bm/ ，则 m/n , n,C , , 则 D , , / /m则 n8在棱长均为 2 的正四面体 中，若以三角形 为CAABC视角正面的三视图中，其左视图的面积是（ ） A B C D336229、如图，将无盖正方体纸盒展开，直线 AB,CD在原正方体中的位置关系是（ ）A平行 B相交且垂直 C 异面 D相交成 6010、点 P 在平面 ABC 外，若 PA=PB=PC，则点 P 在平面 ABC 上的射影是ABC 的 （ ）A外心 B.重心 C.内心 D.垂心11、如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角
25、为 45，腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）（A） （B） （C） （D）2122112、已知 PD矩形 ABCD 所在的平面，图中相互垂直的AB CDPA BCDDCAB17平面有（ ）（A）2 对 （B）3 对 （C）4 对 （D）5 对二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）13若向量 ，则)2,36(),2(ba_。(23)bA14若向量 ，则这两个向量的位置关系是,94,kjikji _。15已知向量 ，若 ，则 _；若 则),2(),312(xbaabx/ab_。x16已知向量 若 则实数,5krjikjim/_， _。r17若 ，且 ，则 与 的夹角为(3)a
26、b)57(4)ab)57(ab_。18已知空间四边形 ，点 分别为 的中点，且OABC,MN,OABC，用 ， ， 表示 ，则 =_。cbaAO, abcN三、解答题（每小题 12 分，共 36 分）19（08 海南宁夏卷理 18）如图，已知点 P 在正方体 ABCDA 1B1C1D1的对角线 BD1上，PDA=60.（1）求 DP 与 CC1所成角的大小；（2）求 DP 与平面 AA1D1D 所成角的大小.A BCDPxyzH1820.(08 陕西卷理 20）三棱锥被平行于底面 的平面所截得的几何体如图所ABC示，截面为 ， ， 平面 ， ， ，1ABC901132AB， ， 22D（）证明
27、：平面 平面 ；11BC（）求二面角 的大小 （只求余弦值的大小）A21如图所示的多面体是由底面为 的长方体被截面 所截面而得到ABCD1AECF的，其中.14,2,3,ABCE（）求 的长；F（）求点 到平面 的距离.1AFA1AC1B1B DC19答案一、选择题1D 而零向量与任何向量都平行2/;3/;babdc2A 关于某轴对称，则某坐标不变，其余全部改变3C 2682cos, ,955A或4A ， ，得 为锐角；(3,42)(,13)(,1)BCB0ABCA20，得 为锐角； ，得 为锐角；所以为锐角三角形0CAB 0BACB5C 222(1,23,),(1)(3)()xxx，当 时，
28、 取最小值4987x6D coscos()33cos, 0OACAOBOABCB7.B 8.C 9.D 10.A 11.A 12.D二、填空题13 ，213(10,4)ab2(16,40)ab14垂直 ,)9,A15 若 ，则 ；若 ，则0,6383x/a2:(4)1:2,6x16 5, 511(51)(,),35mambrrr17 022222760,70,493,495abababAAAA得2535,cos, 149ab 18 1()c1()2MNObca三、解答题19（08 海南宁夏卷理 18）如图，已知点 P 在正方体 ABCDA 1B1C1D1的对角线 BD1上，PDA=60.（1）
29、求 DP 与 CC1所成角的大小；（2）求 DP 与平面 AA1D1D 所成角的大小.解：如图，以 为原点， 为单位长建立空间直角坐标系 Axyz则 ， 连结 ， (10)DA， ， (0)C， ， BD在平面 中，延长 交 于 BPH设 ，由已知 ，()(Hm， ， 60A，由 cosA，A BCDPxyzH21可得 解得 ，21m2m所以 （）因为 ，2DH， ，2012cosDHC，所以 即 与 所成的角为 45C， P45（）平面 的一个法向量是 A(01)C， ，因为 ， 所以 20cos 21DH， 60DHC，可得 与平面 所成的角为 PA320.(08 陕西卷理 20）三棱锥被
30、平行于底面 的平面所截得的几何体如图所AB示，截面为 ， ， 平面 ， ， ，1BC901C132AB， ， 2A2D（）证明：平面 平面 ；1A1B（）求二面角 的大小C解：解法一：（） 平面 平面 ，1AC， ABC在 中， ，1ABRt 26B， ， ，又 ，:2DC63D3A， ，即 BA 90BCDBC又 ， 平面 ，11平面 ， 平面 平面 C1A1（）如图，作 交 于 点，连接 ，EC1EB由已知得 平面 ABA1AC1B1B DCA1AC1B1B DCFE（第 19 题，解法一）22是 在面 内的射影AEB1CA由三垂线定理知 ， 为二面角 的平面角EB1ACB过 作 交 于
31、点，则 ， ，1FFF360C在 中， RtAE 3sin602AC在 中， ，tB taBE6arctn3AEB即二面角 为 1AC6rctn3解法二：（）如图，建立空间直角坐标系，则 ，11(0)(20)()(0)(3)BAC， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点坐标为 :1:DC3DB20， ， 203A， ， 1(20)(3)A， ， ， ， ， ， ， ，又 ，1BCA1BCD1A平面 ，又 平面 ， 平面 平面 D11BC（） 平面 ，取 为平面 的法向量，1(20)A， ，m设平面 的法向量为 ，则 1BC()ln， ， 10BCA， n，203lmn， 32
32、l，如图，可取 ，则 ，11， ，A1AC1B1B D Czyx（第 19 题，解法二）23，222230115cos()()A，mn即二面角 为 1ACB15arcos21如图所示的多面体是由底面为 的长方体被截面 所截面而得到ABCD1AECF的，其中.14,2,3,ABE（）求 的长；F（）求点 到平面 的距离.C1AF解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，(0,)D(2,40)B设 .1(2,0)(,4)(2,)(0,43)ACEC(,)Fz 为平行四边形，1F.62,62|).4(,0. ),0(,(1的 长 为即于 是 得由 为 平 行 四 边 形由 BFEFzzA（II）设 为平面 的法向量，1n1AEC)1,(,1yxnD故 可 设不 垂 直 于 平 面显 然 02240,1 yxAFn得由24.41,0214yxxy即的夹角为 ，则11),3(nC与设又 .346|cos1 到平面 的距离为C1AEF.1343cos|1d
