1、解析几何大量精选1.在直角坐标系 中，点 到点 ， 的距离之和是 ，点 的轨迹xOyM13,0F23,04M是 与 轴的负半轴交于点 ，不过点 的直线 与轨迹 交于不同的两点 和CA:lykxbCPQ求轨迹 的方程；当 时，求 与 的关系，并证明直线 过定点0PQkbl【解析】 214xy将 代入曲线 的方程，kbC整理得 ，22()840xkb因为直线 与曲线 交于不同的两点 和 ，l PQ所以 22264(1)16(41)0kb设 ， ，则 ， 1,Pxy,Qxy8x24xk且 ，221212112()()14bkbkb显然，曲线 与 轴的负半轴交于点 ，Cx,0A所以 ， 11,APy2
2、2Qxy由 ，得 0 1()将、代入上式，整理得 65kb所以 ，即 或 经检验，都符合条件(2)65kbk当 时，直线 的方程为 显然，此时直线 经过定点 点l2yxl2,0即直线 经过点 ，与题意不符lA当 时，直线 的方程为 5bkl65kx显然，此时直线 经过定点 点，满足题意,0综上， 与 的关系是 ，且直线 经过定点kb65kl6,052. 已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径2:1xyCa(0)b12的圆与直线 相切6 求椭圆 的方程； 设 ， ， 是椭圆 上关于 轴对称的任意两个不同的点，连结 交椭圆(4,0)PABCx PB于另一点 ，证明直线 与 轴相交
3、于定点 ；EExQ 在的条件下，过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，求 的取值范围QMNON【解析】 2143xy 由题意知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 PBPB(4)ykxQ xyOPA由 得 2(4),1.3ykx222(3)6410kxk设点 ， ，则 (,)B2,Ey1(,)Ay直线 的方程为 A2x令 ，得 0y21()xy将 ， 代入整理，得 1(4)k24kx12124()8xx由得 ， 代入 整理，得 3x2163k所以直线 与 轴相交于定点 AE(0)Q，3 54,.设椭圆 的一个顶点与抛物线 的焦点重合， 分2:1(0)xyCab2:43Cxy12F，别是椭圆的左、右
4、焦点，且离心率 ，过椭圆右焦点 的直线 与椭圆 交于 两12e2FlCMN、点 求椭圆 的方程； 是否存在直线 ，使得 若存在，求出直线 的方程；若不存在，lOMN l说明理由【解析】 2143xy 由题意知，直线 与椭圆必有两个不同交点l当直线斜率不存在时，经检验不合题意设存在直线 为 ，且 ， (1)0ykx1()Mxy， 2()Nxy，由 ，得 ，2143()xyk224840k， ，2128x213x122122()1OMNykx，485()3434kk 所以 ，故直线 的方程为 或 l2(1)yx2(1)yx本题直线 的方程也可设为 ，此时 一定存在，不能讨论，且计算m时数据更简单.
5、如图，椭圆 的离心率为 轴被曲线 截得的21:0xyCab32， x22:Cyxb线段长等于 的长半轴长 求 的方程；12， 设 与 轴的交点为 ，过坐标原点 的直线 与 相交于点 ，直线yMOl2AB，分别与 相交与 MAB， 1DE，证明： ；DE记 的面积分别是 问是否存在直线 ，使得 ? ， 12S， l1273S请说明理由【解析】 2214xyx， 由题意知，直线 的斜率存在，设为 ，lk则直线 的方程为 lyk由 得 ，21ykx210x设 ，则 是上述方程的两2ABy， ， ， 2x，个实根，于是 112k，又点 的坐标为 ，M0，所以 ，21211212 1ABxkxkxykx
6、 故 ，即 DE设直线 的斜率为 ，则直线的方程为 ，K1k1y由 ，解得 或 ，则点 的坐标为 12ykx0y12xkA21k，又直线 的斜率为 ，同理可得点 的坐标为 MB1kB21，于是 21 1211| |2 |kSAk由 得 ，40ykx211480x解得 或 ，则点 的坐标为 ；1xy212184kD21184k，又直线 的斜率为 ，同理可得点 的坐标 MB1kE21124k，于是 2123|1|4kSDE因此 ，22211112(4) 766kkx yOME DB A由题意知， 解得 或 21417632k214k21又由点 的坐标可知， ，所以 AB， 11kk32故满足条件的
7、直线 存在，且有两条，其方程分别为 和 l yxx. 在直角坐标系 中，点 到点 ， 的距离之和是 ，点 的轨xOyM13,0F23,04M迹是 与 轴的负半轴交于点 ，不过点 的直线 与轨迹 交于不同的两点CA:lykxbC和 PQ 求轨迹 的方程； 当 时，求 与 的关系，并证明直线 过定点0Pkbl【解析】 214xy将 代入曲线 的方程，kbC整理得 ，22()840xkb因为直线 与曲线 交于不同的两点 和 ，l PQ所以 22264(1)16(41)0kb设 ， ，则 ， 1,Pxy,Qxy8x24xk且 ，221212112()()14bkbkb显然，曲线 与 轴的负半轴交于点 ，Cx,0A所以 ， 11,APy22Qxy由 ，得 0 1()将、代入上式，整理得 65kb所以 ，即 或 经检验，都符合条件(2)65kbk当 时，直线 的方程为 显然，此时直线 经过定点 点l2yxl2,0即直线 经过点 ，与题意不符lA当 时，直线 的方程为 5bkl65kx显然，此时直线 经过定点 点，满足题意,0综上， 与 的关系是 ，且直线 经过定点 kb65kl6,05Q xyOPA
