1、1第一部分 第三章 第 14 讲命题点 1 二次函数的实际应用1(2016云南 22 题 9 分)草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克 20 元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克 40 元，经试销发现，销售量 y(千克)与销售单价 x(元)符合一次函数关系，如图是 y 与 x 的函数关系图象(1)求 y 与 x 的函数解析式(也称关系式)；(2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为 w 元，求 w 的最大值解：(1)设 y 与 x 的函数关系式为 y kx b，根据题意，得Error!解得Error! y 与 x 的函数解析式为
2、 y2 x340(20 x40)(2)由已知得 w( x20)(2 x340)2 x2380 x6 8002( x95) 211 250.290，只能 CM MQ.设直线 BC 的解析式为 y kx b(k0)，把 B(2,0)， C(0,4)代入 y kx b，得Error!解得 Error!直线 BC 的解析式为 y2 x4，设 M(m，2 m4)，则 MQ2 m4， OQ m， BQ2 m，在 Rt OBC 中， BC 2 ，OB2 OC2 22 42 5 MQ OC, BMQ BCO， ， 即 ，BMBC BQBO BM25 2 m2 BM (2 m)2 m，5 5 5 CM BC B
3、M2 (2 m) m.5 5 5 5 CM MQ，2 m4 m, m 4 8，545 2 5 Q(4 8,0)；5图 1 图 2 图 3答图当 QMB90时，如答图 3， CMQ90，只能 CM MQ，同理可设 M(m，2 m4)，在 Rt COB 和 Rt QMB 中，tan CBOtan MBQ 2.OCOB 42又tan MBQ ，由知 BM2 m，MQBM 5 5MQ CM m，5tan MBQ 2，MQBM 5m25 5m m4 2 m， m ， M( ， )5 5 543 43 434此时 BM2 m ， MQ ，5 5235 435 BQ ，BM2 MQ21009 103 OQ
4、BQ OB 2 ， Q( ，0)103 43 43综上所述， Q 点坐标为(4 8,0)或( ，0)5434(2016曲靖 23 题 12 分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ax22 ax c 交x 轴于 A， B 两点，交 y 轴于点 C(0,3)，tan OAC .34(1)求抛物线的解析式；(2)点 H 是线段 AC 上任意一点，过 H 作直线 HN x 轴于点 N，交抛物线于点 P，求线段PH 的最大值；(3)点 M 是抛物线上任意一点，连接 CM，以 CM 为边作正方形 CMEF，是否存在点 M 使点E 恰好落在对称轴上？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由解：
5、(1) C(0,3)， OC3.tan OAC ， OA4, OCOA 34点 A 的坐标为(4,0)把 A(4,0)， C(0,3)代入 y ax22 ax c，得Error! 解得Error!抛物线的解析式为 y x2 x3.38 34(2)设 AC 的解析式为 y kx b，把 A(4,0)， C(0,3)代入 y kx b，得Error!解得Error! AC 的解析式为 y x3.34设点 N 的坐标为( x,0)，则点 H 的坐标为( x， x3)，点 P 的坐标为( x， x2 x3)，34 38 34 PH x2 x3( x3) x2 x (x2) 2 .38 34 34 38
6、 32 38 325 0, PH 有最大值， PH 最大 .38 32即线段 PH 的最大值是 .32(3)如答图，过点 M 作 MK y 轴于点 K，交对称轴于点 G，则 MGE MKC90，答图 MEG EMG90.四边形 CMEF 是正方形， EM MC， EMC90， EMG CMK90， MEG CMK， MKC EGM， MG CK.由抛物线知对称轴为直线 x1，设 M 点坐标为( x， x2 x3)，则 G 点坐标为38 34(1， x2 x3)， K 点坐标为(0， x2 x3)，38 34 38 34 MG| x1|， CK| x2 x33| x2 x| x2 x|，38 3
7、4 38 34 38 34| x1| x2 x|， x2 x( x1)，38 34 38 34 x2 x x1 或 x2 x x1.38 34 38 34解得 x14， x2 ， x3 ， x42.23 43代入抛物线解析式得 y10， y2 ， y3 ， y40.103 103点 M 的坐标是 M1(4,0)， M2( ， )，23 103M3( ， )， M4(2,0)43 1035(2015昆明 23 题 9 分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ax2 x c(a0)与32x 轴交于 A， B 两点(点 A 在点 B 的右侧)，与 y 轴交于点 C，点 A 的坐标为(4,0)，抛物
8、线的对称轴是直线 x .326(1)求抛物线的解析式；(2)M 为第一象限内的抛物线上的一个点，过点 M 作 MG x 轴于点 G，交 AC 于点 H，当线段 CM CH 时，求点 M 的坐标；(3)在(2)的条件下，将线段 MG 绕点 G 顺时针旋转一个角 (0 90)，在旋转过程中，设线段 MG 与抛物线交于点 N，在线段 GA 上是否存在点 P，使得以 P， N， G 为顶点的三角形与 ABC 相似？如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由解：(1) x ， b ， a ，b2a 32 32 12把 A(4,0)， a 代入 y ax2 x c，可得( ) 42 4 c0，
9、解得 c2，12 32 12 32则抛物线的解析式为 y x2 x2.12 32(2)如答图 1，连接 CM，过 C 点作 CE MH 于点 E.答图 1 y x2 x2，12 32当 x0 时， y2， C 点的坐标是(0,2)，设直线 AC 的解析式为 y kx b(k0)，把 A(4,0)， C(0,2)代入 y kx b，得Error! 解得Error!直线 AC 的解析式为 y x2.12点 M 在抛物线上，点 H 在 AC 上， MG x 轴，设点 M 的坐标为( m， m2 m2)，12 32点 H 的坐标为( m， m2)，127 MH m2 m2( m2) m22 m.12
10、32 12 12 CM CH， OC GE2， MH2 EH22( m2) m.12又 MH m22 m， m22 m m，12 12即 m(m2)0，解得 m2 或 m0(不符合题意，舍去)， m2，当 m2 时， y 22 223，12 32点 M 的坐标为(2,3)(3)存在点 P，使得以 P， N， G 为顶点的三角形与 ABC 相似，理由如下：抛物线与 x 轴交于 A， B 两点， A(4,0)， A， B 两点关于直线 x 对称，32 B(1,0) AC 2 ， BC ， AB5，42 22 5 12 22 5 AC2 BC2(2 )2( )225， AB25 225.5 5 AC
11、2 BC2 AB2， ABC 为直角三角形， ACB90.线段 MG 绕 G 点旋转过程中，与抛物线交于点 N，当 NP x 轴时， NPG90，设 P点坐标为( n,0)，则 N 点坐标为( n， n2 n2)，12 32如答图 2，当 时，N1P1AC P1GCB答图 2 N1P1G ACB90， N1P1G ACB， ， 12n2 32n 225 n 25解得 n13， n24(不符合题意，舍去)，点 P1的坐标为(3,0)；8当 时， N2P2G BCA90，N2P2BC P2GCA N2P2G BCA， ， 12n2 32n 25 n 225解得 n11 ， n21 (不符合题意，舍去)，7 7点 P2的坐标为(1 ，0)7综上所述：存在点 P，使得以 P， N， G 为顶点的三角形与 ABC 相似，点 P 的坐标为(3,0)或(1 ，0)7
