1、第 1 页（共 22 页）2016-2017 学年上海市浦东新区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共 6 题，每天 4 分，共 24 分1下列各组线段中，能成比例线段的一组是（ ）A2，3，4，6 B2，3， 4，5 C2，3，5，7 D3，4，5，62已知ABC 中，D，E 分别是边 BC，AC 上的点，下列各式中，不能判断 DEAB 的是（ ）A B C D3如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，下列式子正确的是（ ）A B C D4已知 、 和 都是非零向量，在下列选项中，不能判定 的是（ ）A ， B| |=| | C D ，5下列各组条件中一定能推得ABC
2、 与DEF 相似的是（ ）A B ，且A=EC ，且A= D D ，且A= D6已知梯形 ABCD 的对角线交于 O，ADBC ，有以下四个结论：AOBCOD；AODBOC ；SCOD ：S AOD =BC：AD；SCOD =SAOB正确结论有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个二、填空题：本大题共 12 题，每题 4 分，共 48 分7已知 = ，那么 = 8已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，AB=4cm ，则较长线段 AP 的长是= cm9已知两个相似三角形的相似比为 2：3，则它们对应角平分线的比为 10若 是单位向量， 与 的方向相反，且长度为 3，则 用 表示是 第 2
3、 页（共 22 页）11在ABC 中，C=90，AB=13，AC=5 ，那么A 的余弦值是 12在 RtABC 中，C=90，BC=3，sinA= ，那么 AB= 13在ABC 中，A 与B 是锐角，sinA= ，cotB= ，那么C= 度14如图，已知 l1l 2l 3，若 = ，DE=6，则 EF= 15如图，在ABC 中，AD 是中线，G 是重心， = ， = ，那么 = （用 、表示）16如图ABC 中，AB=9 ，点 D 在边 AB 上，AD=5，B=ACD，则 AC= 17已知：ABCDEF ，且A=D，AB=8，AC=6，DE=2，那么 DF= 18如图，在 RtABC 中，C=
4、90，AC=3，cotA= ，点 D、E 分别是边 BC、AC 上的点，且EDC=A，将ABC 沿 DE 对折，若点 C 恰好落在 AB 上，则 DE 的长为 三、解答题：本大题共 7 题，19 题-22 题每题 10 分，23-24 题每题 12 分，25 题 14 分，共78 分19计算： 3cot260tan45第 3 页（共 22 页）20已知：如图，两个不平行的向量 和 先化简，再求作：（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）21如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 为边 BC 上一点，连接 AE 并延长 AE 交 DC 的延长线于点 M，交 BD 于点 G，过点 G 作 G
5、FBC 交 DC 于点 F求证： 22如图，在四边形 ABCD 中，BD 平分ABC ，BDC=A=90 ， ，求的值23如图，在ABC 中，C=90，点 D、E 分别在边 AC、AB 上，BD 平分ABC，DE AB，AE=8 ，sinA= （1）求 CD 的长；（2）求 tanDBC 的值第 4 页（共 22 页）24如图：已知一次函数 y= x+3 的图象分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，且点C（4，m）在一次函数 y= x+3 的图象上，CDx 轴于点 D（1）求 m 的值及 A、B 两点的坐标；（2）如果点 E 在线段 AC 上，且 = ，求 E 点的坐标；（3）如果点 P 在
6、 x 轴上，那么当APC 与ABD 相似时，求点 P 的坐标25如图，在ABC 中，AB=AC=12 ，BC=6，点 D 在边 AB 上，点 E 在线段 CD 上，且BEC=ACB，BE 的延长线与边 AC 相交于点 F（1）求证：BE CD=BDBC；（2）设 AD=x，AF=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果 AD=3，求线段 BF 的长第 5 页（共 22 页）2016-2017 学年上海市浦东新区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 6 题，每天 4 分，共 24 分1下列各组线段中，能成比例线段的一组是（ ）A2，3，4，6 B2，
7、3， 4，5 C2，3，5，7 D3，4，5，6【分析】根据成比例线段的定义对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】解：A、2：3=4 ：6，2，3，4，6 能成比例线段，故本选项正确；B、2，3，4，5 不能成比例线段，故本选项错误；C、2，3，5，7 不能成比例线段，故本选项错误；D、3，4，5，6 不能成比例线段，故本选项错误故选 A【点评】本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键2已知ABC 中，D，E 分别是边 BC，AC 上的点，下列各式中，不能判断 DEAB 的是（ ）A B C D【分析】若使线段 DEAB，则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定DEAB【
8、解答】解：如图，若使线段 DEAB，则其对应边必成比例，即 = ， = ，故选项 A、B 正确；= ，即 = ，故选项 C 正确；而 = ，故 D 选项答案错误故选 D【点评】本题主要考查了由平行线分线段成比例判定线段平行的问题，能够掌握其性质，并能够通过其性质判定两直线平行3如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，下列式子正确的是（ ）第 6 页（共 22 页）A B C D【分析】先根据直角三角形两锐角互余的关系求出A=BCD，再由锐角三角函数的定义对四个选项进行逐一判断【解答】解：CDAB 于 D，BCD 是直角三角形，B+BCD=90，ABC 是直角三角形，ACB=9
9、0，B+A=90 ，A= BCD，A、A= BCD，sinA=sinABCD= = ，故本选项正确；B、A= BCD，cosA=cosBCD= = ，故本选项错误；C、A= BCD，cotA=cotBCD= = ，故本选项错误；D、A= BCD，tanA=tanBCD= = ，故本选项错误故选 A【点评】本题考查的是直角三角形两锐角的关系及锐角三角函数的定义，根据直角三角形的性质求出A=BCD 是解答此题的关键4已知 、 和 都是非零向量，在下列选项中，不能判定 的是（ ）A ， B| |=| | C D ，【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解【解
10、答】解：A、 ， ， ，故本选项错误；B、| |=| |， 与 的模相等，但不一定平行，故本选项正确；C、 ， ，故本选项错误；D、 ， ， ，故本选项错误故选 B【点评】本题考查了平面向量，是基础题，熟记平行向量的定义是解题的关键5下列各组条件中一定能推得ABC 与DEF 相似的是（ ）第 7 页（共 22 页）A B ，且A=EC ，且A= D D ，且A= D【分析】根据三角形相似的判定方法（两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出 A、B 的正误；两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）进行判断【解答】解：A、ABC 与DEF 的三组边不是对应成比例
11、，所以不能判定ABC 与DEF 相似故本选项错误；B、A 与E 不是ABC 与DEF 的对应成比例的两边的夹角，所以不能判定ABC 与DEF 相似故本选项错误；C、ABC 与DEF 的两组对应边的比相等且夹角对应相等，所以能判定 ABC 与DEF相似故本选项正确；D、 ，不是ABC 与DEF 的对应边成比例，所以不能判定ABC 与DEF 相似故本选项错误；故选 C【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组
12、对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似6已知梯形 ABCD 的对角线交于 O，ADBC ，有以下四个结论：AOBCOD；AODBOC ；SCOD ：S AOD =BC：AD；SCOD =SAOB正确结论有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】根据相似三角形的判定定理、三角形的面积公式判断即可【解答】解：ABCD，AOBCOD，正确；ADO 不一定等于BCO，AOD 与BOC 不一定相似， 错误；S DOC ：S AOD =CO：AO=DC：AB， 错误；SCOD SAOB ，错误，第 8 页（共 22 页）故选：A【点评】本题
13、考查的是相似三角形的性质和判定、梯形的性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键二、填空题：本大题共 12 题，每题 4 分，共 48 分7已知 = ，那么 = 【分析】根据比例设 a=5k，b=2k，然后代入比例进行计算即可得解【解答】解：根据 = ，设 a=5k，b=2k，则 = = = ；故答案为： 【点评】本题考查了比例的性质，是基础题，利用比例式用 k 分别表示出 a、b 进行求解比较简单8已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，AB=4cm ，则较长线段 AP 的长是= 2 2 cm【分析】根据黄金分割的概念得到 AP= AB，把 AB=4cm 代入计算即可【解答】解：P 是线段
14、AB 的黄金分割点，AP BP ，AP= AB，而 AB=6cm，AP=3 =2 2故答案是：2 2【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的 倍9已知两个相似三角形的相似比为 2：3，则它们对应角平分线的比为 2：3 第 9 页（共 22 页）【分析】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比的性质解答【解答】解：相似比为 2：3，对应角平分线的比为 2：3【点评】本题利用相似三角形的性质求解10若 是单位向量， 与 的方向相反，且长度为 3
15、，则 用 表示是 3 【分析】由 与 的方向相反，可知是负的，又由长度为 3，即可得到 【解答】解： 是单位向量， 与 的方向相反，且长度为 3， =3 故答案为：3 【点评】此题考查向量的知识注意方向相反即是符号相反，长度是 3，即是 3 个单位长度，即 3 11在ABC 中，C=90，AB=13，AC=5 ，那么A 的余弦值是 【分析】根据余弦的定义解答即可【解答】解：cosA= = ，故答案为： 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角 A 的邻边 b 与斜边 c 的比叫做A的余弦是解题的关键12在 RtABC 中，C=90，BC=3，sinA= ，那么 AB= 18 【分析】运
16、用三角函数定义求解【解答】解：在 RtABC 中，C=90 ，sinA= = ，AB=36=18故答案为：18【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系13在ABC 中，A 与B 是锐角，sinA= ，cotB= ，那么C= 75 度【分析】先根据，A 与B 是锐角，sinA= ，cotB= 求出A 及B 的度数，再根据三角形内角和定理进行解答即可第 10 页（共 22 页）【解答】解：A 与B 是锐角，sinA= ，cotB= ，A=45 ，B=60，C=180 AB=180 4560=75故答案为：75【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理
17、，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键14如图，已知 l1l 2l 3，若 = ，DE=6，则 EF= 9 【分析】由 l1l 2l 3，可得 = ，结合条件即可解决问题【解答】解：l 1l 2l 3， = ，又 = ，DE=6， =EF=9，故答案为 9【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于基础题，中考常考题型15如图，在ABC 中，AD 是中线，G 是重心， = ， = ，那么 = （用 、 表示）【分析】根据重心定理求出 ，再利用三角形法则求出 即可第 11 页（共 22 页）【解答】解：根据三角形的重心定理，AG= AD，于是 =
18、 = 故 = = 故答案为： 【点评】此题考查了平面向量的三角形法则和重心定理（三角形的重心是各中线的交点，重心定理是说三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的 ） ，难度不大16如图ABC 中，AB=9 ，点 D 在边 AB 上，AD=5，B=ACD，则 AC= 【分析】由条件B=ACD ，A= A，可以得出ACDABC，可以得出 ，再将 AB=9，AD=5 代入比例式就可以求出 AC 的值【解答】解：B=ACD ，且A= A，ACDABC， AB=9，AD=5， ，AC=3 故答案为：3 【点评】本题考查了相似三角形的判定与相似三角形的性质的运用，在解答中运用两角对应相等证明两三角形
19、相似是解答的关键17已知：ABCDEF ，且A=D，AB=8，AC=6，DE=2，那么 DF= 【分析】根据相似三角形对应边成比例列出比例式进行计算即可得解【解答】解：ABCDEF，第 12 页（共 22 页） = ，AB=8，AC=6，DE=2， = ，解得 DF= 故答案为： 【点评】本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，根据相似三角形对应顶点的字母写在对应位置上确定出对应边是解题的关键18如图，在 RtABC 中，C=90，AC=3，cotA= ，点 D、E 分别是边 BC、AC 上的点，且EDC=A，将ABC 沿 DE 对折，若点 C 恰好落在 AB 上，则 DE 的长为 【分析】把
20、ABC 沿 DE 对折，点 C 恰好落在 AB 的 F 点处，CF 与 DE 相交于 O 点，根据折叠的性质得到 DECF ，OC=OF ，再根据等角的余角相等得 1=EDC，而EDC=A，则 1= A，所以 FC=FA，同理可得 FC=FB，于是有CF= AB，OC= AB，然后根据余切的定义和勾股定理得到 BC=4，AB=5 ，所以 OC= ，再分别在 Rt OEC 和 RtODC 中，利用余切的定义计算出 OE= ，OD= ，再计算OE+OD 即可【解答】解：把ABC 沿 DE 对折，点 C 恰好落在 AB 的 F 点处，CF 与 DE 相交于 O 点，如图，DECF ，OC=OF ，E
21、DC+OCD=90，1+OCD=90，1=EDC，而EDC=A ，1=A，第 13 页（共 22 页）FC=FA，同理可得 FC=FB，CF= AB，OC= AB，在 Rt ABC 中，C=90 ，AC=3，cotA= = ，BC=4，AB= =5，OC= ，在 Rt OEC 中， cot1=cotA= ，即 = ，OE= ，在 Rt ODC 中，cotODC=cotA= ，即 = ，OD= ，DE=OD+OE= + = 故答案为 【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了勾股定理和锐角三角函数三、解答题：
22、本大题共 7 题，19 题-22 题每题 10 分，23-24 题每题 12 分，25 题 14 分，共78 分19计算： 3cot260tan45【分析】将 sin30= ，cos30= ，sin60 = ，cos60 = ，cot60 = ，tan45=1 代入进行计算即可得解第 14 页（共 22 页）【解答】解： 3cot260tan45，= 3（ ） 21，= 3 1，= 1，=2+ 1，=1+ 【点评】本题考查了特殊角的三角函数，熟记 30、45、60特殊角的正弦，余弦以及正切值是解题的关键20已知：如图，两个不平行的向量 和 先化简，再求作：（不要求写作法，但要指出图中表示结论的
23、向量）【分析】首先化简： ，然后根据化简的结果作图即可求得答案【解答】解： ，= ，= +2 如图： = ， =2 ，则 即为所求第 15 页（共 22 页）【点评】此题考查了平面向量的知识解题的关键是现将 化简，然后再作图21如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 为边 BC 上一点，连接 AE 并延长 AE 交 DC 的延长线于点 M，交 BD 于点 G，过点 G 作 GFBC 交 DC 于点 F求证： 【分析】由 GFBC，根据平行线分线段成比例定理，可得 ，又由四边形 ABCD是平行四边形，可得 AB=CD，ABCD ，继而可证得 ，则可证得结论【解答】证明：GFBC， ，四边形 A
24、BCD 是平行四边形，AB=CD，ABCD， ， 【点评】此题考查了平行分线段成比例定理以及平行四边形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用22如图，在四边形 ABCD 中，BD 平分ABC ，BDC=A=90 ， ，求的值第 16 页（共 22 页）【分析】三角形的面积比等于对应边的平方比，由于ABDDBC，所以只要求其对应边的比值即可【解答】解：BD 平分ABC，ABD=DBC又BDC=A=90，ABDDBC ，在 Rt ABD 中， ， 【点评】本题主要考查了相似三角形对应边与面积的比值之间的关系，能够利用相似三角形的性质求解一些简单的问题23如图，在ABC 中，C=90，点 D
25、、E 分别在边 AC、AB 上，BD 平分ABC，DE AB，AE=8 ，sinA= （1）求 CD 的长；（2）求 tanDBC 的值【分析】 （1）根据正弦的概念和勾股定理求出 DE 的值，根据角平分线的性质求出 CD 的长；（2）根据相似三角形的判定和性质求出 AB、BE 、BC 的长，根据正切的概念计算得到答案【解答】解：（1）sinA= ， = ，设 DE=3x，则 DA=5x，由勾股定理得， （5x） 2（3x） 2=82，第 17 页（共 22 页）解得 x=2，DE=3x=6，DA=5x=10，BD 平分ABC ，DE AB，C=90，CD=DE=6；（2）DEAB，C=90
26、，AED ACB， ，即 = ，解得 AB=20，则 BE=ABAE=12，BC=12，则 tanDBC= = 【点评】本题考查的是角平分线的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的概念，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键24如图：已知一次函数 y= x+3 的图象分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，且点C（4，m）在一次函数 y= x+3 的图象上，CDx 轴于点 D（1）求 m 的值及 A、B 两点的坐标；（2）如果点 E 在线段 AC 上，且 = ，求 E 点的坐标；（3）如果点 P 在 x 轴上，那么当APC 与ABD 相似时，求点 P 的坐标【分析】 （1）
27、把 C 点坐标代入 y= x+3 可求出 m 的值，把 x=0，y=0 分别代入一次函数解析式中，可得点 B，A 的坐标；（2）过 E 点作 EF 垂直 x 轴，再利用相似三角形的性质进行解答即可；（3）根据分类讨论思想分析解答即可【解答】解：（1）把 x=0，代入一次函数的解析式中，可得：y=3，所以点 B 的坐标是（0，3） ；把 y=0 代入一次函数的解析式中，第 18 页（共 22 页）可得：x= 4，所以点 A 的坐标是（4，0） ，把 x=4 代入一次函数的解析式中，可得：y=6，所以 m 的值是 6；（2）过 E 点作 EF 垂直 x 轴与 F 点，过 C 点作 CDx 轴，如图
28、 1，AEFACD， ， ，根据题意得：EFCD，且 AD=8，CD=6 ， ， ，E 点的坐标为（3）当点 P 在 OA 的延长线上时，BADAPC，BAD ACP ，且BADPAC，当点 P 在如图 2 的位置上时，则APC ABD ，则 ，当点 P 在如图 3 的位置上时，则APC ABD ，则 AP=16，则 P2=（12，0） ，综上所述：符合条件的点 P 的坐标是 第 19 页（共 22 页）【点评】本题主要考查一次函数和相似三角形的综合应用，第（3）问中只有相似没有对应，所以要进行分类讨论是解题的关键25如图，在ABC 中，AB=AC=12 ，BC=6，点 D 在边 AB 上，点
29、 E 在线段 CD 上，且BEC=ACB，BE 的延长线与边 AC 相交于点 F（1）求证：BE CD=BDBC；（2）设 AD=x，AF=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果 AD=3，求线段 BF 的长第 20 页（共 22 页）【分析】 （1）由 AB=AC，得ABC=ACB ，而BEC= ACB ，可得BEC= ABC，再加上公共角可得CBECDB，写出相似比即可（2）由CBECDB，得CBE=CDB，得到FCBCBD，有 ，而BD=ABAD=12x，得到 而AF=ACCF，即可得到 （3）过点 A、F 分别作 AG BC、FH BC ，垂足分别为 G、H，则
30、，而 AD=3，CF= ，CG= 可计算出 CH=1，在 RtCFH 中利用勾股定理计算出 FH，再在 RtBFH 利用勾股定理即可计算出 BF【解答】 （1）证明：AB=AC，ABC=ACB，BEC=ACB，BEC=ABC又BCE= DCB，CBE CDB 即 BECD=BDBC（2）解：CBECDB，CBE=CDB又FCB= CBDFCBCBD ，BD=AB AD=12x， ，第 21 页（共 22 页） AF=ACCF， ，y 关于 x 的函数解析式是 ，定义域为 0x9（3）解：过点 A、F 分别作 AGBC 、FH BC ，垂足分别为 G、H，如图 ，AD=3 ，CF= ，CG= ，CH=1FH 2=CF2CH2=161=15BH=BCCH=61=5，BF= 【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：若两个三角形有两组角对应相等，则这两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等也考查了勾股定理以及三角函数的定义第 22 页（共 22 页）2016 年 12 月 11 日
