1、 1苏州新希望教育个性化教案教师姓名 陆战 学生姓名 年级 九年级辅导科目 数学 上课时间 课时 2课题名称 一元二次方程全章复习教 学 及 辅 导 过 程一. 教学内容：一元二次方程全章复习1. 一元二次方程的概念、解法及其应用。2. 可转化为一元二次方程的分式方程和无理方程。3. 一元二次方程的根的判别式。4. 一元二次方程的根与系数的关系及其应用。5. 二元二次方程组的解法。二. 重点、难点：重点：本章重点是一元二次方程的解法，根的判别式及根与系数的关系。难点：难点是一元二次方程中的隐含条件，分类讨论。【例题分析】一、对“元、次”概念的理解：例 1. 关于 x 的一元二次方程 kx2+(
2、2k-1)x+k=0 有实数根，求 k 的取值范围。分析：注意隐含条件：二次项系数不等于 0。解： ，0214140kkk 且 ()。 的 取 值 范 围 是 且 0隐含条件题目的表达方式：（1）关于 x 的方程 ax2+bx+c=0(a0)，含义是一元二次方程；（2）关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0，含义是一元二次方程，隐含 a0；（3）关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有两个实数根，含义是一元二次方程，隐含 a0。例 已 知 关 于 的 方 程 有 实 根 ， 求 的 取 值 范 围 。. ()()axa2110分析：注意二次项系数要分类讨论，二次项系数为 0 时，是一
3、元一次方程，若二次项系数不为 0 时，是一元二次方程。解： （ ） 当 ， 即 时 ，1012aa480()() a 且 a2（ ） 当 ， 即 时 ，21012aa当 时 ， x4当 时 ， 方 程 无 解 当 时 ， 方 程 有 实 根 。a综合（1） 、 （2） ，a 的取值范围是 a-1。二、对“方程的解”概念的理解：1. 方程的解与根的区别：只有一元方程的解也叫做根，多元方程只叫做解。2. 方程有相同的解：一元方程有重根，二元方程组有相同的解。分式方程、无理方程不考虑相同的解。方程组有两个相同的解时叫做有一个实数解。例 当 为 何 值 时 ， 方 程 组 只 有 一 个 实 数 解
4、？3. mxym214解：由得 x=m-y 把 代 入 ， 得 ()y2整 理 ， 得 414022m方程组只有一个实数解 ()()22m即 20m。 ，01 当 为 或 时 ， 方 程 组 只 有 一 个 实 数 解013. 对“方程的解”的认识的三个层次：（1）解出来：解方程结构图解一元二次方程的方法有：开平方法、配方法、公式法、因式分解法。3对于方程 ax2+bx+c=0(a0)a.b=0c当 ， 时 ， 只 考 虑 开 平 方 法 ， ， 其 中 、 异 号 （ 、 同 号 时 无 实xcacac数根） ；c xba.当 ， 时 ， 用 因 式 分 解 法 （ 提 公 因 式 ） ，
5、；012 c.b当 ， 时 ， 先 考 虑 用 因 式 分 解 （ 十 字 相 乘 ） 法 ；0。再 考 虑 用 公 式 法 xbacb2240()虽然，无论在什么情况下，a、c 异号时，方程必有两个不相等的实数根。但要注意，解方程前，应把方程化为一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0(a0)，其中使 a 为正，把 a、b、c 整理为整数，并约去 a、b、c 的公因数，这样有利于减少出错和提高解题速度。例 解 方 程 ：4. 021402.x解 ： 整 理 系 数 7()215x。 ， 2解可化为一元二次方程的分式方程和无理方程时，应注意验根。解二元二次方程组，分为两种类型：型：由一个二
6、元一次方程和一个二元二次方程组成。型：由两个二元二次方程组成。解二元二次方程组时，先判断属于哪种类型，若是型，则用代入消元法，把其中的一次方程代入到二次方程中，这种方程最多两组解；若是型，可转化为型求解。例 解 方 程 组 5328413.xy解： 由 得 把 代 入 ， 得 xx238213()()整 理 ， 得 710 ，x1254分 别 代 入 ， 得 ，y127 ，xy1257例 解 方 程 ：6. xx22308解： 设 ， 则 有yy208去 分 母 得 y20y120，当 时 ， ， ， ；xx12305当 时 ， ， ，y2234经 检 验 ： ， ， ， 都 是 原 方 程
7、的 解 。xx12512（2）代进去：代入方程：验根，判断根：“数”分别代入方程的左、右两边；已知根，将“数”同时代入方程的左右两边。代入时机：化简后选择时机适时代入。例 如 果 是 关 于 的 方 程 的 根 ， 求 的 值 。7.x=85xaxaa12432961解： 把 方 程 化 简 得 96a把 代 入 方 程 ， 得x8502 ，a32例 若 是 方 程 组 的 解 ， 求 的 值 。8.x=y1axya321解： 把 ， 代 入 ， 得a325去 分 母 ， 整 理 得 a230 ，a31（3）还原方程：利用根的定义例 已 知 、 是 不 相 等 的 实 数 ， 且 ， ， 求
8、的 值 。9. babab2223030解： 、 是 不 相 等 的 实 数 。a 、 是 一 元 二 次 方 程 的 两 个 不 等 实 根 。bx230 ，a13 。ab2 1()例 已 知 ， 求 的 值 。0. =2314732a分析：构造关于 a 的方程。解： 去 分 母 ， 得 ，()a两 边 平 方 ， 得 32a整 理 ， 得 20 。aaaa3322479()()3、一元二次方程根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)根的判别式是 =b 2-4ac。方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ；方 程 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ；方 程 没 有 实
9、 数 根 。注意：利用根的判别式的前提条件是方程必须是一元二次方程，即隐含条件 a0。1. 构造关于待定系数的方程：（=b 2-4ac=0）例 已 知 关 于 的 方 程 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 且1. xmxn237120()mnn、 满 足 ， 求 、 的 值 。20解：方程有两个相等的实数根， ()()3471202即 n6 。mn320122. 构造关于待定系数的不等式：例 已 知 关 于 的 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 。1402.xkx（ ） 求 的 取 值 范 围 。 （ ） 化 简 24k k|解：（1）方程有两个不相等的实数根。 24040
10、2k()（ ）242|kk|()|当 时 ， ，220kk原 式 43. 还原方程：例 设 、 、 为 实 数 ， 求 证 ：13232. ()()(abcbacbca分析： 结 构 象 判 别 式 的 形 式 。c24两 边 同 乘 以 ， 得 。4232()()()baabca解：构造一元方程()()()abcxcx230当 时 ， ， ，baabca0220)( ()()(bacc23当 时 ， 是 方 程 的 根 ， 方 程 有 实 数 根 。x1 0 ()()()242302bacabca 3综 上 所 述 ， 对 任 意 实 数 、 、 ， 都 有 。abcbacbca()()(2
11、3274. 一元二次方程根与系数的关系：如 果 （ ） 的 两 个 根 是 、 ， 那 么axbcax2 1201212， 。如 果 的 两 个 根 是 、 ， 那 么xpqx1201212， 。反之亦然。注意：（1）利用一元二次方程根与系数的关系的前提条件是 a0。（2）由于目前只研究实数根问题，故解题时还要考虑 0。例 已 知 、 为 方 程 的 两 个 根 ， 求 的 值 。4.mnx2350492mn解：由根与系数的关系，得35， 代 入 ，得 n2则 m49()nn23()m23524 的 值 是 。mn2934说明：若一元二次方程的系数是整数，而根是无理数，利用根与系数的关系可以回避无理运算，也可以消元、降次。例 求 作 一 个 以 两 个 正 数 、 为 根 的 一 元 二 次 方 程 ， 使 、 满 足 关 系 式 ：15. 。221354，解： 去 分 母222 211414164()()()()2 408 ，04 ， 。 不 符 合 题 意 ， 舍 去 。00 41所 作 一 元 二 次 方 程 为 x240学生课堂亮点对学生的建议课后记 自我教学反思学生签字 教务部签章
