1、1本题得分 评卷人第五届全国中学生数理化学科能力展示活动九年级数学解题技能展示试题解答试卷说明：1、本试卷共计 15 题，满分为 120 分2、考试时间为 120 分钟一、选择题（共 6 小题，每题 6 分，共 36 分）1、初三毕业时必做的一件事是照毕业照，某校初三两个班的学生和教师共 100 人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少得梯形队阵（排数 n3） ，且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡，那么满足上述要求的方案有（ B ）种.A. 1； B. 2； C. 4； D. 0 解：设第一排有 m 人，则第 n 排有(m-n+1)
2、人，所以m (m-n+1)n=100,2n(2m-n+1)=200,因 m-n+11，所以 mn, （2m-n+1）-n=2(m-n)+11 又200=450=540=825=1020所以：n=4, 2m-n+1=50; n=5, 2m-n+1=40; n=8, 2m-n+1=25; n=10, 2m-n+1=20.经验证：符合要求的为:n=5,m=22;n=8,m=16.2、 化简： 得（ D ） 231523A.1； B. +2； C. +1； D. 2 +1.解： =231523 )1(53= = =7)2(49=2 +1.3、在某海防观测站的正东方向 12 海里处有 A、B 两艘船相会
3、之后，船以每小时海里的速度往南航行，船则以每小时海里的速度向北漂流则观测站及、两船恰成一个直角三角形需要的时间是（ C ）.A. 1h; B. 1.5h; C.2h; D. 4h.解： 设观测站及、两船恰成一个直角三角形需要的时间为 xh.则 12 2=12x3x ,x=2总分24、在 35 的棋盘上，一枚棋子每次可以沿水平或者垂直方向移动一个小格，但不可以沿任何斜对角线移动.从某些待定的格子出发，要求棋子经过全部的小正方格恰好一次，但不必回到原来出发的小方格上.在这 15 个小方格中，则可作为这枚棋子出发的小方格个数为（ B ）个.A. 6； B. 8； C. 9； D. 10.解 ： （
4、1） 从 四 个 顶 点 所 在 的 格 子 中 的 任 意 一 个 出 发 ， 都 可 以 ， 如 从A 格 出 发 ：同 理 从 E、 K、 O 都 可 以 作 为 起 点 ， 一 共 有 4 个 起 点 ；（ 2） C 作 为 起 点 ， 如 下 图 ：同 理 M 也 可 以 作 为 起 点 ， 一 共 有 2 个 起 点 ；（ 3） I 格 出 发 ， 可 以 不 重 复 走 完 全 程 ：同 理 从 G 出 发 也 可 以 走 完 全 程 不 重 复 ， 有 2 个 起 点 4+2+2=8（ 个 ） ；答 ： 有 8 个 小 方 格 可 以 作 为 这 个 棋 子 的 起 点 故 答
5、 案 为 ： 8 5、工地上竖立着两根电线杆AB、CD规定，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A、C处，向两侧地面上的E、D，B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆.以下说法正确的是（ ） A. 钢丝绳 AD 与 BC 的交点离地面的高度是 3.6 米；B. AED 的面积是CBF 的面积的一半；C. P 点离地面的高度与 AB、CD 之间的相距无关；D. EF 长度的 2 倍与CBF 的周长相等.解：作 PQBD 于 Q，设 BQ=x 米，QD=y 米，PQ=h 米，3本题得分 评卷人ABPQCD， PQ:AB=QD:BD,PQ:CD=BQ:BD即 h:4=y:(x+y) ,h
6、:6=x:(x+y)两式相加得 5h/12=1由此得 h=2.4 米即点 P 离地面的高度为 2.4 米故答案为：2.4（注：由上述解法知，AB、CD 之间相距多远，与题目结论无关）6、定义符号 yx表示与自变量 x 所对应的函数值.例如对于函数 y=x2-2x+4,当 x=2 时，对应的函数值 y=4,则可以写为：y 2=4.在二次函数 y=ax2+bx+c 中，若 yt+1=y-t+1,对任意实数 t 都成立，那么下列结论错误的是（ B ）.A. y0=y2 B. y-1y 1 C. y4y 3 D. y2y 1解：y t+1=y-t+1，抛物线对称轴为 x=(t+1)+(-t+1)2=1
7、，a0，抛物线开口向上，横坐标为 1 的点为顶点，最低，y -1y 1，故选 B由 yt+1=y-t+1，根据抛物线对称性得出抛物线对称轴，根据横坐标为-1，1 两点离对称轴的距离，判断 y-1，y 1 的大小 二、填空题：（共 6 小题，每题 8 分，共 48 分）7、某种温度度量制摄氏度(C)和华氏度(F)存在如下关系：x/C 0 20 35 100 115y/F 32 68 95 212 239请根据以上数据列计算华氏 14 度是_-10_C,摄氏 38 度是_100.4_F.解：设 y=kx+b,把 x=0,y=32;x=20,y=68 代人解得：b=32,k=1.8.经验证，其余三组
8、数据均符合 y=1.8x+32.所以当 y=14 时，x=-10; 当 x=38 时，y=100.4;8、如右图，在平面直角坐标系 XOY 中，多边形 OABCDE 的顶点坐标分别是 O（0,0） ，A（0，6） ，B（4,6） ，C（4,4） ，D（6,4） ，E（6,0）.若直线 l 经过点 M（2,3） ，且将多边形 OABCDE20 分割成面积相等的两部分，则直线 l 与线段 DE 的交点坐标是_(6,5/3)_.4解：设直线 L: y=kx+b 由题可知 k 在 0 到 3/2 之间则设直线 y=kx+b 与 Ao 交点为（0，m）与 DE 的交点（ 6，n ）且又知道直线 L 平分
9、多边形面积则必有（m+n）6/2=(46+2x4)/2所以 m+n=16/3,又(0，m）、（6，n）、（2,3）均在直线上，所以b=m,6k+b=n,2k+b=3,解之得：n=5/3.9、小王 2000 年初从银行贷款 100 万元创业，年利率为 5%，规定每年底还当时欠款总和的10%，但要在第 10 年底把所有欠款还清.请问第 10 年底小王要还 63 万元（结果保留整数）.解：（1）第 1 年底欠款总和为 100（1+5%）（2）第 2 年底欠款总和为 100（1+5%） 2（1-10%）（3）第 3 年底欠款总和为 100（1+5%） 3（1-10%） 2（4）第 4 年底欠款总和为
10、100（1+5%） 4（1-10%） 3（10）第 10 年底欠款总和为 100（1+5%） 10（1-10%） 96310、The two digits in Jacks age are the same as the digits in Bills age,butin reverse order.In five years Jack will be twice as old as Bill will be then.What is the difference in their current ages?_18_.解：译文：杰克和比尔的年龄的两个数字是一样的,但顺序相反。杰克在五年内将比尔
11、年长一倍。他们现在年龄的差异是什么?设杰克年龄为 10x+y,比尔年龄为 10y+x,则10x+y+5=2(10y+x+5)8x=19y+5, y 为奇数，经检验只有 y=1，x=3 符合题意。他们现在年龄的差异=10x+y-（10y+x）=9（x-y）=18.11、设 ， ， ，.为一群圆，其作法如下： 是半径为 a 的圆，在 的圆内5作 4 个相等的圆 ，每个圆 和 1都内切，且相邻的两个圆 均外切，再在每一个圆 中，用同样的方法作四个相等的圆 3，依次类推作出 4， 5， 6，则(1) 圆 的半径的长等于 （用 a 表示） ；（2）圆 k的半径的长为 （k 为正整数，用 a 表示，不必证
12、明） .解：（1）连接 AB、BC、CD、AD，AC，设小圆的半径是 r，根据圆与圆相切，得到AC=2a-2r，根据正方形的性质和勾股定理得到 AC= 2r ，推出方程 2a-2r=2r ，求出r=( -1)a.（2）求出 r=（ -1）a ，r 3=（ -1）r= ( -1)2a，得出圆 Ck 的半径为 rk=（ -1 ） k-1 a 即可12、已知 x1,x2,x40都是正整数，且 x1+x2+x40=58，若 x12+x22+x402的最大值为 A，最小值为 B，则 A+B 的值等于 494 .解：显然 4 = 1 + 3 = 2 + 2 而 12 + 32 22 + 22 根据此原理：
13、 X1+X2+X3+X40最小时，当且仅当 X1 到 X40 中，除了 1 外，要有最多的 2。设有 Y 个 2，则 2Y + (40 - Y) = 58，最多有 Y = 18 个 2 .所以 B = 1822 + (40-18)12 = 94 .当 X1+X2+X3+X40最大时，当且仅当 X1 到 X40 中有 1 个数取到最接近 58 的值。显然最多有 39 个 1 时。剩余 1 个数最大是 58 - 39 = 19所以 A = 192 + 391 = 400所以 A+B=494三、解答题613.某出租车公司买了每辆价值 2a 元的出租车投入运营，由调查得知：每辆出租车每年客运收入约为
14、a 元，且每辆客车第 n 年的油料费、维修费及其他各种管理费用总和 P（n）与年数 n 成正比，又知第三年每辆出租车以上费用是该年客运收入的 48%.（1 ）写出每辆出租车运营的总利润（客运收入扣除总费用及其成本）y（元）与 n 的函数关系式.（2 ）每辆出租车运营多少年可使其运营的年平均利润最大？解：(1)因为 P（n）与年数 n 成正比，设 P（n）=kn 当 n=3 时，P(n)=48%a=3k, ，所以 k=0.16a，P（n）=0.16an所以运营 n 年后的总费用为：P（1）+P（2 ）+P（n）=0.16a(1+2+n)=0.08an(n+1)所以 y=na0.08an(n+1)
15、2a= 0.08a(n 211.5n+25)(2)运营 n 年平均利润为 y/n=0.08a(n 211.5n+25)/n=0.08a(n+25/ n11.5) n+25/n225=10，当且仅当 n=25/n，即 n=5 时等号成立. 每辆出租车运营 5 年可使其运营的年平均利润最大。年平均最大利润= 0.08a(1011.5)= 0.12a.14.沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的 4 个数 a、b、c、d 满足(a-d)(b-c)0,那么就可以交换 b、c 的位置，这称为一次操作。（ 1） 若 圆 周 上 依 次 放 着 数 1， 2， 3， 4， 5， 6， 问 ： 是 否 能 经
16、过 有 限 次 操 作后 ， 对 圆 周 上 任 意 依 次 相 连 的 4 个 数 a， b， c， d， 都 有 （ a-d） （ b-c） 0？ 请说 明 理 由 （ 2） 若 圆 周 上 从 小 到 大 按 顺 时 针 方 向 依 次 放 着 2003 个 正 整 数1， 2， ， 2003， 问 ： 是 否 能 经 过 有 限 次 操 作 后 ， 对 圆 周 上 任 意 依 次 相 连 的 4个 数 a， b， c， d， 都 有 （ a-d） （ b-c） 0？ 请 说 明 理 由 解 ： （ 1） 答 ： 能 具 体 操 作 如 下 ：（ 2） 答 ： 能 理 由 ： 设 这 2
17、003 个 数 的 相 邻 两 数 乘 积 之 和 为 P开 始 时 ， P0=12+23+34+20022003+20031，经 过 k（ k 0） 次 操 作 后 ， 这 2003 个 数 的 相 邻 两 数 乘 积 之 和 为 Pk，此 时 若 圆 周 上 依 次 相 连 的 4 个 数 a， b， c， d 满 足 不 等 式 （ a-d） （ b-c） 0， 即 ab+cd ac+bd， 交 换 b， c 的 位 置 后 ，7这 2003 个 数 的 相 邻 两 数 乘 积 之 和 为 Pk+1， 有 Pk+1-Pk=（ ac+cb+bd） -（ ab+bc+cd） =ac+bd-a
18、b-cd 0所 以 Pk+1-Pk -1， 即 每 一 次 操 作 ， 相 邻 两 数 乘 积 的 和 至 少 减 少 1，由 于 相 邻 两 数 乘 积 总 大 于 0，故 经 过 有 限 次 操 作 后 ， 对 任 意 依 次 相 连 的 4 个 数 a， b， c， d， 一 定 有（ a-d） （ b-c） 015.如图，圆 O 的直径的长是关于 x 的二次方程 x2+2(k2)x+k=0(k 是整数)的最大整数根.P 是圆 O 外一点，过点 P 做圆 O 的切线和割线，其中为切点，点、是直线PBC 与圆 O 的交点.若 PA、PB、PC 的长都是正整数，且 PB 的长不是合数，求 P
19、A2+PB2+PC2的值.解：要使方程 x2+2(k2)x+k=0(k 是整数)有整数根，=4(k2) 2-4k=4(k-4)(k-1)0, k4 或 k1,当 k4 时，二次方程的两根均为负值，不合题意。所以 k1，且=4(k2) 2-4k=(2k5) 29 为完全平方数，设=m 2(m0，且为整数)当 m=0 时，k=1,x=1 ；当 m0 时(2k5) 2m 2= 9，(2 k5+m)(2k5m)=9，因为(2k5+m)与(2 k5m)同奇偶，且 2k5+m2k5m所以 2k5+m=-1，2k5m=-9；2k5+m=9，2 k5m=1 （k1）解之得 k=0，此时方程 x2+2(k2)x+k=0 的根为 x=0 和 4，所以O 得直径为 4. PA 2=PBPC=PB（PB+BC） ，PA2 PB 2=PBBC， （PA+PB） （PAPB）=PBBC，因 PA、PB、PC 的长都是正整数，且 PB 的长不是合数，PA+PBPB 所以PA+PB=BC，PAPB=PBPA=2PB，BC=3PB4（直径长） ，所以 PB=1，PA=2，PC=4，PA2+PB2+PC2=1+4+16=21.济宁市任城区济东中学
