1、(图 1)2015 江苏高考压轴卷数 学一、 填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1.已知复数 的实部为 ，虚部为 1，则 的模等于 .z2z2.已知集合 ，集合 ，则 .3,01A2xyBBA3.右图 1 是一个算法流程图，若输入 的值为 ，则输出 的值为 .4y4.函数 的定义域为 .)1(log2)xxf5.样本容量为 10 的一组数据，它们的平均数是 5，频率如条形图 2 所示，则这组数据的方差等于 6.设 是两个不重合的平面， 是两条不重合的直线，给出下列四个命题：若,mn则 ；若 ， ，则 ；|,n| ,mn 若 ，则 ；若 ，则 ., n其中正确的命题序号
2、为 7.若圆 上有且只有两个点到直线 的距离等于 1，则22)5()3(ryx 234:yxl半径 的取值范围是 .r 图 28.已知命题 在 上为减函数；命题2:,Pbfxbc,1，使得 .则在命题 ，0:QxZ021xPQ， ， 中任取一个命题，则取得真命题的概率是 9.若函数 ),(Rdcba，其图象如2()(,)1bxcfa图 3 所示，则 .10.函数 的图象经过四个象限，则 a 的23)(3f取值范围是 11.在 中,已知角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 ，则函数ABCsinsinACBbc在 上的单调递增区间是 .22()cos()sin()xxf A3,212. “
3、已知关于 的不等式 的解集为 ，解关于 的不等式0cbxa)2,1(x.”给出如下的一种解法：02abxc参考上述解法：若关于 的不等式 的解集为 ，则关于x0cxba)1,2(3,(的不等式 的解集为 .x0cba13.2014 年第二届夏季青年奥林匹克运动会将在中国南京举行，为了迎接这一盛会，某公司计划推出系列产品，其中一种是写有“青奥吉祥数”的卡片.若设正项数列 满足na，定义使 为整数的实数 k 为“青奥吉祥数” ，则在区间210na2logka1，2014内的所有 “青奥吉祥数之和 ”为_14.已知 ，设集合 ，2,30xf,1Ayfx，若对同一 x 的值，总有 ，其中 ，则实,1B
4、ya 1212,yAB解：由 的解集为 ，得 的解集为 ，即关02cbx)2,1( 012cxba)1,2(于 的不等式 的解集为 .2,xy12图 3数 的取值范围是 a二、 解答题（本大题共 6 小题，共 90 分）15.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，向量ABCCabc，且(1sin,)1,sinco2m.nm（1 ）求 的值；（2）若 ，求边 c 的长度.248ab16.如图 4，在四棱锥 中，平面 平面 ，AB DC，PABCDPABCD是等边三角形，PAD已知 ， 28B245（1 ）设 是 上的一点，证明：平面 平面 ；MM（2 ）求四棱锥 的体积PAC17.如图 5
5、，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在 GH 上的一点 B 的正北方向的 A 处建一仓库，设 AB = y km，并在公路同侧建造边长为 x km 的正方形无顶中转站CDEF（其中边 EF 在 GH 上） ，现从仓库 A 向 GH 和中转站分别修两条道路 AB，AC，已知 AB = AC 1，且ABC = 60o（1 ）求 y 关于 x 的函数解析式；（2 ）如果中转站四周围墙造价为 1 万元/km，两条道路造价为 3 万元/km，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价 M 最低？A BCMPD图 4公 公HG FEDCBA图 5OMNF2F1yx（图 6）18. 如
6、图 6，椭圆 过点 ，其左、右焦点分别为 ，离心率21xyab(0)3(1,)2P12,F， 是椭圆右准线上的两个动点，且 12e,MN0FMN（1 ）求椭圆的方程；（2 ）求 的最小值；（3 ）以 为直径的圆 是否过定点？请证明你的结论C19.已知函数 ).1,0(ln)(2axaxf（1 ）求曲线 在点 处的切线方程；y),0(f（2 ）求函数 的单调增区间；)(xf（3 ）若存在 ，使得 是自然对数的底数) ，求实数1,21exff(1)(21的取值范围a20. 已知数列a n中，a 2=a(a 为非零常数)，其前 n 项和 Sn 满足 Sn= (nN*)n(an a1)2（1 ）求数列
7、a n的通项公式；（2 ）若 a=2，且 ，求 m、n 的值；214mnS（3 ）是否存在实数 a、b ，使得对任意正整数 p，数列a n中满足 的最大项恰为第nabp项？若存在，分别求出 a 与 b 的取值范围；若不存在，请说明理由p数学（附加题）21A选修 4-1：几何证明选讲（本小题满分 10 分）如图，从圆 外一点 引圆的切线 及割线 ， 为切点OPCPABC求证： ABC21B已知矩阵 ，计算 213,5M2M21C已知圆 的极坐标方程是 ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为C4sin轴的正半轴，建立x平面直角坐标系，直线 的参数方程是 是参数） 若直线 与圆 相切，求l32(1x
8、tymlCB AC PO（第 21 - A 题）MPDCBA（第 22 题）正数 的值m21D （本小题满分 10 分，不等式选讲）已知不等式 对于满足条件 的任意实数 恒成立,2|1|abcx 122cbacba求实数 的取值范围x【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 （本小题满分 10 分）22. 如图，在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，A， ，M 为 PC 的中点60ABC6（1 ）求异面直线 PB 与 MD 所成的角的大小；（2 ）求平面 PC
9、D 与平面 PAD 所成的二面角的正弦值23 （本小题满分 10 分）袋中共有 8 个球，其中有 3 个白球，5 个黑球，这些球除颜色外完全相同从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中重复上述过程 n 次后，袋中白球的个数记为 Xn （1）求随机变量 X2 的概率分布及数学期望 E(X2)；（2）求随机变量 Xn 的数学期望 E(Xn)关于 n 的表达式2015 江苏高考压轴卷数学答案一、填空题1. 2 3.2 4. 5.7.2 6. 7. 8. 9.4 50,1),2(),11410. 11. 12. 13.2047 14.
10、),(48,0,)1,3(,0提示： 1. ，则 ，则 .iz2iz25)(22z2. ，又 ，所以 .0xxyxB 3,01A0,1BA3. 当 时， ，则 ；当 时， ， ；当 时，43774x， ；当 时， 不成立，则输出 .341x121y4.要使原式有意义，则 ，即 且 .0xx5.2 出现 次，5 出现 次，8 出现 次，所以4.012.14.01.7)5(4)(2)(22 s6. 逐个判断。由线面平行的性质定理知正确；由面面平行 的判定定理知直线 相交时,mn才成立，所以错误；由面面垂直的性质定理知正确；中，可以是 ，所以错误，即正确命题是.7.如图 7，要使圆 上有且只有两个点
11、到直线 的距离22)5()3(ryx 234:yxl等于 1，只须转化为圆与直线 相交，且与直线 相离，nm即 ，又圆心到直线 的距离为 5，则CQrPl.64 xmnlCPQO图 78. 因为 ，函数 的对称轴 ，且开口向上，所以命题 正确；,2bfx12bP又由 解得 ， ，比如 ，所以命题 也正确，所以 都是01x00Z0Q,Q假命题，只有 是真命题，故由古典概型的概率计算公式可知取得真命题的概率是PQ.49.由图可知， 为奇函数，则 ，又 ，解得 ，所以 .()fx0ac(1)2f4b4abc10. ， 得 ， .当)(23(3)(22 xaf 0x3x时，0a在 和 上是增函数，在
12、上是减函数.因为 ，)(xf), a32, 023)(f所以 必过一、二、三象限，故只要 极小值小于 0 即可. 的解为)(xf a，同理，当 时，481a0a得 .综上， 的取值范围是 .0)(f ),1(48,11. 由 ，利用正弦定理可得 ，所以 ，由sinsinACBbcaacb2=+abc余弦定理得 ，又 A 为ABC 的内角，所以 ，所以1o=23A，22221+cos1cos1()cs()sin()=cos33xxxxf x 令 ，与 取交集得所求递增区间是 .kkZ,20,12.由 的解集为 ，得 的解集为0cxba)1,(3,(cxba，即 的解集为 .)1,3(2,(0cx
13、ba)1,3(213.因为 ，又 ，所以 ，2 0nnnan1na当 时，22loglkmZ， ，所以在区间1，2014 内的所有奥运21,04mkZ0,12,0m吉祥数之和为 .121+=4714. 由题意可得 对任意 恒成立，当 时，fxa1,x1,x，作出函数图象如图 8，显然当 时，不满足题意；2,103,xfx 0a当 时，只要直线 在 上与线段 重合或者在线段 下方时，满足0ayax1,0OAOA题意，所以 .10二、解答题15. 解析：（1） ， ，则 ， （2 分）.nmsinicos02C即 （ ） ， （4 分）又 ，2sin2icos1iC, ，i0,1故（ ）可化简为
14、， （5 分）两边平方得 ，cosin22C1sin4C .3sin4C（2 ）又 得 ，a=2,b=2 ， （9 分）28ab220ab由（1）知 ，1cosin0 ， ， ， （12 分）在ABC 中，由余弦定理可得,24C,27cos4C.2cos42cab，故 .87116. （1）证明：在 中，ABD由于 ， ， ，4845A BCMPDO1-112xyOA(-1,1)图 8所以 故 22ADBADB又平面 平面 ，平面 平面 ，PCPACD平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，故平面 平面 M（2 ）过 作 交 于 ，OAD由于平面 平面 ，所以 平面 PBCPOABCD因此 为四棱锥
15、 的高，又 是边长为 4 的等边三角形因此 A 342在底面四边形 中， ， ，BCDA BDC所以四边形 是梯形，在 中，斜边 边上的高为 ，Rt A854此即为梯形 的高， 所以四边形 的面积为 ABCD25482S故 124316PV17. 解：（1 ）因为 ，所以 .,ACy1y在直角三角形 中，因为 ，BCF60,Bx所以 .2,30由于 ，得 .yx121x在ABC 中，因为 ，60cos22BCABAC 22(1)4yxy则 由 ，及 ，得 ()021x即 关于 的函数解析式为 （ ） yx4()y（2 ） 2133(2)xMyx令 ，则 ，tx121()394(1)6254tM
16、tt在 ，即 ， 时，总造价 M 最低34t75y答： 时，该公司建中转站围墙和道路总造价 M 最低x18. （1） ，且过点 ，12cea3(1,)2P解得 椭圆方程为 . 229,4,bca,3b2143xy（2 ）设点 ,则12(4,)()MyN1122(5,)(,)FMyNy， 1250F2又 ，211155yy+的最小值为 MN5（3 ）圆心 的坐标为 ，半径 .C12(4,)y21yr圆 的方程为 ，2211()4x整理得 . 212128(60yyy， ，125212()x令 ，得 ， .0y28045x圆 过定点 . C(415,)19. （1）因为函数 ，2ln(0,1)xf
17、aa+所以 ， ，()lnlxf )f又因为 ，所以函数 在点 处的切线方程为 01(x0,(f 1y（2 ）由（1 ） ， ()ln2l(1)lnx xfaaa+因为当 时，总有 在 上是增函数，0,1a()fR又 ，所以不等式 的解集为 ，()f 0x(,)故函数 的单调增区间为 x(,)+（3 ）因为存在 ，使得 成立，12,12()e1fxf而当 时， ，,x12maxin()fx所以只要 即可maxin()ef又因为 ， ， 的变化情况如下表所示：()fx(,0)0(0,)+()fx减函数 极小值 增函数所以 在 上是减函数，在 上是增函数，()fx1,00,1所以当 时， 的最小值
18、 ，,fxmin01fxf的最大值 为 和 中的最大值fxmax1因为 ，(1)(ln)(ln)2lnf aa+令 ，因为 ，2l0gaa21()0g所以 在 上是增函数()n,而 ，故当 时， ，即 ；10g1a0g(1)f当 时， ，即 ()f所以，当 时， ，即 ，1a()0e1f lne1a函数 在 上是增函数，解得 ；lny,当 时， ，即 ，01a()0e1ff lne1a函数 在 上是减函数，解得 1lnya(0,1)10ea综上可知，所求 的取值范围为 1(,)ea+20. 解：（1 ）由已知，得 a1=S1= =0， Sn= ，1(a1 a1)2 nan2则有 Sn+1= ，
19、2(S n+1S n)=(n+1)an+1na n，(n+1)an+12即(n1)a n+1=nan，na n+2=(n+1)an+1，两式相加，得 2an+1=an+2+an， nN*，即 an+1a n+1=an+1a n，nN*，故数列a n是等差数列 又 a1=0，a 2=a，a n=(n1)a（2 ）若 a=2，则 an=2(n1) ， Sn=n(n1)由 ，得 n2n+11=(m1)2，即 4(m1)2(2n 1)2=43，4mnS(2m+2n3)(2m2n1)=43 43 是质数， 2m+2n32m2n1，2m+2n30， 解得 m=12，n=1121,34n（3 ）由 an+b
20、p，得 a(n1)+b p若 a0，则 n +1p ba不等式 an+bp 成立的最大正整数解为 3p2 ，3p2 +13p1，p ba即 2a b(3a1)p 3ab 对任意正整数 p 都成立3a1=0，解得 a= ，13此时， b01b，解得 b123 23故存在实数 a、b 满足条件，a 与 b 的取值范围是 a= ， b113 2321.A证明：因为 PC 为圆 的切线，O所以 ， PCAB又 ，故 ， 所以 ，BCP即 A21.B解法一：矩阵 的特征多项式为 ，令 ，M21()43f()0f解得 ，对应的一个特征向量分别为 ， 1,312,1令 ，得 ，12mn,4n2 221(4)
21、()()MM 223517解法二：因为 ， 21所以 2357M21.C解：由 ，得 ，所以 ，4sin24sin240xy即圆 方程为 .C22()4xy又由 ，消 得 ，因为直线 与圆 相切，所以312tymt30xymlC得 ，|3|423又 ，所以 0m21.D解： 因为 ，222()(1)4abcabc所以 ，又 对任意实数 恒成立, 故 ，2|-cx c2max|1|(2)xbc解得 3 或22. 解：（1 ）设 AC 与 BD 交于点 O，以 O 为顶点，向量 ， 为 x，y 轴，平行于 APCOD且方向向上的向量为 轴建立直角坐标系z则 ， ， ， ， ，(,0)A(1,0)C
22、(,30)B(,30)D(1,6)P所以 ， ， ， 6,2M6,2D,B3cos, 016PAD所以异面直线 PB 与 MD 所成的角为 9（2）设平面 PCD 的法向量为 ，平面 PAD 的法向量为 ，11(,)xyzn22(,)xyzn因为 ， ， ，(1,30)CD36PD(0,6)PA由 令 ，得 ，111,6xyPzn1y13,n由 令 ，得 ，2260,3PAzDxyn21y2(3,10)n所以 ，所以 1212 6cos,n12si,623.解：（1 ）由题意可知 X23，4 ，5当 X23 时，即二次摸球均摸到白球，其概率是 P(X23) ；138C964当 X24 时，即二
23、次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是 P(X24) ；113588C6当 X25 时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是 P(X25) 3 分1548C6所以随机变量 X2 的概率分布如下表：X2 3 4 5P 96435616（一个概率得一分 不列表不扣分）数学期望 E(X2) 95273641（2）设 P(Xn3+k)pk，k0 ，1，2 ，3，4，5 则 p0+p1+p2+p3+p4+p51，E(X n)3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5P(Xn+13) ，P(X n+14) p0+ p1，P(X n+15) p1+ p2，P (Xn+16) p2+ p3，088886P(Xn+17) p3+ p4，P (Xn+18) p4+ p5，7所以，E( Xn+1)3 p0+4( p0+ p1)+5( p1+ p2)+6( p2+ p3)+7( p3+ p4)+8( p4+ p5)8588687818 p0+ p1+ p2+ p3+ p4+ p5293647 (3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5)+ p0+p1+p2+p3+p4+p57 E(Xn)+1 8由此可知，E(X n+1)8 (E(Xn)8)7又 E(X1)8 ，所以 E(Xn) 351357()8n
