1、 Go the distance 绝密 启用前 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理 科 数 学 注意事项： 1本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。 2回答第 I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分。在每小题给出的四个选项
2、中，只有一项是符合题目要求的。 1已知集合 2, 1,0,1, 2A ， | ( 1)( 2 ) 0B x x x ，则 AB A 1,0 B 0,1 C 1,0,1 D 0,1,2 2若 a 为实数，且 (2 )( 2 ) 4ai a i i ，则 a = A -1 B 0 C 1 D 2 3根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是 A 逐年比较， 2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B 2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D 2006 年以来我国二氧化硫年排放量
3、与年份正相关 4已知等比数列 na 满足 a1 = 3， a1 + a3 + a5 = 21，则 a3 + a5 + a7 = A 21 B 42 C 63 D 84 5设函数 211 log ( 2 ) , 1() 2 , 1xxxfx x ，则 2( 2) (log 12)ff 2004 年 2005 年 2006 年 2007 年 2008 年 2009 年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 Go the distance A 3 B 6 C 9 D 12 6一个正方体被一个平
4、面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 A 18B 17C 16D 157过三点 (1,3)A ， (4,2)B ， (1, 7)C 的圆交 y 轴于 M， N 两点，则|MN A 26 B 8 C 46 D 10 8右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的 “更相减损术 ”。执行该程序框图，若输入的 a， b 分别为 14，18，则输出的 a = A 0 B 2 C 4 D 14 9已知 A， B 是球 O 的球面上两点， AOB = 90， C 为该球面上的动点。若三棱锥O ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为 A 36 B
5、 64 C 144 D 256 10如图，长方形 ABCD 的边 AB = 2， BC = 1， O是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC， CD 与 DA 运动，记 AOB = x。将 动点 P 到 A， B 两点距离之和表示为 x 的函数 ()fx，则 ()y f x 的图象大致为 A B C D 11已知 A， B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上， ABM 为等腰三角形，且顶角为120，则 E 的离心率为 A 5 B 2 C 3 D 2 12设函数 ()fx 是奇函数 ( )( )f x x R 的导函数， ( 1) 0f ，当 x 0 时， ( ) ( ) 0xf x
6、f x ，则使得函数 ( ) 0fx 成立的 x 的取值范围是 4234 2 y x 4234 2 y x 4234 2 y x 4234 2 y x a b a = a - b b = b - a 输 出 a 结 束 开 始 输入 a， b a b 是 是 否 否 D P C B O A x Go the distance A ( , 1) (0,1) B ( 1,0) (1, ) C ( , 1) ( 1,0) D (0,1) (1, ) 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题 第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 题 第 24
7、 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13 设向量 a， b不平行，向量 ab与 2ab平行，则实数 = _。 14 若 x， y 满足约束条件 10202 2 0xyxyxy ，则 z x y 的最大值为 _。 15 4( )(1 )a x x的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a = _。 16 设 Sn是数列 na 的前 n 项和，且 a1 = -1， an+1 = SnSn+1，则 Sn = _。 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 12 分） ABC 中， D 是 BC 上的点， AD
8、 平分 BAC， ABD 面积是 ADC 面积的 2 倍。 （ 1）求 sinsin BC； （ 2）若 AD = 1， 22DC，求 BD 和 AC 的长。 18（本小题满分 12 分） 某公司了解用户对其产品满意度，从 A， B 两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区： 62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区： 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （ 1）根据两组数据完成两地区用
9、户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（ 不要求计算出具体值，给出结论即可 ） ； A 地区 B 地区 4 5 6 7 8 9 （ 2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件 C： “A地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级 ”。假设两地区用户Go the distance 的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件的概率，求 C 的概率。 19（本小题满分 12 分） 如图，长方体 ABCD A1B
10、1C1D1中， AB = 16， BC = 10，AA1 = 8，点 E， F 分别在 A1B1， D1C1上， A1E = D1F = 4，过点 E， F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （ 1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （ 2）求直线 AF 与平面 所成的角的正弦值。 20（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C： 2 2 29 ( 0)x y m m ，直线 l 不过原点 O且不平行于坐标轴， l 与 C 有两个交点 A， B，线段 AB 的中点为 M。 （ 1）证明： 直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值； （ 2）若 l 过点 ( , )3
11、mm，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由。 21（本小题满分 12 分） 设函数 2() mxf x e x mx 。 （ 1）证明： ()fx在 ( ,0) 单调递减，在 (0, ) 单调递增； （ 2）若对于任意 12, 1,1xx ，都有 12| ( ) ( ) | 1f x f x e ，求 m 的取值范围。 请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号 22（本小题满分 10 分） 选修 4 - 1：几何证明选讲 如图， O 为等腰三角形 ABC 内一点， O 与 ABC的底边 BC 交于 M， N 两点，与底边上的高 AD 交于点 G，且与 AB， AC 分别相切于 E， F 两点。 （ 1）证明： EF BC； （ 2）若 AG 等于 O 的半径，且 23AE MN，求四边形 EBCF 的面积。 23（本小题满分 10 分） 选修 4 - 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： cossinxtyt （ t 为参数， t 0），其中 0 cd；则 a b c d ； （ 2） a b c d 是 | | | |a b c d 的充要条件 。
