1、第 1 页 共 12 页2017 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试理 科 数 学 （ 全 国 卷 ）注 意 事 项 :1.答 题 前 ， 考 生 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 码 填 写 清 楚 ， 将 条 形 码 准 确 粘贴 在 条 形 码 区 域 内 。2.选 择 题 必 须 使 用 2B铅 笔 填 涂 ； 非 选 择 题 必 须 使 用 0.5毫 米 黑 色 字 迹 的 签字 笔 书 写 ， 字 体 工 整 、 笔 迹 清 楚 。3.请 按 照 题 号 顺 序 在 答 题 卡 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 ， 超 出 答 题 区
2、 域 书 写的 答 案 无 效 ； 在 草 稿 纸 、 试 卷 上 答 题 无 效 。4.作 图 可 先 使 用 铅 笔 画 出 ， 确 定 后 必 须 用 黑 色 字 迹 的 签 字 笔 描 黑 。5.保 持 卡 面 清 洁 ， 不 要 折 叠 、 不 要 弄 破 、 弄 皱 ， 不 准 使 用 涂 改 液 、 修 正 带 、 刮 纸 刀 。一 、 选 择 题 ： 本 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60 分 。 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 。1 i1 i3 ( )A i21 B i21C i2 D
3、i22 设 集 合 4 2 1 ，A ， 042 mxxB ， 若 1BA ,则 B ( )A 3 1 ， B. 0 1，C 3 1， D 5 1，3 我 国 古 代 数 学 名 著 算 法 统 宗 中 有 如 下 问 题 ： “远 望 巍 巍 塔 七 层 ， 红 光 点 点 倍 加增 ， 共 灯 三 百 八 十 一 ， 请 问 尖 头 几 盏 灯 ？ ”意 思 是 ： 一 座 7层 塔 共 挂 了 381盏 灯 ， 且相 邻 两 层 中 的 下 一 层 灯 数 是 上 一 层 灯 数 的 2倍 ， 则 塔 的 顶 层 共 有 灯 ( )A 1盏 B 3盏C 5盏 D 9盏4 如 图 ， 网
4、格 纸 上 小 正 方 形 的 边 长 为 1， 粗 实 线 画 出 的 是 某 几 何 体 的 三 视 图 ， 该 几何 体 由 一 平 面 将 一 圆 柱 截 去 一 部 分 后 所 得 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 为 ( )第 2 页 共 12 页A 90B 63C 42D 365 设 yx、 满 足 约 束 条 件 ， ，03 0332 0332y yx yx 则 yxz 2 的 最 小 值 是 ( )A 15 B 9C 1 D 96 安 排 3名 志 愿 者 完 成 4项 工 作 ， 每 人 至 少 完 成 1项 ， 每 项 工 作 由 1人 完 成 ， 则 不同 的 安 排
5、 方 式 共 有 ( )A 12种 B 18种C 24 种 D 36种7 甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 位 同 学 一 起 去 向 老 师 询 问 成 语 竞 猜 的 成 绩 .老 师 说 ： 你 们 四 人 中有 2位 优 秀 ， 2位 良 好 ， 我 现 在 给 甲 看 乙 、 丙 的 成 绩 ， 给 乙 看 丙 的 成 绩 ， 给 丁 看 甲 的成 绩 .看 后 甲 对 大 家 说 ： 我 还 是 不 知 道 我 的 成 绩 .根 据 以 上 信 息 ， 则 ( )A 乙 可 以 知 道 四 人 的 成 绩 B 丁 可 以 知 道 四 人 的 成 绩C 乙 、 丁 可 以 知 道 对
6、方 的 成 绩 D 乙 、 丁 可 以 知 道 自 己 的 成 绩8 执 行 右 面 的 程 序 框 图 ， 如 果 输 入 的 1a ， 则 输 出 的 S ( )A 2B 3C 4D 5第 3 页 共 12 页9 若 双 曲 线 )00(1: 2222 babyaxC ， 的 一 条 渐 近 线 被 圆 4)2( 22 yx 所 截 得 的弦 长 为 2 ， 则 C的 离 心 率 为 ( )A 2 B 3C 2 D 33210 已 知 直 三 棱 柱 111 CBAABC 中 ， 120ABC , 2AB , 11 CCBC , 则 异 面直 线 1AB 与 1BC 所 成 角 的 余 弦
7、 值 为 ( )A 23 B 515 C 510 D 3311 若 2x 是 函 数 12 )1()( xeaxxxf 的 极 值 点 ， 则 )(xf 的 极 小 值 为 ( )A 1 B 32 e C 35 e D 112 已 知 ABC 是 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形 ， P为 平 面 ABC 内 一 点 ， 则 )( PCPBPA 的 最 小 值 是 ( )A 2 B 23 C 34 D 1二 、 填 空 题 ： 本 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 。13 一 批 产 品 的 二 等 品 率 为 02.0 ， 从 这 批 产 品 中 每 次 随
8、 机 取 一 件 ， 有 放 回 地 抽 取 100次 ， X 表 示 抽 到 二 等 品 件 数 ， 则 DX .14 函 数 )2 0(43cos3sin)( 2 ， xxxxf 的 最 大 值 是 .15 等 差 数 列 na 的 前 n 项 和 为 nS ， 33 a ， 104 S ， 则 nk kS1 1 .16 已 知 F 是 抛 物 线 xyC 8: 2 的 焦 点 ， M是 C上 一 点 ， FM 的 延 长 线 交 y 轴 于 点 N .若 M 为 FN 的 中 点 ， 则 FN .第 4 页 共 12 页三 、 解 答 题 ： 共 70 分 。 解 答 应 写 出 文 字
9、 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 。 第 17 21 题 为必 考 题 ， 每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答 。 第 22/23 题 为 选 考 题 ， 考 生 根 据 要 求 作 答 。（ 一 ） 必 考 题 ： 共 60 分 。17.（ 12分 ）ABC 的 内 角 CBA ， 的 对 边 分 别 为 cba ， ， 已 知 2sin8)sin( 2 BCA .(1)求 Bcos ；(2)若 6ca ， ABC 的 面 积 为 2 ， 求 b .18.（ 12分 ）海 水 养 殖 场 进 行 某 水 产 品 的 新 、 旧 网 箱 养 殖 方 法 的 产 量 对
10、比 ， 收 获 时 各 随 机 抽 取了 100个 网 箱 ， 测 量 各 箱 水 产 品 的 产 量 （ 单 位 ： kg） ， 其 频 率 分 布 直 方 图 如 下 ：(1)设 两 种 养 殖 方 法 的 箱 产 量 相 互 独 立 ， 记 A表 示 事 件 “ 旧 养 殖 法 的 箱 产 量 低 于50kg， 新 养 殖 法 的 箱 产 量 不 低 于 50kg” ， 估 计 A的 概 率 ； 新 养 殖 法第 5 页 共 12 页(2)填 写 下 面 列 联 表 ， 并 根 据 列 联 表 判 断 是 否 有 99%的 把 握 认 为 箱 产 量 与 养 殖方 法 有 关 ；(3)根
11、 据 箱 产 量 的 频 率 分 布 直 方 图 ， 求 新 养 殖 法 箱 产 量 的 中 位 数 的 估 计 值 （ 精 确到 0.01） .附 ： )()()( )( 22 dbcadcba bcadnK .箱 产 量 50kg 箱 产 量 50kg旧 养 殖 法新 养 殖 法10.8286.6353.8410.0010.0100.050第 6 页 共 12 页M EDCB AP19.（ 12分 ）如 图 ， 四 棱 锥 ABCDP 中 ， 侧 面 PAD为 等 边 三 角形 且 垂 直 于 地 面 ABCD ， ADBCAB 21 ，90 ABCBAD ,E是 PD的 中 点 .(1)
12、证 明 ： 直 线 PABCE 平 面 ；(2)点 M 在 棱 PC上 ， 且 直 线 BM 与 底 面 ABCD 所 成 角为 45 ， 求 二 面 角 DABM 的 余 弦 值 .20.（ 12分 ）设 O为 坐 标 原 点 ， 动 点 M 在 椭 圆 12: 22 yxC 上 ， 过 M 作 x 轴 的 垂 线 ， 垂 足 为N ， 点 P满 足 NMNP 2 .(1)求 点 P的 轨 迹 方 程 ；(2)设 点 Q在 直 线 3x 上 ， 且 1PQOP . 证 明 ： 过 点 P且 垂 直 于 OQ 的 直 线 l过 C的左 焦 点 F .第 7 页 共 12 页21.（ 12分 ）
13、已 知 函 数 xxaxaxxf ln)( 2 ， 且 0)( xf .(1)求 a ；(2)证 明 ： )(xf 存 在 唯 一 的 极 大 值 点 0x ， 且 202 2)( xfe .（ 二 ） 选 考 题 ： 共 10 分 。 请 考 生 在 第 22、 23 题 中 任 选 一 题 作 答 。 如 果 多 做 则 按 所 做的 第 一 题 计 分 。22.选 修 44 ： 坐 标 系 与 参 数 方 程 （ 10分 ）在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线1C 的 极 坐 标 方 程
14、 为 4cos .(1) M 为 曲 线 1C 上 的 动 点 ， 点 P在 线 段 OM 上 ， 且 满 足 16 OPOM ， 求 点 P 的 轨迹 2C 的 直 角 坐 标 方 程 ；(2)设 点 A的 极 坐 标 为 )3 2( ， ， 点 B在 曲 线 2C 上 ， 求 OAB 面 积 的 最 大 值 .第 8 页 共 12 页23.选 修 54 ： 不 等 式 选 讲 （ 10分 ）已 知 200 33 baba ， .证 明 ：(1) 4)( 55 baba ；(2) 2ba .第 9 页 共 12 页2017 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试(全 国
15、卷 ) 理 科 数 学 试 卷 参 考 答 案一 、 选 择 题1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D 7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B二 、 填 空 题13. 1.96 14. 1 15. 12n n 16. 6三 、 解 答 题17.（ 1） 由 BCA 得 2sin8sin 2 BB ， 即 2sin42cos BB ， 412tan B ， 得 158tan B ， 则 有 1715cos B .（ 2） 由 （ 1） 可 知 178sin B ， 则 2sin21 BacS ABC ， 得 217ac ，又 417302)(cos2 2222 acacca
16、Baccab ， 则 2b .18.（ 1） 旧 养 殖 法 箱 产 量 低 于 50kg的 频 率 为 62.05)040.0034.0024.0014.0012.0( ，新 养 殖 法 箱 产 量 不 低 于 50kg的 频 率 为66.05)008.0010.0046.0068.0( ，而 两 种 箱 产 量 相 互 独 立 ， 则 4092.066.062.0)( AP .（ 2） 由 频 率 分 布 直 方 图 可 得 列 联 表则 635.6705.1510496100100 )38346662(20022 K ，箱 产 量 50kg 箱 产 量 50kg旧 养 殖 法 62 38
17、新 养 殖 法 34 66第 10 页 共 12 页所 以 有 99%的 把 握 认 为 箱 产 量 与 养 殖 方 法 有 关 .（ 3） 新 养 殖 法 箱 产 量 低 于 50kg的 面 积 为 5.034.05)044.0020.0004.0( ，产 量 低 于 55kg的 面 积 为 5.068.05)068.0044.0020.0004.0( ，所 以 新 养 殖 法 箱 产 量 的 中 位 数 估 计 值 为 35.5250534.0 34.05.0 （ kg） .19.（ 1） 取 PA中 点 F ， 连 结 BFEF、 .因 为 E为 PD中 点 ， 则 ADEF 21 .而
18、 由 题 可 知ADBC 21 ， 则 BCEF ， 即 四 边 形 BCEF 为 平 行 四边 形 ， 所 以 FBEC .又PABFBPABEC 面，面 ， 故 PABCE 面 .（ 2） 因 为 ADAB ， 则 以 A为 坐 标 原 点 ， ADAB、所 在 直 线 分 别 为 yx、 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系xyzA ， 如 图 所 示 .取 1AB ， 设 )10( CPCM 则 得)011()001()000( ， CBA ， )310( ，P ， 则 )301( ，CP ， )30( ，CM ， 可 得点 )311( ，M ， 所 以 )31( ，BM .取 底
19、面 ABCD 的 法 向 量 为 )100( ，n ， 则 45sin313cos 22 nBM， ， 解 得22,则 )26122( ，BM .因 为 )001( ，AB ,设 面 MAB的 法 向 量 为)( zyxm ， ， 由 00BMm ABm 得 026220 zyxx ， 取 2z 得 )260( ， m ，则 510 cos nm nmnm， .故 二 面 角 DABM 的 余 弦 值 为 510 .20.（ 1） 设 )( yxP ， ， 则 )22( yxM ， ， 将 点 M 代 入 C中 得 122 22 yx ， 所 以 点 P的 轨迹 方 程 为 222 yx .第
20、 11 页 共 12 页（ 2） 由 题 可 知 )01( ，F ， 设 )()3( nmPtQ ， ， 则)1( )3( nmPFtOQ ， ， )3( )( ntmPQnmOP ， .由 1OQOP 得 13 22 ntnmm ， 由 （ 1）有 222 nm ， 则 有 033 tnm ， 所 以 033 tnmPFOQ ， 即 过 点P且 垂 直 于 OQ 的 直 线 l过 C的 左 焦 点 F .21.（ 1） )(xf 的 定 义 域 为 )0( ， ， 则 0)( xf 等 价 于 0ln xaax .设 xaaxxg ln)( ， 则 xaxg 1)( .由 题 可 知 0a
21、， 则 由 0)( xg 解 得ax 1， 所 以 )(xg 为 )1( ，a 上 的 增 函 数 ， 为 )10( a， 上 的 减 函 数 .则 有 )1()(min agxg0ln1 aa ， 解 得 1a .（ 2） 由 （ 1） 可 知 xxxxxf ln)( 2 ， 则 xxxf ln22)( .设 xxxh ln22)( ， 则 xxh 12)( .由 0)( xh 解 得 21x ， 所 以 )(xh 为 )21( ， 上的 增 函 数 ， 为 )210( ， 上 的 减 函 数 .又 因 为 0)1(012ln)21( hh ， ， 则 )(xh 在 )210( ， 上存 在
22、 唯 一 零 点 0x 使 得 0ln22 00 xx ， 即 00 ln22 xx ,且 )(xf 为 )0( 0x， ， )1( ，上 的 增 函 数 ， 为 )1 ( 0，x 上 的 减 函 数 ， 则 )(xf 极 大 值 为 41)1()( 000 xxxf .而 101 )10( exe ， ， 所 以 210 )()( eefxf .综 上 ， 202 2)( xfe .22.（ 1） 设 P极 坐 标 为 )0)( ， ， M 极 坐 标 为 )0)( 11 ， .则 OP ， cos41 OM .由 16OPOM 得 2C 的 极 坐 标 方 程 为 )0(cos4 .所 以
23、2C 的 直 角 坐 标 方 程 为 )0(4)2( 22 xyx .（ 2） 设 B极 标 为 )0)( 22 ， ， 由 题 可 知 cos42 2 ，OA ， 则 有3223)32sin(2)3sin(212 OAS OAB .即 当 12 时 ， OAB 面 积 的 最 大 值 为 32 .第 12 页 共 12 页23.（ 1） 655655 )( bbaabababa )(2)( 4433233 baabbaba 222 )(4 baab 4（ 2） 因 为 32233 33)( babbaaba )(32 baab )(4 )(32 2 baba 4 )(32 3ba ，所 以 8)( 3 ba ， 解 得 2ba .
