1、绝密启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷 5 页， 23 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项： 1 答卷前， 考生务必将自己的姓名、 考生号、 考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（ B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上； 如需改动， 先划掉原来的答案， 然后
2、再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 A= x|x1000 的最小偶数 n，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入A A1 000 和 n=n+1 B A1 000 和 n=n+2 C A 1 000 和 n=n+1 D A 1 000 和 n=n+2 9已知曲线 C1： y=cos x， C2： y=sin (2x+ 23 )，则下面结论正确的是A把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的
3、2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6个单位长度，得到曲线 C2 B 把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍， 纵坐标不变， 再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C2 C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6个单位长度，得到曲线 C2 D 把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 12 倍， 纵坐标不变， 再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C210已知 F 为抛物线 C： y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1， l2，直线 l1 与 C 交于 A、 B 两点，直线 l2 与 C 交于 D、 E
4、两点，则 |AB|+|DE |的最小值为A 16 B 14 C 12 D 10 11设 xyz 为正数，且 2 3 5x y z ，则A 2x100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂 .那么该款软件的激活码是A 440 B 330 C 220 D 110 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知向量 a， b 的夹角为 60 ， |a|=2， |b|=1，则 | a +2 b |= . 14设 x， y 满足约束条件2 12 10x yx yx y，则 3 2z x y 的最小值为 . 15 已知双曲线 C：2 22 2 1x ya b （ a0， b0） 的
5、右顶点为 A， 以 A 为圆心， b 为半径做圆 A，圆 A 与双曲线 C的一条渐近线交于 M、 N 两点。 若 MAN =60 ， 则 C的离心率为 _。16如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O。D、 E、 F 为圆 O 上的点， DBC， ECA， FAB 分别是以 BC， CA， AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以 BC， CA， AB 为折痕折起 DBC， ECA， FAB，使得 D、 E、 F 重合，得到三棱锥。当 ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 _。三、 解答题： 共 70 分。 解答应
6、写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17 （ 12 分） ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 ABC 的面积为23sinaA（ 1）求 sinBsinC; （ 2）若 6cosBcosC=1， a=3，求 ABC 的周长 . 18.（ 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中， AB/CD ，且 90BAP CDP . （ 1）证明：平面 PAB平面 PAD；（ 2）若 PA=PD=AB=DC， 90APD ，求二面角 A-PB-C
7、的余弦值 . 19（ 12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位： cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 2( , )N （ 1） 假设生产状态正常， 记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 ( 3 , 3 )之外的零件数，求 ( 1)P X 及 X 的数学期望；（ 2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验
8、员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得1611 9.9716 iix x，16 162 2 2 21 11 1( ) ( 16 ) 0.21216 16i ii is x x x x，其中 ix 为抽取的第 i 个零件的尺寸， 1,2, ,16i 用样本平均数 x 作为 的估计值 ?，用样本标准差 s作为 的估计值 ? ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 ? ? ? ?( 3 , 3 ) 之外的
9、学科网数据， 用剩下的数据估计 和 （精确到 0.01）附：若随机变量 Z 服从正态分布 2( , )N ，则 ( 3 3 ) 0.997 4P Z ，160.997 4 0.959 2 ， 0.008 0.0920.（ 12 分）已知椭圆 C：2 22 2 =1x ya b （ ab0） ，四点 P1（ 1,1） ， P2（ 0,1） ， P3（ 1， 32） ， P4（ 1，32）中恰有三点在椭圆 C 上 . （ 1）求 C 的方程；（ 2） 设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A， B 两点 .若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 1，证明： l 过定点 . 21.（ 1
10、2 分）已知函数 )f x（ ae2x+(a 2) ex x. （ 1）讨论 ( )f x 的单调性；（ 2）若 ( )f x 有两个零点，求 a 的取值范围 . （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22 选修 44 ：坐标系与参数方程 （ 10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 3cos ,sin ,xy（ 为参数），直线 l 的参数方程为4 ,1 ,x a t ty t（ 为参数） . （ 1）若 a=-1 ，求 C 与 l 的交点坐标；（ 2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17 ，求 a.
11、23 选修 4 5：不等式选讲 （ 10 分）已知函数 f（ x） = x2+ax+4， g(x)= x+1 + x 1.（ 1）当 a=1 时，求不等式 f（ x） g（ x）的解集；（ 2）若不等式 f（ x） g（ x）的解集包含 1， 1，求 a 的取值范围 . 2017 年新课标 1 理数答案1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.C 7.B 8.D 9.D 10.A 11.D 12.A 13. 2 314. 515. 2 3316. 4 1517.解： （ 1）由题设得21sin2 3sinaac B A ，即 1 sin2 3sinac B A . 由正弦定理得 1 sins
12、in sin2 3sinAC B A . 故 2sin sin3B C . （ 2）由题设及（ 1）得 1cos cos sin sin ,2B C B C ，即1cos( )2B C . 所以 23B C ，故3A . 由题设得21sin2 3sinabc A A ，即 8bc . 由余弦定理得 2 2 9b c bc ，即 2( ) 3 9b c bc ，得 33b c . 故 ABC 的周长为 3 33 . 18.解： （ 1）由已知 90BAP CDP ，得 AB AP， CD PD . 由于 AB CD ，故 AB PD，从而 AB平面 PAD . 又 AB 平面 PAB，所以平面
13、PAB平面 PAD. （ 2）在平面 PAD 内做 PF AD ，垂足为 F ，由（ 1）可知， AB 平面 PAD ，故 AB PF ，可得 PF 平面 ABCD . 以 F 为坐标原点， FA 的方向为 x轴正方向， | |AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 F xyz . 由（ 1）及已知可得 2( ,0,0)2A， 2(0,0, )2P， 2( ,1,0)2B， 2( ,1,0)2C. 所以 2 2( ,1, )2 2PC， ( 2,0,0)CB ， 2 2( ,0, )2 2PA， (0,1,0)AB . 设 ( , , )x y zn 是平面 PCB 的法向量，则00PC
14、CBnn，即2 2 02 22 0x y zx，可取 (0, 1, 2)n . 设 ( , , )x y zm 是平面 PAB 的法向量，则00PAABmm，即2 2 02 20x zy，可取 (1,0,1)n . 则 3cos ,| | | 3n mn mn m，所以二面角 A PB C 的余弦值为 33 . 19.【解】 （ 1）抽取的一个零件的尺寸在 ( 3 , 3 ) 之内的概率为 0.9974，从而零件的尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的概率为 0.0026，故 (16,0.0026)X B .因此( 1) 1 ( 0) 1 0.9974 0.0408P X P X . X 的数学期
15、望为 16 0.0026 0.0416EX . （ 2） （ i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的概率只有 0.0026， 一天内抽取的 16 个零件中，出现尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件的概率只有 0.0408，发生的概率很小 .因此一旦发生这种情况， 就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程学科 &网可能出现了异常情况， 需对当天的生产过程进行检查， 可见上述监控生产过程的方法是合理的 . （ ii ）由 9.97, 0.212x s ，得 的估计值为 ? 9.97 ， 的估计值为 ? 0.212 ，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在 ? ? ? ?(
16、 3 , 3 ) 之外， 因此需对当天的生产过程进行检查 . 剔除 ? ? ? ?( 3 , 3 ) 之外的数据 9.22， 剩下数据的平均数为 1 (16 9.97 9.22) 10.0215 ，因此 的估计值为 10.02. 162 2 2116 0.212 16 9.97 1591.134iix ，剔除 ? ? ? ?( 3 , 3 ) 之外的数据 9.22，剩下数据的样本方差为 2 21 (1591.134 9.22 15 10.02 ) 0.00815 ，因此 的估计值为 0.008 0.09. 20.（ 12 分）解：（ 1）由于 3P ， 4P 两点关于 y 轴对称，故由题设知
17、C 经过 3P ， 4P 两点 . 又由 2 2 2 21 1 1 34a b a b 知， C 不经过点 P1，所以点 P2 在 C 上 . 因此22 21 11 3 14ba b，解得2241ab. 故 C 的方程为22 14x y . （ 2）设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1， k2，如果 l 与 x 轴垂直， 设 l ： x=t， 由题设知 0t ， 且 | | 2t ， 可得 A， B 的坐标分别为 （ t，242t ） ，（ t，242t ） . 则2 21 24 2 4 2 12 2t tk kt t ，得2t ，不符合题设 . 从而可设 l： y kx m （
18、 1m ） .将 y kx m 代入22 14x y 得2 2 2(4 1) 8 4 4 0k x kmx m由题设可知 2 2=16(4 1) 0k m . 设 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ，则 x1+x2= 284 1kmk， x1x2=224 44 1mk . 而 1 21 21 21 1y yk kx x1 21 21 1kx m kx mx x1 2 1 21 22 ( 1)( )kx x m x xx x . 由题设 1 2 1k k ，故 1 2 1 2(2 1) ( 1)( ) 0k x x m x x . 即22 24 4 8(2 1) ( 1) 04 1
19、 4 1m kmk mk k . 解得 12mk . 当且仅当 1m 时， 0 ，欲使 l ： 12my x m ，即 11 ( 2)2my x ，所以 l 过定点（ 2， 1）21.解： （ 1） ( )f x 的定义域为 ( , ) ， 2( ) 2 ( 2) 1 ( 1)(2 1)x x x xf x ae a e ae e ，（）若 0a ，则 ( ) 0f x ，所以 ( )f x 在 ( , ) 单调递减 . （）若 0a ，则由 ( ) 0f x 得 lnx a . 当 ( , ln )x a 时 ， ( ) 0f x ； 当 ( ln , )x a 时 ， ( ) 0f x ，
20、 所 以 ( )f x 在( , ln )a 单调递减，在 ( ln , )a 单调递增 . （ 2） （）若 0a ，由（ 1）知， ( )f x 至多有一个零点 . （ ） 若 0a ， 由 （ 1 ） 知 ， 当 lnx a 时 ， ( )f x 取 得 最 小 值 ， 最 小 值 为1( ln ) 1 lnf a aa . 当 1a 时，由于 ( ln ) 0f a ，故 ( )f x 只有一个零点；当 (1, )a 时，由于 11 ln 0aa ，即 ( ln ) 0f a ，故 ( )f x 没有零点；当 (0,1)a 时， 11 ln 0aa ，即 ( ln ) 0f a . 又
21、 4 2 2( 2) e ( 2)e 2 2e 2 0f a a ，故 ( )f x 在 ( , ln )a 有一个零点 . 设正整数 0n 满足 0 3ln( 1)na ， 则0 0 0 00 0 0 0( ) e ( e 2) e 2 0n n n nf n a a n n n . 由于 3ln( 1) ln aa ，因此 ( )f x 在 ( ln , )a 有一个零点 . 综上， a的取值范围为 (0,1) . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 （ 10 分）解： （ 1）曲线 C 的普通方程为22 19x y . 当 1a 时，直线 l 的普通方程为 4 3 0x y . 由 2
22、 24 3 019x yx y 解得30xy或21252425xy. 从而 C 与 l 的交点坐标为 (3,0) ， 21 24( , )25 25 . （ 2）直线 l 的普通方程为 4 4 0x y a ，故 C 上的点 (3cos ,sin ) 到 l 的距离为|3cos 4sin 4 |17ad . 当 4a 时， d 的最大值为 917a .由题设得 9 1717a ，所以 8a ；当 4a 时， d 的最大值为 117a .由题设得 1 1717a ，所以 16a . 综上， 8a 或 16a .、23.选修 4-5：不等式选讲 （ 10 分）解： （ 1）当 1a 时，不等式 (
23、 ) ( )f x g x 等价于 2 | 1| | 1| 4 0x x x x .当 1x 时，式化为 2 3 4 0x x ，无解；当 1 1x 时，式化为 2 2 0x x ，从而 1 1x ；当 1x 时，式化为 2 4 0x x ，从而 1 1712x. 所以 ( ) ( )f x g x 的解集为 1 17 | 1 2x x. （ 2）当 1,1x 时， ( ) 2g x . 所以 ( ) ( )f x g x 的解集包含 1,1，等价于当 1,1x 时 ( ) 2f x . 又 ( )f x 在 1,1 的 最 小 值 必 为 ( 1)f 与 (1)f 之 一 ， 所 以 ( 1) 2f 且 (1) 2f ， 得1 1a . 所以 a的取值范围为 1,1.
