1、第 1 页 共 1 页2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷 I 新课标 ) 注意事项：1本试题分第卷 ( 选择题 ) 和第卷 ( 非选择题 ) 两部分，第卷 1 至 3 页，第卷 3 至 5 页2答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置3全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效4考试结束后，将本试题和答题卡一并交回第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 (2013 课标全国，理 1)已知集合 A x|x2 2x 0 ， B x| 5 x 5 ，则 ( )A A B B A B
2、RC B A D A B答案： B 解析： x(x 2) 0， x 0 或 x 2. 集合 A 与 B 可用图象表示为：由图象可以看出 A B R，故选 B. 2 (2013 课标全国，理 2)若复数 z 满足 (3 4i) z |4 3i|，则 z 的虚部为 ( )A 4 B 45 C 4 D 45答案： D 解析： (3 4i) z |4 3i| ， 5 5(3 4i) 3 4 i3 4i (3 4i)(3 4i) 5 5z . 故 z 的虚部为 45，选 D. 3 (2013 课标全国，理 3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地
3、区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( )A 简单随机抽样 B按性别分层抽样C按学段分层抽样 D系统抽样答案： C 解析： 因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样4 (2013 课标全国，理 4)已知双曲线 C：2 22 2 =1x ya b (a 0， b 0)的离心率为52，则 C 的渐近线方程为 ( )A y 14 x B y 13 xC y 12 x D y x答案： C 解析： 52cea ，2 2 222 254c a bea a . 第 2 页 共 2 页 a2 4b2， 1=2ba
4、. 渐近线方程为 12by x xa . 5 (2013 课标全国，理 5)执行下面的程序框图，如果输入的 t 1,3，则输出的 s 属于 ( )A 3,4 B 5,2 C 4,3 D 2,5 答案： A 解析： 若 t 1,1)，则执行 s 3t，故 s 3,3)若 t 1,3 ，则执行 s 4t t2，其对称轴为 t 2. 故当 t 2 时， s 取得最大值 4.当 t 1 或 3 时， s 取得最小值 3，则 s 3,4 综上可知，输出的 s 3,4故选 A. 6 (2013 课标全国，理 6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注
5、水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A 5003 cm3 B 8663 cm3C 13723 cm3 D 20483 cm3答案： A 解析： 设球半径为 R，由题可知 R， R 2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即 OBA 为直角三角形，如图第 3 页 共 3 页BC 2， BA 4， OB R 2， OA R，由 R2 (R 2)2 42，得 R 5，所以球的体积为 34 500 5 3 3 (cm3)，故选 A. 7 (2013 课标全国， 理 7)设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn， 若 Sm 1 2， Sm 0， Sm 1 3，
6、 则 m ( )A 3 B 4 C 5 D 6 答案： C 解析： Sm 1 2， Sm 0， Sm 1 3， am Sm Sm 1 0 ( 2) 2， am 1 Sm 1 Sm 3 0 3. d am 1 am 3 2 1. Sm ma1 12m m 1 0，112ma . 又 am 1 a1 m 1 3， 1 32m m . m 5.故选 C. 8 (2013 课标全国，理 8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )A 16 8 B 8 8C 16 16 D 8 16答案： A 解析： 由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体， 由图中数据可知圆柱底面半径 r 2， 长为
7、4，在长方体中，长为 4，宽为 2，高为 2，所以几何体的体积为 r2 4 12 4 2 2 8 16.故选 A. 9 (2013 课标全国，理 9)设 m 为正整数， (x y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a， (x y) 2m 1 展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a 7b，则 m ( )A 5 B 6 C 7 D 8 答案： B 解析： 由题意可知， a 2Cmm， b 2 1Cmm ，又 13a 7b， 2 ! 2 1 !13 =7! ! ! 1 !m mm m m m，第 4 页 共 4 页即 13 2 17 1mm .解得 m 6.故选 B. 10 (2013 课标
8、全国，理 10)已知椭圆 E：2 22 2 =1x ya b (a b 0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 E于 A， B 两点若 AB 的中点坐标为 (1， 1)，则 E 的方程为 ( )A 2 2=145 36x y B2 2=136 27x yC2 2=127 18x y D2 2=118 9x y答案： D 解析： 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， A， B 在椭圆上，2 21 12 22 22 22 21,1,x ya bx ya b，得1 2 1 2 1 2 1 22 2 =0x x x x y y y ya b ，即21 2 1 221 2 1 2=
9、y y y yba x x x x ， AB 的中点为 (1， 1)， y1 y2 2， x1 x2 2，而 1 21 2y yx x kAB 0 1 1=3 1 2，221=2ba . 又 a2 b2 9， a2 18， b2 9. 椭圆 E 的方程为2 2=118 9x y .故选 D. 11 (2013 课标全国，理 11)已知函数 f(x)2 2 0ln( 1) 0.x x xx x， ，若 |f(x)| ax，则 a 的取值范围是 ( )A (， 0 B (， 1 C 2,1 D 2,0 答案： D 解析： 由 y |f(x)|的图象知：当 x 0 时， y ax 只有 a 0 时，
10、才能满足 |f(x)| ax，可排除 B， C. 当 x 0 时， y |f(x)| | x2 2x| x2 2x. 故由 |f(x)| ax 得 x2 2x ax. 当 x 0 时，不等式为 0 0 成立当 x 0 时，不等式等价于 x 2 a. x 2 2， a 2. 综上可知： a 2,012 (2013 课标全国， 理 12)设 AnBnCn 的三边长分别为 an， bn， cn， AnBnCn 的面积为 Sn， n 1,2,3， .第 5 页 共 5 页若 b1 c1， b1 c1 2a1， an 1 an， bn 12n nc a ， cn 12n nb a ，则 ( )A Sn
11、为递减数列B Sn 为递增数列C S2n 1为递增数列， S2n 为递减数列D S2n 1为递减数列， S2n 为递增数列答案： B 第卷本卷包括必考题和选考题两部分 第 (13)题第 (21)题为必考题， 每个试题考生都必须做答 第 (22)题第 (24)题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 (2013 课标全国，理 13)已知两个单位向量 a， b 的夹角为 60 ， c ta (1 t)b.若 b c 0，则 t_. 答案： 2 解析： c ta (1 t)b， b c ta b (1 t)|b|2. 又 |a| |b| 1，且 a 与 b 夹角
12、为 60 ， b c， 0 t|a|b|cos 60 (1 t)，0 12 t 1 t. t 2. 14 (2013 课标全国， 理 14)若数列 an 的前 n 项和 2 13 3n nS a ， 则 an 的通项公式是 an _. 答案： ( 2)n 1解析： 2 13 3n nS a ，当 n 2 时， 1 12 13 3n nS a .，得 12 23 3n n na a a ，即1nnaa 2. a1 S1 12 13 3a ， a1 1. an是以 1 为首项， 2 为公比的等比数列， an ( 2)n 1. 15 (2013 课标全国，理 15)设当 x 时，函数 f(x) si
13、n x 2cos x 取得最大值，则 cos _. 答案： 2 55解析： f(x) sin x 2cos x 1 25 sin cos5 5x x ，令 cos 15， sin 25，则 f(x) 5 sin( x)，当 x 2k 2 (k Z)时， sin( x)有最大值 1， f(x)有最大值 5 ，第 6 页 共 6 页即 2k 2 (k Z)，所以 cos cos 2 +2k cos2 sin 2 2 555 . 16 (2013 课标全国，理 16)若函数 f(x) (1 x2)(x2 ax b)的图像关于直线 x 2 对称，则 f(x)的最大值为 _答案： 16 解析： 函数 f
14、(x)的图像关于直线 x 2 对称， f(x)满足 f(0) f( 4)， f( 1) f( 3)，即 15 16 4 ,0 8 9 3 ,b a ba b解得 8,15.ab f(x) x4 8x3 14x2 8x 15. 由 f(x) 4x3 24x2 28x 8 0，得 x1 2 5 ， x2 2， x3 2 5 . 易知， f(x)在 ( ， 2 5 )上为增函数，在 ( 2 5 ， 2)上为减函数，在 ( 2， 2 5 )上为增函数，在 ( 2 5 ， )上为减函数 f( 2 5 ) 1 ( 2 5) 2( 2 5 )2 8( 2 5 ) 15 ( 8 4 5 )(8 4 5 ) 8
15、0 64 16. f( 2) 1 ( 2)2( 2)2 8 ( 2) 15 3(4 16 15) 9. f( 2 5) 1 ( 2 5 ) 2( 2 5 )2 8( 2 5 ) 15 ( 8 4 5 )(8 4 5 ) 80 64 16. 故 f(x)的最大值为 16. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 (2013 课标全国，理 17)(本小题满分 12 分 )如图，在 ABC 中， ABC 90 ， AB 3 ， BC 1， P为 ABC 内一点， BPC 90 . (1)若 PB 12 ，求 PA；(2)若 APB 150 ，求 tan PBA. 解： (1)由已知得
16、 PBC 60 ，所以 PBA 30 . 在 PBA 中，由余弦定理得 PA2 1 1 73 2 3 cos 304 2 4 . 故 PA 72 . (2)设 PBA ，由已知得 PB sin . 第 7 页 共 7 页在 PBA 中，由正弦定理得 3 sinsin150 sin(30 )，化简得 3 cos 4sin . 所以 tan 34，即 tan PBA 34 . 18 (2013 课标全国，理 18)(本小题满分 12 分 )如图，三棱柱 ABC A1B1C1中， CA CB， AB AA1，BAA1 60 . (1)证明： AB A1C；(2)若平面 ABC平面 AA1B1B， A
17、B CB，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值(1)证明： 取 AB 的中点 O，连结 OC， OA1， A1B. 因为 CA CB，所以 OC AB. 由于 AB AA1， BAA1 60 ，故 AA 1B 为等边三角形，所以 OA 1 AB. 因为 OC OA1 O，所以 AB平面 OA1C. 又 A1C 平面 OA 1C，故 AB A1C. (2)解： 由 (1)知 OC AB， OA1 AB. 又平面 ABC平面 AA1B1B，交线为 AB，所以 OC平面 AA1B1B，故 OA， OA1， OC 两两相互垂直以 O 为坐标原点， OA 的方向为 x 轴的正方向， |O
18、A|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz. 由题设知 A(1,0,0)， A1(0， 3 ， 0)， C(0,0， 3 )， B( 1,0,0)则 BC (1,0， 3 )， 1BB 1AA ( 1， 3 ， 0)， 1AC (0， 3 ， 3 )设 n (x， y， z)是平面 BB 1C1C 的法向量，则10,0,BCBBnn即 3 0,3 0.x zx y可取 n ( 3 ， 1， 1)故 cos n， 1AC 11ACACnn 105 . 所以 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 105 . 19 (2013 课标全国， 理 19)(本小题满分 12 分 )一批
19、产品需要进行质量检验， 检验方案是：先从这批产品第 8 页 共 8 页中任取 4 件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n 3，再从这批产品中任取 4 件作检验， 若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n 4，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为 50%， 即取出的每件产品是优质品的概率都为 12， 且各件产品是否为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为 100 元， 且抽取的每件产品都需要检验， 对这批产品作质量检验所需的费用记为 X(单位：元 )，
20、求 X 的分布列及数学期望解： (1)设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A1， 第一次取出的 4 件产品全是优质品为事件 A2，第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 B1，第二次取出的 1 件产品是优质品为事件 B2，这批产品通过检验为事件 A，依题意有 A (A1B1) (A2B2)，且 A1B1 与 A2B2互斥，所以P(A) P(A1B1) P(A2B2) P(A1)P(B1|A1) P(A2)P(B2|A2) 4 1 1 1 316 16 16 2 64 . (2)X 可能的取值为 400,500,800，并且P(X 400) 4 1 111 16 16 16
21、， P(X 500) 116 ， P(X 800) 14 . 所以 X 的分布列为X 400 500 800 P 1116 116 14EX 11 1 1400 +500 +80016 16 4 506.25. 20 (2013 课标全国，理 20)(本小题满分 12 分 )已知圆 M： (x 1)2 y2 1，圆 N： (x 1)2 y2 9，动圆P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程；(2)l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线， l 与曲线 C 交于 A， B 两点，当圆 P 的半径最长时，求 |AB|. 解： 由已知得圆 M 的圆心为
22、 M ( 1,0)，半径 r 1 1；圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r 2 3. 设圆 P 的圆心为 P(x， y)，半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以 |PM| |PN| (R r1) (r2 R) r1 r2 4. 由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M， N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3 的椭圆 (左顶点除外 )，其方程为2 2=14 3x y (x 2)(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x， y)，由于 |PM| |PN| 2R 2 2，所以 R 2，当且仅当圆 P 的圆心为 (2,0)时， R 2. 所以当圆 P 的半径最长
23、时，其方程为 (x 2)2 y2 4. 若 l 的倾斜角为 90 ，则 l 与 y 轴重合，可得 |AB| 2 3 . 若 l 的倾斜角不为 90 ，由 r 1 R 知 l 不平行于 x 轴，设 l 与 x 轴的交点为 Q，则1| | |QP RQM r ，可求得Q( 4,0)，所以可设 l： y k(x 4)由 l 与圆 M 相切得2| 3 | =11kk，解得 k 24. 第 9 页 共 9 页当 k 24时，将 2 24y x 代入2 2=14 3x y ，并整理得 7x2 8x 8 0，解得 x1,2 4 6 27. 所以 |AB| 2 2 1 181 | |7k x x . 当 24
24、k 时，由图形的对称性可知 |AB|187 . 综上， |AB| 2 3 或 |AB| 187 . 21 (2013 课标全国，理 21)(本小题满分 12 分 )设函数 f(x) x2 ax b， g(x) ex(cx d)若曲线 y f(x)和曲线 y g(x)都过点 P(0,2)，且在点 P 处有相同的切线 y 4x 2. (1)求 a， b， c， d 的值；(2)若 x 2 时， f(x) kg(x)，求 k 的取值范围解： (1)由已知得 f(0) 2， g(0) 2， f (0) 4， g (0) 4. 而 f(x) 2x a， g(x) ex(cx d c)，故 b 2， d
25、2， a 4， d c 4. 从而 a 4， b 2， c 2， d 2. (2)由 (1) 知， f(x) x2 4x 2， g(x) 2ex(x 1)设函数 F(x) kg(x) f(x) 2kex(x 1) x2 4x 2，则 F(x) 2kex(x 2) 2x 4 2(x 2)(kex 1)由题设可得 F(0) 0，即 k 1. 令 F(x) 0 得 x1 ln k， x2 2. 若 1 k e2，则 2 x1 0.从而当 x ( 2， x1)时， F(x) 0；当 x (x1， )时， F(x) 0.即 F(x)在 ( 2， x1)单调递减，在 (x1， )单调递增故 F(x)在 2
26、， )的最小值为 F(x1)而 F(x1) 2x1 2 21x 4x1 2 x1(x1 2) 0. 故当 x 2 时， F(x) 0，即 f(x) kg(x)恒成立若 k e2，则 F(x) 2e2(x 2)(ex e 2)从而当 x 2 时， F(x) 0，即 F(x)在 ( 2， )单调递增而 F( 2) 0，故当 x 2 时， F(x) 0，即 f(x) kg(x)恒成立若 k e2，则 F( 2) 2ke 2 2 2e 2(k e2) 0. 从而当 x 2 时， f(x) kg(x)不可能恒成立综上， k 的取值范围是 1， e2请考生在第 (22)、 (23)、 (24)三题中任选一
27、题做答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22 (2013 课标全国 ，理 22)(本小题满分 10 分 )选修 4 1：几何证明选讲如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上， ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E， DB 垂直BE 交圆于点 D. (1)证明： DB DC ；(2)设圆的半径为 1， BC 3 ，延长 CE 交 AB 于点 F，求 BCF 外接圆的半径(1)证明： 连结 DE，交 BC 于点 G. 第 10 页 共 10 页由弦切角定理得， ABE BCE. 而 ABE CBE，故
28、 CBE BCE， BE CE. 又因为 DB BE，所以 DE 为直径， DCE 90 ，由勾股定理可得 DB DC . (2)解： 由 (1)知， CDE BDE， DB DC ，故 DG 是 BC 的中垂线，所以 BG 32 . 设 DE 的中点为 O，连结 BO，则 BOG 60 . 从而 ABE BCE CBE 30 ，所以 CF BF ，故 Rt BCF 外接圆的半径等于 32. 23 (2013 课标全国 ，理 23)(本小题满分 10 分 )选修 4 4：坐标系与参数方程已知曲线 C1 的参数方程为 4 5cos ,5 5sinx ty t (t 为参数 )，以坐标原点为极点，
29、 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2sin . (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程；(2)求 C1 与 C2 交点的极坐标 ( 0,0 2) 解： (1)将 4 5cos ,5 5sinx ty t消去参数 t，化为普通方程 (x 4)2 (y 5)2 25，即 C1： x2 y2 8x 10y 16 0. 将 cos ,sinxy代入 x2 y2 8x 10y 16 0 得 2 8 cos 10 sin 16 0. 所以 C1 的极坐标方程为 2 8 cos 10 sin 16 0. (2)C2 的普通方程为 x2 y2 2y 0. 由2 22 28 10
30、 16 0,2 0x y x yx y y解得 1,1xy或 0,2.xy所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 2,4， 2,2 . 24 (2013 课标全国，理 24)(本小题满分 10 分 )选修 4 5：不等式选讲已知函数 f(x) |2x 1| |2x a|， g(x) x 3. (1)当 a 2 时，求不等式 f(x) g(x)的解集；(2)设 a 1，且当 x 1,2 2a 时， f(x) g(x)，求 a 的取值范围解： (1)当 a 2 时，不等式 f(x) g(x)化为 |2x 1| |2x 2| x 3 0. 第 11 页 共 11 页设函数 y |2x 1| |2x 2| x 3，则 y15 , ,212, 1,23 6, 1.x xx xx x其图像如图所示从图像可知，当且仅当 x (0,2)时， y 0. 所以原不等式的解集是 x|0 x 2 (2)当 x 1,2 2a 时， f(x) 1 a. 不等式 f(x) g(x)化为 1 a x 3. 所以 x a 2 对 x 1,2 2a 都成立故2a a 2，即 43a . 从而 a 的取值范围是 41,3 .
