1、1 输出 SK=K+ 1a= aS=S+a?K是否输入 aS=0,K=1结束K 6开始2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 ( 全国 2 卷 )一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 31 ii （）A 1 2i B 1 2i C 2 i D 2 i2.设集合 1,2,4 ， 2 4 0x x x m 若 1 ，则 （）A 1, 3 B 1,0 C 1,3 D 1,53.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题： “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂
2、了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的顶层共有灯（）A 1 盏 B 3 盏 C 5 盏 D 9 盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A 90 B 63 C 42 D 365.设 x ， y 满足约束条件2 3 3 02 3 3 03 0x yx yy，则 2z x y 的最小值是（）A 15 B 9 C 1 D 96.安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（）A 12 种 B 18 种 C 24 种
3、 D 36 种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2 位优秀， 2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（）A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩8.执行右面的程序框图，如果输入的 1a ，则输出的 S （）A 2 B 3 C 4 D 5 9.若双曲线 C :2 22 2 1x ya b （0a ， 0b ） 的一条渐近线被圆 2 22 4x y 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为（）A 2 B 3 C 2
4、D 2 3310.已知直三棱柱 1 1 1C C 中， C 120 ， 2， 1C CC 1，则异面直线 1 与 1C 所成角的余弦值为（）2 A 32B 155C 105D 3311.若 2x 是函数 2 1( ) ( 1) xf x x ax e 的极值点，则 ( )f x 的极小值为（）A. 1 B. 32e C. 35e D.1 12.已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC内一点，则 ( )PA PB PC 的最小值是（）A. 2 B. 32 C. 43 D. 1二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.一批产品的二等品率为 0.02 ，
5、从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次， 表示抽到的二等品件数，则 D 14.函数 2 3sin 3 cos 4f x x x （ 0, 2x ）的最大值是15.等差数列 na 的前 n项和为 nS ， 3 3a ， 4 10S ，则11nk kS16.已知 F是抛物线 C : 2 8y x 的焦点， 是 C 上一点， F 的延长线交 y 轴于点 若 为 F 的中点，则 F 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第 1721 题为必做题，每个试题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17.（ 12
6、分） ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ,已知 2sin( ) 8sin 2BA C (1)求 cos B (2)若 6a c , ABC 面积为 2,求 .b18.（ 12 分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位： kg）其频率分布直方图如下：旧养殖法0.0200.0320.0400.0340.0240.0140.012频率组距箱产量 /kg30 35 40 45 50 55 60 65 7025O0.0080.0100.0460.0680.0440.0200.004频率组距箱产
7、量 /kg40 45 50 55 60 65 7035新养殖法O3 （ 1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg, 新养殖法的箱产量不低于 50kg ” ,估计 A 的概率；（ 2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量 50kg 箱产量 50kg旧养殖法新养殖法（ 3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01 ）P（ ） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 22 ( )( )( )( )( )n ad bcKa b
8、c d a c b d19. （ 12 分）如图，四棱锥 P-ABCD中，侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面 ABCD，o1 , 90 ,2AB BC AD BAD ABC E是 PD的中点 . （ 1）证明：直线 / /CE 平面 PAB（ 2） 点 M 在棱 PC 上， 且直线 BM与底面 ABCD所成角为 o45 ，求二面角 M-AB-D 的余弦值EABDPCM4 20.（ 12 分）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：22 12x y 上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足 2NP NM . (1) 求点 P 的轨迹方程；(2) 设点 Q 在直线 x=-3 上
9、，且 1OP PQ .证明：过点 P 且垂直于 OQ的直线 l 过 C 的左焦点 F. 21.（ 12 分）已知函数 2( ) ln ,f x ax ax x x 且 ( ) 0f x . （ 1）求 a；（ 2）证明： ( )f x 存在唯一的极大值点 0x ，且 2 20( ) 2e f x . （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。22.选修 4-4：坐标系与参数方程 （ 10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1C 的极坐标方程为cos 4 （ 1） M 为曲线 1C
10、 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 | | | | 16OM OP ,求点 P的轨迹 2C 的直角坐标方程；（ 2）设点 A 的极坐标为 (2, )3，点 B 在曲线 2C 上，求 OAB 面积的最大值23.选修 4-5：不等式选讲 （ 10 分）已知 3 30, 0, 2a b a b ，证明：（ 1） 5 5( )( ) 4a b a b ；（ 2） 2a b 5 2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 ( ) 试题答案一、选择题1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D 7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B 二、填空题13. 1.96 14. 1
11、15. 2n1n16. 6 三、解答题17. 解：（ 1）由题设及 2sin 8sin2A B C B得 ，故sin 4 -cosBB （ 1 ）上式两边平方，整理得 217cos B-32cosB+15=0解得 15cosB= cosB171（舍去）， =（ 2）由 15 8cosB sin B17 17= 得 ，故1 4a sin2 17ABCS c B ac又 17=22ABCS ac，则由余弦定理及 a 6c 得2 2 22b 2 cosa 2 (1 cosB)17 1536 2 (1 )2 174a c ac Bac（ +c）所以 b=2 18.解：（ 1）记 B 表示事件 “ 旧养
12、殖法的箱产量低于 50kg ” ， C 表示事件 “ 新养殖法的箱产量不低于 50 kg ” 由题意知 P A P BC P B P C旧养殖法的箱产量低于 50 kg 的频率为0.040 0.034 0.024 0.014 0.012 5=0.62（ ）故 P B 的估计值为 0.62 新养殖法的箱产量不低于 50 kg 的频率为6 0.068 0.046 0.010 0.008 5=0.66（ ）故 P C 的估计值为 0.66 因此，事件 A 的概率估计值为 0.62 0.66 0.4092（ 2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量 50kg 箱产量 50 kg旧养殖法 62 38
13、 新养殖法 34 66 22 200 62 66 34 38 15.705100 100 96 104K由于 15.705 6.635故有 99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关（ 3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于 50 kg 的直方图面积为0.004 0.020 0.044 5 0.34 0.5，箱产量低于 55kg 的直方图面积为0.004 0.020 0.044+0.068 5 0.68 0.5故新养殖法箱产量的中位数的估计值为0.5-0.3450+ 2.35 kg0.068（ ） 5 19.解：（ 1）取 PA 中点 F ，连结 EF ， BF 因为 E 为 PD
14、的中点， 所以 EF AD , 12EF AD= ,由90BAD ABC 得 BC AD ， 又 12BC AD所以 EF BC 四边形 BCEF 为平行四边形， CE BF 又 BF PAB平面 ， CE PAB平面 ，故 CE PAB平面（ 2）由已知得 BA AD ,以 A 为坐标原点， AB 的方向为 x 轴正方向， AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,则则 (0 0 0)A ， ， ， (1 0 0)B ， ， ， (1 1 0)C ， ， ， (0 1 3)P ， ， ，7 (1 0 3)PC ， ， , (1 0 0)AB ， ， 则(x 1 ), (x 1
15、 3)BM y z PM y z， ， ， ，因为 BM 与底面 ABCD所成的角为 45，而 (0 0 )n ， ， 1 是底面 ABCD的法向量，所以0cos , sin 45BM n ，2 2 2z 22(x 1) y z即（ x-1） 2 +y2 -z2 =0 又 M 在棱 PC上，设 ,PM PC 则x , 1, 3 3y z由 ，得x xy y2 2=1+ =1-2 2=1 ( 舍去 )， =16 6z z2 2所以 M 2 61- ,1，2 2，从而 2 61- ,1，2 2AM设 0 0 0, ,x y zm = 是平面 ABM 的法向量，则0 0 002- 2 2 6 00即
16、0 0x y zAMAB xmm所以可取 m=（ 0， - 6 ， 2） .于是 cos 105m nm, nm n因此二面角 M-AB-D 的余弦值为 10520.解（ 1）设 P（ x,y） ,M （ x0,y0） ,设 N（ x0,0） , 0 0, , 0,NP x x y NM y由 2NP NM 得 0 0 2= , 2x x y y因为 M（ x0,y0）在 C 上，所以2 212 2x y因此点 P 的轨迹方程为 2 2 2x y8 （ 2）由题意知 F（ -1,0） .设 Q（ -3， t） ,P(m,n),则3, 1 , , 3 3tOQ , PF m n OQ PF m
17、tn ，, 3 ,OP m, n PQ m,t n由 1OP PQ 得 2 2-3 1m m tn n ，又由（ 1）知 2 2+ =2m n ，故3+3m-tn=0 所以 0OQ PF ，即 OQ PF 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C的左焦点 F. 21.解：（ 1） f x 的定义域为 0， +设 g x = ax - a - lnx ，则 f x = xg x , f x 0 等价于 0g x因为 11 =0， 0, 故 1 =0, 而 , 1 = 1, 得 1g g x g g x a g a ax若 a=1，则 11g x =x
18、.当 0 x 1 时， 0,g x g x 单调递减；当 x 1 时， g x 0， g x 单调递增 .所以 x=1 是 g x 的极小值点，故 1 =0g x g综上， a=1 （ 2）由（ 1）知 2 ln , ( ) 2 2 lnf x x x x x f x x x设 12 2 ln , 则 ( ) 2h x x x h x x当 10,2x 时， 0h x ； 当 1 ,+2x 时， 0h x ， 所以 h x 在 10,2单调递减， 在 1 ,+2单调递增又 2 1 0, 0, 1 02h e h h ，所以 h x 在 10, 2 有唯一零点 x0，在 1 ,+2 有唯一零点
19、1，且当00,x x 时， 0h x ；当 0 ,1x x 时， 0h x ，当 1,+x 时， 0h x . 因为 f x h x ，所以 x=x0是 f(x)的唯一极大值点由 0 0 0 0 0 0 0得 ln 2( 1), 故 = ( 1 )f x x x f x x x由 0 0,1x 得 0 1 4f x因为 x=x0是 f(x)在（ 0,1）的最大值点，由 1 10,1 , 0e f e 得9 1 20 f x f e e所以 2 -20 2e f x22.解：（ 1）设 P 的极坐标为 ， 0 ， M 的极坐标为 1 1， 0 ，由题设知cos14= ， =OP OM =由 16
20、OM OP = 得 2C 的极坐标方程 cos=4 0因此 2C 的直角坐标方程为2 22 4 0x y x（ 2）设点 B 的极坐标为 ， 0B B ,由题设知cos=2， =4BOA ,于是 OAB面积1= sin24 cos sin 332 sin 23 22 3BS OA AOB当 =-12 时， S取得最大值 2+ 3所以 OAB面积的最大值为 2+ 323.解：（ 1）5 5 6 5 5 623 3 3 3 4 422 2244a b a b a ab a b ba b a b ab a bab a b（ 2）因为10 3 3 2 2 32 33 32 3 +3 + 3 +2+ + 24 4a b a a b ab bab a ba b a ba b所以3+ 8a b ，因此 a+b 2.
