1、1二次函数最值问题例 1、小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为 x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为 40 cm，这个三角形的面积 S(单位：cm 2)随 x(单位：cm)的变化而变化(1)请直接写出 S 与 x 之间的函数关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围)；(2)当 x 是多少时，这个三角形面积 S 最大?最大面积是多少?21 世纪教育网解：（1） 021（2）a= 0 S 有最大值- 21abx）（ S 的最大值为 2002S当 x 为 20cm 时，三角形面积最大，最大面积是 200cm2。2.如图，矩形 ABCD 的两边长 AB=18cm， AD=4cm，
2、点 P、 Q 分别从 A、 B 同时出发， P 在边 AB上沿 AB 方向以每秒 2cm 的速度匀速运动， Q 在边 BC 上沿 BC 方向以每秒 1cm 的速度匀速运动设运动时间为 x 秒， PBQ 的面积为 y（cm 2）.（1）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（2）求 PBQ 的面积的最大值.解：（1）S PBQ = 21PBBQ,PB=ABAP=182x，BQ=x，y= （182x）x，即 y=x 2+9x（0x4）; （2）由（1）知：y=x 2+9x，y=(x 9） 2 + 481,当 0x 9时，y 随 x 的增大而增大， 而 0x4，当 x=4 时，y
3、最大值 =20，即PBQ 的最大面积是 20cm2. 3如图，在矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=12cm，点 P 从点 A 出发，沿 AB 边向点 B 以1cm/s 的速度移动，同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果 P，Q 两点同时出发，分别到达 B，C 两点后就停止移动（1）设运动开始后第 t 秒钟后，五边形 APQCD 的面积为 Scm2，写出 S 与 t 的函数关系式，并指出自变量 t 的取值范围（2）t 为何值时，S 最小？最小值是多少？解：（1）第 t 秒钟时，AP=tcm，故 PB=（6t）cm，BQ=2tcm，故 SPBQ =
4、（ 6t）2t=t 2+6t2S 矩形 ABCD=612=72S=72S PBQ =t26t+72（0t6） ；（2）S=t 26t+72=（t3） 2+63，当 t=3 秒时，S 有最小值 63cm4在某居民小区要在一块一边靠墙（墙长 15m）的空地上修建一个矩形花园 ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为 40m 的栅栏围成如图，若设花园的 BC 边长为 x（m）花园的面积为 y（m 2）（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并求自变量的 x 的范围（2）当 x 取何值时花园的面积最大，最大面积为多少？解：（1）四边形 ABCD 是矩形，AB=CD，AD=BC，BC=xm，AB+BC+
5、CD=40m，AB= ，花园的面积为：y=x = x2+20x（0x15） ；y 与 x 之间的函数关系式为：y= x2+20x（0x15） ；（2）y= x2+20x= （x20） 2+200，a= 0， 当 x20 时，y 随 x 的增大而增大，当 x=15 时，y 最大，最大值 y=187.5当 x 取 15 时花园的面积最大，最大面积为 187.55.已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图） ，其中 AF=2，BF=1试在 AB 上求一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积 解：设矩形 PNDM 的边 DN=x，NP=y，则矩形 PNDM 的面积 S=xy（2x
6、4）易知 CN=4-x，EM=4-y过点 B 作 BHPN 于点 H则有AFBBHP ，即 ，PFA3412yx ，5xy，S2)4(x此二次函数的图象开口向下，对称轴为 x=5，当 x5 时，函数值 随 的增大而增大，yx对于 来说，当 x=4 时， 4x 124521最 大S6如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用 50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为 x 米(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少 m？3(2)如果中间有 n(n 是大于 1 的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？ 解：(
7、1)长为 x 米，则宽为 米，设面积为 平方米350xS)(13502S6)(x当 时， (平方米) 即：鸡场的长度为 25 米时，面积最大2535maxS(2) 中间有 道篱笆，则宽为 米，设面积为 平方米n20nxS则： )5(120xS6)(2n当 时， (平方米)5xmax由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是 25 米即：使面积最大的 值与中间有多少道隔墙无关7如图，矩形 ABCD 的边 AB=6 cm，BC=8cm，在 BC 上取一点 P，在 CD 边上取一点 Q，使APQ 成直角，设 BP=x cm，CQ=y cm，试以 x 为自变量，写出 y 与 x 的
8、函数关系式A B C D P Q 解：APQ=90, APB+QPC=90.APB+BAP=90,QPC=BAP，B=C=90 ABPPCQ. ,86,yxCQBPAx346128.小李想用篱笆围成一个周长为 60 米的矩形场地，矩形面积 S(单位：平方米)随矩形一边长 x(单位：米)的变化而变化（1）求 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）当 x 是多少时，矩形场地面积 S 最大？最大面积是多少？解：（1）根据题意，得 x302602自变量 的取值范围是 （2） ， 有最大值1aS4当 时，答：当 为 15 米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是 225 平方
9、米9. 较难 如图，A、B 两点的坐标分别是（8，0） 、 （0，6） ，点 P 由点 B 出发沿 BA 方向向点 A 作匀速直线运动，速度为每秒 3 个单位长度，点 Q 由 A 出发沿 AO（O 为坐标原点）方向向点 O 作匀速直线运动，速度为每秒 2 个单位长度，连接 PQ，若设运动时间为t（0t ）秒解答如下问题：（1）当 t 为何值时，PQBO？（2）设AQP 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并求出 S 的最大值；解：（1）A、B 两点的坐标分别是（8，0） 、 （0，6） ，则 OB=6，OA=8，AB= = =10如图，当 PQBO 时，AQ=2t，BP=3t，则 AP=103tPQBO， ，即 ，解得 t= ，当 t= 秒时， PQBO（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10如图所示，过点 P 作 PDx 轴于点 D，则 PDBO， ，即 ，解得 PD=6 tS= AQPD= 2t（6 t）=6t t2= （t ） 2+5，S 与 t 之间的函数关系式为：S= （t ） 2+5（0t ） ，当 t= 秒时， S 取得最大值，最大值为 5（平方单位）
