1、.第 5 次课：一元二次方程的概念与配方法一、考点、热点回顾（1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为（a、b、c、为常数， ）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。02xa0a（1）定义解释：一元二次方程是一个整式方程；只含有一个未知数；并且未知数的最高次数是 2。这三个条件必须同时满足，缺一不可。（2） （a、b、c、为常数， ）叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。0xa0a（3）在 （ ）中，a，b，c 通常表示已知数。22、一元二次方程的解：当某一 x 的取值使得这个方程中的 的值为 0，x 的值即是一元cbxa2二次方程 的解。02cbax3、一元二次方程
2、解的估算：当某一 x 的取值使得这个方程中的 的值无限接近 0 时，xcx2的值即可看做一元二次方程 的解。02cba4、直接开平方法解一元二次方程：直接开平方法解一元二次方程 x2=a（a0）是利用了平方根的意义；由教科书中几个用直接开平方法的例子，归纳总结能直接开平方法的一元二次方程类型（mxn） 2=p（p0）；关于 x 的一元二次方程 x22mxm 2=P，当 P0 时，原方程有实数根，当 P0 时，原方程无实根5、数学思想方法：本节课我们应用了一个重要的数学思想方法，就是转化的思想方法，我们通过直接开方法，完成了一元二次方程的“降次”，使得一个一元二次方程化为两个一元一次方程，从而实
3、现解一元二次方程的目的6、配方法：只要能将一元二次方程化成（mxn） 2=p（p0）的形式，就可以用直接开平方法解方程这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法.配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解7、配方法解方程的步骤：对于一个二次项系数为 1 的一元二次方程，用配方法解的一般步骤是：把常数项移到方程的右边；.配方：方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为（xn） 2=p（P 为常数）形式；求解：当方程右边的常数大于或等于 0 时，原方程可化为 ，进而得出一元二次方程的解如果一个一元二次方程 ax2bxc=0（a0）的二次项系数 a1 时，在
4、配方时应首先将方程两边各项除以二次项系数，将方程化为二次项系数为 1 的一元二次方程二、典型例题1.一个方程只有同时满足以下三个条件：（1）是整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2。针对性例题 1 下列方程是一元二次方程的是有 （1）， （2） ， （3） ， （4）（5） ，（6） （7）变式训练 1. 下列哪些方程式是一元二次方程式的是 .（1） （2）1524x321xx（3） （4）0x2（5） （6）y03x2. 一个直角三角形，其两直角边与斜边分别是 、 、 ，列出关于 的42xx一元二次方程为 .1. 一元二次方程的一般形式为 axbca22.任何一个一元二
5、次方程都可化为： 的形式， 叫做二次项， 叫做0()2axa二次项的系数； 叫做一次项， 叫做一次项的系数； 叫做常数项bx c（1）任何一个一元二次方程都可化为： 其特征是：等式左边是一个2()axb关于未知数的二次多项式，等式右边是零在这个一般形式中，一定要记住，二次项的系数，否则，如果 ，且 ，那么方程就变为一元一次方程了所以说 是一0a0a 0a元二次方程一般形式的组成部分，不可随便漏掉这一条件。针对性例题 2把 方 程 化 成 一 元 二 次 方 程 的 一 般 形 式 ,并 写 出 它 的 二 次 项 系 数 、 一 次 项231x.系 数 和 常 数 项 变式训练 3. 一元二次
6、方程 化为一般形式是： ；其二次项是： 1524x；一次项是： ；常数项是： .4. 把方程 化为一般形式为： ；其二次项系数是 ；一次项系数12y是 ；常数项是 .针对性例题 3. 已知 x=3 是关于 x 的方程 的一个解，则 2a 的值是（ ）01234aA.11 B.12 C.13 D.14变式训练 5. 已知 是方程 的一个根，则 a=_1x260xa6. 如果 2 是一元二次方程 x2bx20 的一个根，那么常数 b 的值为 综合技能题例题 1若(m-3)x n-2-3nx+3=0 是关于 x 的一元二次方程，则（ ）.A m0，n=3 B m3，n=4 C m0，n=4 D m3
7、，n0【分析】：本题考查一元二次方程的概念，形如 ，这样的方程才是一axbca20元二次方程.【解】：(m-3)x n-2-3nx+3=0 是关于 x 的一元二次方程m-30，n-2=2即 m3，n=4，故选择 B.例题 2已知：关于 x 的方程 .0212xkk（1）当 k 取何值时，此方程为一元一次方程.（2）当 k 取何值时，此方程为一元二次方程.【分析】：（1）若此方程是一元一次方程，则 =0 且 012k（2）若此方程为一元二次方程，则 0.2【解】：（1）根据题意得： =0， 0，解得 k=1，1k所以当 k=1 时，此方程为一元一次方程.（2）根据题意得： 0，解得 k ，2所以
8、当 k 时，此方程为一元二次方程.1实践应用题例题 4 某城市 2007 年年底已有绿化面积 300 公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到 2009 年.年底增加到 363 公顷，设绿化的面积平均每年增长率为 x，所列方程正确的是（ ）A 300(1+x)=363 B 300(1+x)2 =363 C 300(1+2x)=363 D 363(1-x)2=300【分析】：这是一个平均增长率问题，解决问题时要看清经过几次增长.【解】：由题意得 2008 年的绿化面积为 300（1+x）,2009 年的绿化面积为 300（1+x）+300（1+x）x=363；即 300(1+x)2 =363.故
9、选择 B.例题 5 如图 2-1-1 在长为 10cm，宽为 8cm 的矩形的四个角上截去四个边长为 x 全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的 80，求所截去小正方形的边长。则可以列方程为 .【分析】：根据阴影部分的面积等于长方形的面积减去四个小正方形的面积可列出方程. 【解】：根据题意可得：108-4 =10880%2x即 80-4 =64.2x创新探究题例题 6 已知 ,则代数式 的值为_.75322932x【分析】：解决本题不需要把 x 的具体值求出来，而是利用其特点运用整体代入的思想和方法.【解】：由 得， =2；因为 = ，把 =22x2 2932x23x
10、x32代入 得，32-2=4，所以 =4.3293x中考风向标本节内容是一元二次方程的定义，是本章学习的基础，因本节知识在中考考试中常以选择填空的题型出现，特别是对一元二次方程定义和方程解的考察尤为重要.例题 1 （2009 年甘肃庆阳）若关于 x 的方程 210xk的一个根是 0，则 k 【分析】：本题重点考察方程解的概念，方程的解就是能使方程左右两边成立的未知数的值，所以把未知数的值代入方程求出相应的字母的值即可【解】：因为方程的一个根是 0，所以把 x=0 代入方程 210xk解得：k=1.例题 2 (2009 年本溪)由于甲型 H1N1 流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两
11、次大幅下降由原来每斤 16 元下调到每斤 9 元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为 ，则根据题意可列方程为 x【分析】：根据题意先确定出第一次降价后的价格，再根据这次的价格写出两次降价后的价格即可.【解】：根据题意第一次降价后的价格为：16（1-x） ，第二次降价后的价格为 16（1-x）-16（1-x）x=9，整理得：16 =9.21x例题 3（2009 青海）如图 2-1-2 所示，在一幅长为 80cm，宽为 50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是 5400cm2，设金色纸边的宽为 cm，x图 2-1-1.那么
12、 满足的方程是（ ）xA B2130426530xC D 【分析】：矩形风景画的面积加上四周花边的面积等于挂图的面积.【解】：根据题意得：8050+2（80+2x）x+250x=5400，整理得 ，故选26530x择 B.例： 1.填上适当的数,使下面各等式成立：(1)x2+3x+_=(x+_)2;(2)_-3x+ =(3x_)2;14(3)4x2+_+9=(2x_)2;(4)x2-px+_=(x-_)2;(5)x2+ x+_=(x+_)2.ba2.用配方法使下面等式成立：(1)x2-2x-3=(x-_)2-_;(2)x2+0.4x+0.5=(x+_)2+_;(3)3x2+2x-2=3(x+_
13、)2+_;(4) x2+ x-2= (x+_)2+_.313.方程 x2-6x-5=0 左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( )A.(x-6)2=41 B.(x-3)2=4; C.(x-3)2=14 D.(x-6)2=364.方程 3x2+ x-6=0 左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( )A. ; B. ;1768x 237618xC. ; D. 235 2二、解答题：5.用配方法解下列方程:21 世纪教育网(1)x2+4x-3=0; (2)x2+3x-2=0;21 世纪教育网来源:21 世纪教育图 2-1-2.8.在ABC 中,三边 a、b、c 满足:a+b+c= ,a2+b2+
14、c2= ,试判断ABC 的形状.339、已知 a 是方程 x22008x1=0 的一个根，试求 的值10、一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了 66 次手，这次会议到会的人数是多少？三、课后练习一、填空题1一元二次方程 化为一般形式为： ，二次项系数为： 12)3(1xx_，一次项系数为： _，常数项为： _.2一元二次方程 的二次项系数、一次项系数及常数项之和_.0423关于 x 的方程 ,当 _时为一元一次方程；当 023)1()(2mxm m_时为一元二次方程.4关于 的一元二次方程 的一个根是 3，则 .)(2_m.5.关于 的方程 是一元二次方程，则 .x
15、03)(12xmm二、选择题6.下列方程中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ）.A. B. C. D.123x 02102cbxa12x7下列方程中，不含一次项的是（ ）.A.3x2 5=2x B.16x=9x2 C.x(x 7)=0 D. (x+5)(x-5)=08把方程 化成一般式，则 、 、 的值分别是（ ）.)(5)(xxabcA. B. C. D.10,310,71,52,39关于 的方程 是一元二次方程的条件是（ ）.x0)2(xaA . B. C. 且 D. 或 aa1a210下列说法正确的是（ ）.A.方程 是关于 的一元二次方程 02cbxxB.方程 的常数项是 43C.若
16、一元二次方程的常数项为 0，则 0 必是它的一个根 D.当一次项系数为 0 时，一元二次方程总有非零解11下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（ ） A.若 x2=4，则 x2B.方程 x(2x1)2 x1 的解为 x1C.若 x2+2x+k=0 的一个根为 1，则 3kD.若分式 的值为零，则 x1，23 12若（b - 1） 2+a2 = 0 下列方程中是一元二次方程的只有（ ） A.ax2+5x b=0 B. (b2 1)x2+(a+4)x+ab=0 C. (a+1)x b=0 D. (a+1)x2 bx+a=0三、解答题13已知 ,是关于 的二次方程, 试求 的值053
17、)3(6522xmmxm14.(1) x2- x+ =0; (2)x2+ -4=0.318x.15.用配方法求证:(1)8x2-12x+5 的值恒大于零; (2)2y-2y 2-1 的值恒小于零.16.在高尔夫球比赛中,某运动员打出的球在空中飞行高度 h(m) 与打出后飞行的时间 t(s)之间的关系是 h=7t-t2.(1)经过多少秒钟,球飞出的高度为 10m; (2)经过多少秒钟,球又落到地面.21 世纪教育17、用配方法证明：无论 x 取何实数，代数式 2x28x18 的值不小于 10四、课后反馈表1、本次课学生总体满意度打分（满分 100 分）_ _ 。2、学生对课程内容的满意度（ ）A.非常满意 B.比较满意 C.一般 D.比较不满意 E.非常不满意3、学生对授课教师的满意度（ ）A.非常满意 B.比较满意 C.一般 D.比较不满意 E.非常不满意4、学生对授课场地的满意度（ ）A.非常满意 B.比较满意 C.一般 D.比较不满意 E.非常不满意5、学生对授课教师的上课的总体精神状态（ ）A.非常满意 B.比较满意 C.一般 D.比较不满意 E.非常不满意6、您对本课程的意见和建议：_ _ _ ._ _ 。家长（学生）签字：201 年 月 日
