1、1初二数学动点问题归类复习（含例题、练习及答案）所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想本文将初一至二学习过的有关知识，结合动点问题进行归类复习，希望对同学们能有所帮助。一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题例 1：（2013 年上海市虹口区中考模拟第 25 题）如图 1，在 RtABC 中，A 90，AB6，AC 8，点 D 为边 BC 的中点，DE BC 交边 AC 于点 E，点 P 为射线 AB 上的一动点，
2、点 Q 为边 AC 上的一动点，且PDQ 90 （1）求 ED、EC 的长；（2）若 BP2，求 CQ 的长；（3）记线段 PQ 与线段 DE 的交点为 F，若PDF 为等腰三角形，求 BP 的长图 1 备用图思路点拨1第（2）题 BP2 分两种情况2解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系3第（3）题探求等腰三角形 PDF 时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形 CDQ解答：（1）在 RtABC 中， AB6，AC 8，所以 BC10在 Rt CDE 中， CD5，所以 ， 315tan4EDC24EC（2）如图 2，过点 D 作 DMAB，DNAC ，
3、垂足分别为 M、N ，那么 DM、DN 是ABC 的两条中位线，DM4，DN3由PDQ 90 ，MDN90，可得PDMQDN因此PDMQDN 所以 所以 ， 3PMQN34QNP43Q图 2 图 3 图 4如图 3，当 BP2，P 在 BM 上时，PM1此时 所以 4QNM194CQN如图 4，当 BP2，P 在 MB 的延长线上时，PM5此时 所以 3154QNPM1534CQN（3）如图 5，如图 2，在 RtPDQ 中， tan4QDNPM在 Rt ABC 中， 所以QPDC3tan4BA由PDQ 90 ，CDE90 ，可得PDFCDQ因此PDFCDQ当PDF 是等腰三角形时，CDQ 也
4、是等腰三角形如图 5，当 CQCD5 时，QNCQCN541（如图 3 所示） 此时 所以 43PMQN53BPM如图 6，当 QCQD 时，由 ，可得 cosCHQ428所以 QNCNCQ （如图 2 所示） 25748此时 所以 36PMQN72536BPM不存在 DPDF 的情况这是因为DFPDQPDPQ（如图 5，图 6 所示） 图 5 图 6考点伸展：如图 6，当CDQ 是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到BDP 也是等腰三角形，PBPD 在BDP 中可以直接求解 256BP二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题例 2：（2008 年河南省中考第 23 题）如图 1，直线
5、 和 x 轴、y 轴的交点分别为 B、C，点 A 的43y坐标是（-2，0）（1）试说明ABC 是等腰三角形；（2）动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动，同时动点 N 从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动，运动的速度均为每秒 1 个单位长度当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动设 M 运动 t 秒时，MON 的面积为 S 求 S 与 t 的函数关系式； 设点 M 在线段 OB 上运动时，是否存在 S4 的情形？若存在，求出对应的 t 值；若不存在请说明理由；在运动过程中，当MON 为直角三角形时，求 t 的值2图 1思路点拨：1第（1）题说明ABC 是等腰三角形，暗示了两个动
6、点 M、N 同时出发，同时到达终点2不论 M 在 AO 上还是在 OB 上，用含有 t 的式子表示 OM 边上的高都是相同的，用含有 t 的式子表示 OM 要分类讨论3将 S4 代入对应的函数解析式，解关于 t 的方程4分类讨论MON 为直角三角形， 不存在ONM 90 的可能解答：（1）直线 与 x 轴的交点为 B（3，0）、与 y 轴的交点 C（0，4）43yRtBOC 中， OB3，OC4，所以 BC5点 A 的坐标是（ -2，0），所以 BA5因此 BCBA，所以 ABC 是等腰三角形 （2）如图 2，图 3，过点 N 作 NHAB，垂足为 H在 Rt BNH 中， BNt， ，所以
7、sin4t如图 2，当 M 在 AO 上时，OM2t，此时定义域为 0t22114()5SOHt如图 3，当 M 在 OB 上时，OMt2，此时定义域为 2t52()2Ntt图 2 图 3把 S4 代入 ，得 45t45t解得 ， （舍去负值） 12t21因此，当点 M 在线段 OB 上运动时，存在 S4 的情形，此时 21t如图 4，当OMN90时，在 RtBNM 中，BN t ，BM ， ，53cos5B所以 解得 53t258t如图 5，当OMN90时， N 与 C 重合， 5t不存在ONM90的可能所以，当 或者 时，MON 为直角三角形t5t图 4 图 5考点伸展：在本题情景下，如果
8、MON 的边与 AC 平行，求 t 的值如图 6，当 ON/AC 时，t3；如图7，当 MN/AC 时，t2.5图 6 图 7三、平行四边形问题：因动点产生的平行四边形问题例 3：（2010 年山西省中考第 26 题）在直角梯形 OABC 中，CB/OA ，COA90，CB3，OA6，BA 分别以 OA、OC 边所在直线为 x 轴、y 轴建立如图 1 所示的平面直角坐标35系（1）求点 B 的坐标；（2）已知 D、E 分别为线段 OC、OB 上的点，OD5，OE2EB，直线 DE 交 x 轴于点 F求直线DE 的解析式；（3）点 M 是（2）中直线 DE 上的一个动点，在 x 轴上方的平面内是
9、否存在另一点 N，使以O、D、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由图 1 图 2思路点拨：1第（1）题和第（2）题蕴含了 OB 与 DF 垂直的结论，为第（ 3）题讨论菱形提供了计算基础32讨论菱形要进行两次（两级）分类，先按照 DO 为边和对角线分类，再进行二级分类， DO与 DM、 DO 与 DN 为邻边解答：(1)如图 2，作 BHx 轴，垂足为 H，那么四边形 BCOH 为矩形，OHCB3在 Rt ABH 中，AH3，BA ，所以 BH6因此点 B 的坐标为(3,6)35(2) 因为 OE 2EB，所以 ， ，E(2,4) 2EBx243E
10、y设直线 DE 的解析式为 ykxb，代入 D(0,5)，E(2,4)，得 解得 ， 所以5,.bk12k5b直线 DE 的解析式为 152x(3) 由 ，知直线 DE 与 x 轴交于点 F(10,0)，OF 10，DF y 5如图 3，当 DO 为菱形的对角线时，MN 与 DO 互相垂直平分，点 M 是 DF 的中点此时点 M 的坐标为(5, )，点 N 的坐标为(5, )5252如图 4，当 DO、DN 为菱形的邻边时，点 N 与点 O 关于点 E 对称，此时点 N 的坐标为(4,8) 如图 5，当 DO、DM 为菱形的邻边时，NO5，延长 MN 交 x 轴于 P由NPODOF，得 ，即
11、解得 ， 此PDOF510P525O时点 N 的坐标为 (25,)图 3 图 4 考点伸展如果第（3）题没有限定点 N 在 x 轴上方的平面内，那么菱形还有如图 6 的情形图 5 图 6四、相似三角形：因动点产生的相似三角形问题例 4：（2013 年苏州中考 28 题）如图，点 O 为矩形 ABCD 的对称中心，AB=10cm ，BC =12cm，点E、F、G 分别从 A、B、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点 E 的运动速度为 1cm/s，点 F 的运动速度为 3cm/s，点 G 的运动速度为 1.5cm/s，当点 F 到达点 C（即点 F 与点 C 重合）时，三个点随之停
12、止运动在运动过程中，EBF 关于直线 EF 的对称图形是 EBF设点 E、F、G 运动的时间为t（单位：s） （1）当 t= s 时，四边形 EBFB为正方形；（2）若以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F，C ，G 为顶点的三角形相似，求 t 的值；（3）是否存在实数 t，使得点 B与点 O 重合？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由思路点拨：（1）利用正方形的性质，得到 BE=BF，列一元一次方程求解即可；（2）EBF 与 FCG 相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算；（3）本问为存在型问题假设存在，则可以分别求出在不同条件下的 t 值，它们互相矛盾，所以不存在解答：（
13、1）若四边形 EBFB为正方形，则 BE=BF，即：10t =3t，解得 t=2.5；（2）分两种情况，讨论如下：若 EBFFCG，则有 ，即 ，解得：t=2.8；若EBF GCF，则有 ，即 ，解得：t= 142 （不合题意，舍去）或 t=14+2当 t=2.8s 或 t=（ 14+2 ）s 时，以点 E、B 、F 为顶点的三角形与以点 F，C，G 为顶点的三角形相似（3）假设存在实数 t，使得点 B与点 O 重合如图，过点 O 作 OMBC 于点 M，则在 RtOFM 中，OF=BF=3t，FM= BCBF=63t，OM =5，由勾股定理得：OM 2+FM2=OF2，即：5 2+（63t）
14、 2=（3t） 2 解得：t= ；过点 O 作 ONAB 于点 N，则在 RtOEN 中，OE=BE=10t ，EN=BEBN =10t5=5t，ON=6，4由勾股定理得：ON 2+EN2=OE2，即：6 2+（5 t） 2=（10t ） 2 解得：t=3.9 3.9，不存在实数 t，使得点 B与点 O 重合考点伸展：本题为运动型综合题，考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点题目并不复杂，但需要仔细分析题意，认真作答第（2）问中，需要分类讨论，避免漏解；第（3）问是存在型问题，可以先假设存在，然后通过推导出互相矛盾的结论，从而判定不存在拓展练习：1、如图 1，梯
15、形 ABCD 中，AD BC，B=90，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点 P 从 A 开始沿 AD 边以 1cm/秒的速度移动，点 Q 从 C 开始沿 CB 向点 B 以 2 cm/秒的速度移动，如果 P，Q 分别从 A，C 同时出发，设移动时间为 t 秒。当 t= 时，四边形是平行四边形； 当 t= 时，四边形是等腰梯形. （1 题图） 备用图2、如图 2，正方形 ABCD 的边长为 4，点 M 在边 DC 上，且 DM=1，N 为对角线 AC 上任意一点，则DN+MN 的最小值为 。（2 题图） （3 题图）3、如图，在 RtABC 中， 906B， ， 2C点 O是 A
16、的中点，过点 O的直线l从与 重合的位置开始，绕点 O作逆时针旋转，交 A边于点 D过点 作 CEB 交直线 l于点E，设直线 l的旋转角为 （1）当 度时，四边形 ED是等腰梯形，此时 的长为 ；当 度时，四边形 是直角梯形，此时 的长为 ；（2）当 90时，判断四边形 是否为菱形，并说明理由4、在ABC 中，ACB=90 ，AC=BC，直线 MN 经过点 C，且 ADMN 于 D，BEMN 于 E.(1)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证： ADCCEB；DE=ADBE ；(2)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时，求证：DE=AD-BE；(3)当直线 MN 绕
17、点 C 旋转到图 3 的位置时，试问 DE、AD、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.5、数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点 90AEF，且 EF 交正方形外角 DG的平行线 CF 于点 F，求证： AE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接 ME，则 AM=EC，易证AMECF ，所以 AE在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上（除 B， C 外）的任意一点” ，其它条件不变，那么结论“ AE
18、=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由6、如图, 射线 MB 上,MB=9,A 是射线 MB 外一点,AB=5 且 A 到射线 MB 的距离为 3,动点 P 从 M 沿射线MB 方向以 1 个单位/ 秒的速度移动，设 P 的运动时间为 t. 求（1） PAB 为等腰三角形的 t 值；（2） PAB 为直角三角形的 t 值；（3） 若 AB=5 且ABM=
19、45 ，其他条件不变，直接写出 PAB 为直角三角形的 t 值。7、如图 1，在等腰梯形 ABCD中， B ， E是 A的中点，过点 E作 FBC 交 D于点 F46AB， 0 .求：（1）求点 到 C的距离；（2）点 P为线段 EF上的一个动点，过 P作 MF交 于点 ，过 M作 NA 交折线DC于点 N，连结 ，设 x.当点 N在线段 D上时（如图 2） ， P 的形状是否发生改变？若不变，求出 M 的周长；若改变，请说明理由；当点 在线段 C上时（如图 3） ，是否存在点，使 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 x的值；若不存在，请说明理由CBAED图 1NMA BCDEMN图
20、2ACBEDNM图 358、如图，已知 ABC 中， 10厘米， 8BC厘米，点 D为 AB的中点(1）如果点 P 在线段 BC 上以 3cm/s 的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， P 与 是否全等，请说明理由；若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使 PD 与CP全等？（2）若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿AB三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 AC 的哪条
21、边上相遇？（8 题图） （9 题图）9、如图所示，在菱形 ABCD 中，AB=4，BAD=120，AEF 为正三角形，点 E、F 分别在菱形的边BCCD 上滑动，且 E、F 不与 BCD 重合（1）证明不论 E、F 在 BCCD 上如何滑动，总有 BE=CF；（2）当点 E、F 在 BCCD 上滑动时，分别探讨四边形 AECF 和CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值10、如图，在AOB 中，AOB=90，OA=OB=6，C 为 OB 上一点，射线 CDOB 交 AB 于点D，OC=2点 P 从点 A 出发以每秒 个单位长度的速度沿 AB 方向运动，
22、点 Q 从点 C 出发以每秒 2 个单位长度的速度沿 CD 方向运动，P、Q 两点同时出发，当点 P 到达到点 B 时停止运动，点 Q 也随之停止过点 P 作 PEOA 于点 E，PFOB 于点 F，得到矩形 PEOF以点 Q 为直角顶点向下作等腰直角三角形 QMN，斜边 MNOB，且 MN=QC设运动时间为 t（单位：秒） （1）求 t=1 时 FC 的长度（2）求 MN=PF 时 t 的值（3）当QMN 和矩形 PEOF 有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形面积 S 与 t 的函数关系式（4）直接写出QMN 的边与矩形 PEOF 的边有三个公共点时 t 的值A DEBFC图 4（备用）A
23、DEBFC图 5（备用）A DEBFC图 1 图 2A DEBFCPNM图 3A DEBFCPNM（第 25 题）6参考答案：1、解：（1）要使四边形 PQCD 为平行四边形，则 PD=CQ，AD=18cm，即 18-t=2t，解得：t=6 ；（2）设经过 ts，四边形 PQCD 是等腰梯形过 Q 点作 QEAD，过 D 点作 DFBC，四边形 PQCD 是等腰梯形，PQ=DC又ADBC，B=90 ，AB=EQ=DFEQPFDCFC=EP=BC-AD=21-18=3又AE=BQ=21-2t，EP=t-AE，EP=AP-AE=t- （21-2t）=3得：t=8经过 8s，四边形 PQCD 是等腰
24、梯形2、5；3、解：（1）30，1；60，1.5；（2）当=90 0 时，四边形 EDBC 是菱形.=ACB=90 0，BC/ED. CE /AB, 四边形 EDBC 是平行四边形在 Rt ABC 中，ACB=90 0，B=60 0,BC=2, A=30 0.AB=4,AC=2 3. AO=12AC= 3 .在 RtAOD 中，A=30 0，AD=2.BD=2. BD=BC. 又四边形 EDBC 是平行四边形，四边形 EDBC 是菱形 4、解：（1） ACD=ACB=90 CAD+ACD=90 BCE+ ACD=90 CAD=BCE AC=BC ADCCEB ADCCEB CE=AD，CD=B
25、E DE=CE+CD=AD+BE (2) ADC=CEB= ACB=90 ACD=CBE 又AC=BC ACDCBE CE=AD，CD=BE DE=CE-CD=AD-BE(3) 当 MN 旋转到图 3 的位置时，DE=BE-AD(或 AD=BE-DE，BE=AD+DE 等) ADC=CEB=ACB=90 ACD= CBE， 又AC=BC ， ACDCBE， AD=CE，CD=BE， DE=CD-CE=BE-AD. 5、解：（1）正确证明：在 AB上取一点 M，使 AEC，连接 M BE 45BM，35E F是外角平分线， 45DF， 13CF AECF90， 90B， A C （ASA） （2
26、）正确 证明：在 的延长线上取一点 N使 ，连接 N 45NP四边形 ABD是正方形， AE BE AEFNEF （ASA） F6、解：解：（1）作 AEBM 于 E。则 AE=3，AB=5，BE=（AB-AE）=4 MP=t, BP=9-t若AP=AB,9-t=24t=1若 PA=PB，BP/(1/2AB)=AB/BP（9-t)=1/2*5*5 t=9-5/2(9+5/2 舍去）若 BA=BP，|9-t|=5t=4 、14综上，t=1、 4、9-5/2、14（2）若APB=90 9-t=4t=5若PAB=90 BP/BA=BA/BE(9-t)/5=5/4t=11/4综上，t=5、 11/4。
27、7、解：（1）如图 1，过点 E作 GBC于点 E为 AB的中点， 12EAB在 RtEBG 中， 60 ， 30 2132G， 即点 到 C的距离为 3 （2）当点 N在线段 AD上运动时， PMN 的形状不发生改变 PMF， ， E EB ， PG， 3 同理 4AB 如图 2，过点 作 H于 ， ， 600NC ， 132PH 3cos2MPA则 54NM在 RtH 中，222537 PN 的周长 = 74P 当点 在线段 DC上运动时， N 的形状发生改变，但 MNC 恒为等边三角形当 M时，如图 3，作 RM于 ，则 R类似， 2R 23 是等边三角形， 3此时， 612xEPGBC
28、 当 MPN时，如图 4，这时 3MCNP 此时， 6135xEPGM当 时，如图 5， 0 则 120N ， 又 0C ， 180 因此点 与 F重合， C 为直角三角形 tan3CA 此时， 64xEG图 1A DEBFCG图 2A DEBFCPNMGH7综上所述，当 2x或 4 或 53时， PMN 为等腰三角形 8、解：解：（1） 1t秒， 31BCQ厘米， 0AB厘米，点 D为 A的中点， 5D厘米又 8PC， 厘米， 8厘米， PCBD又 ， ， P PQv， BCQ， 又 BQ ， ，则45BCD，点 P，点 运动的时间43Pt秒， 5143QCvt厘米/秒。（2）设经过 x秒后
29、点 与点 第一次相遇， 由题意，得2104x，解得803x秒点 P共运动了803厘米 802，点 P、点 Q在 AB边上相遇，经过 秒点 与点 Q第一次在边 AB上相遇9、解：（1）证明：如图，连接 AC， 四边形 ABCD 为菱形，BAD=120，BAE+EAC=60，FAC+EAC=60，BAE=FAC 。BAD =120， ABF=60。ABC 和ACD 为等边三角形。ACF=60 ， AC=AB。ABE=AFC 。在ABE 和ACF 中，BAE =FAC ，AB =AC， ABE= AFC，ABEACF（ASA） 。BE=CF。（2）四边形 AECF 的面积不变，CEF 的面积发生变化
30、。理由如下：由（1）得ABEACF ，则 SABE=SACF 。S 四边形 AECF=SAEC +SACF =SAEC +SABE =SABC ，是定值。作 AHBC 于 H 点，则BH=2， 。由“垂线段最短” 可知：当正三角形2AECFBAHBCH432四边AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短故AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化，且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小，又 SCEF =S 四边形 AECFS AEF ，则此时CEF 的面积就会最大S CEF =S 四边形 AECFS AEF。CEF 的面积的最大值是 。21432333【考点】菱形的性质，等
31、边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。【分析】（1）先求证 AB=AC，进而求证ABC、ACD 为等边三角形，得ACF =60，AC =AB，从而求证ABE ACF，即可求得 BE=CF。（2）由ABEACF 可得 SABE =SACF ，故根据 S 四边形 AECF=SAEC +SACF =SAEC +SAB E=SABC即可得四边形 AECF 的面积是定值。当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化，且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小，根据 SCEF =S 四边形 AECFS A
32、EF，则CEF 的面积就会最大。10、考点： 相似形综合题709388 分析： （1）根据等腰直角三角形，可得 ，OF=EP=t，再将 t=1 代入求出 FC 的长度；（2）根据 MN=PF，可得关于 t 的方程 6t=2t，解方程即可求解；（3）分三种情况：求出当 1t2 时；当 2t 时；当 t3 时；求出重叠（阴影）部分图形面积S 与 t 的函数关系式；（4）分 M 在 OE 上；N 在 PF 上两种情况讨论求得 QMN 的边与矩形 PEOF 的边有三个公共点时t 的值解答： 解：（1）根据题意，AOB、AEP 都是等腰直角三角形 ，OF=EP=t，当 t=1 时，FC=1；（2）AP= t，AE=t，PF=OE=6 tMN=QC=2t6t=2t解得 t=2故当 t=2 时，MN=PF；（3）当 1t2 时，S=2t 24t+2；当 2t 时， S= t2+30t32；AQCDB P8当 t3 时， S=2t2+6t；（4）QMN 的边与矩形 PEOF 的边有三个公共点时 t=2 或 点评： 考查了相似形综合题，涉及的知识有等腰直角三角形的性质，图形的面积计算，函数思想，方程思想，分类思想的运用，有一定的难度
