1、类似于数列极限，如果在自变量的某个变化过程中，对应的函数值可以无限接近于某个确定的常数，那么这个确定的常数就叫做函数在该变化过程中的极限。,对于数列极限,故,很自然地,函数的极限,相似地,语言表述当 时有则,自变量趋于有限值时函数的极限,1） 表示 时 有无极限 与有无定义没有关系.,2） 任意给定后，才能找到 ， 依赖于 ，且越小， 越小.,3） 不唯一，也不必找最大的，只要存在即可.,注,函数极限的几何解释,如果函数f(x)当xx0时极限为A,以任意给定一正数,作两条平行于x轴的直线y=A+和y=A-,存在点x0的邻域(x0-, x0+),当x在邻域(x0-, x0+)内,但xx0时,曲线
2、y=f(x)上的点(x,f(x)都落在两条平行线之间。,要使,只要取,当 时,就有,证,要使,成立,证,取,当 时,成立,可任取一,当 时,要使,左极限 left-hand limit,右极限 right-hand limit,x 仅从 x0 的左侧趋于x0 ，,记作,或,x 仅从 x0 的右侧趋于x0 ，,记作,或,左极限与右极限,考虑符号函数,现在考虑 x 从左右两个方向趋于0时 f (x) 的极限,右极限,左极限,从右边趋于0,从左边趋于0,左右极限不相等,证明函数极限不存在的方法是:(1)证明左极限与右极限至少有一个不存在(2)或证明左极限和右极限均存在, 但不相等,例 题,自变量趋于
3、无穷大时函数的极限,设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义.如果存在常数A, 对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数X，使得当x满足不等式|x|X时，对应的函数值f(x)都满足不等式 |f(x)A|, 那么常数A就叫做函数f(x)当x时的极限,即,的方式有两种可能：（ 且无限增大）,（ 且无限增大）,注,且,若 或 不存在,则 不存在.,若 , 则 不存在.,几何意义,如果函数f(x)当x时极限为A，以任意给定一正数,作两条平行于x轴的直线y=A-和y=A+,则总存在一个正数X，使得当xX时，函数y=f(x)的图形位于这两条直线之间.,观察 y = arctan x 的图像,从图像
4、容易看出结果,所以,考虑函数 f (x) = ax , 分 a1, 0a1两种情形下，分别求 x +, x ， x 时 f (x)的极限。,函数极限的性质,唯一性 函数f(x)当xx0时极限存在，则极限必唯一.,局部有界性,局部保号性,设,推论: 如果 ，且当 时， 则 ，即,如果函数 f (x) 在某个极限过程中的极限为零， 那么就称 f (x)是此极限过程的无穷小（量）,无穷小举例,无穷小是以零为极限的变量（函数），不是绝对值很小的固定数。但0可以作为无穷小的唯一一个常数.,都是无穷小量,是无穷小量,是无穷小量,与,与,无 穷 小,不能说函数 f(x)是无穷小,应该说在什么情况下的无穷小.
5、即无 穷小与自变量的变化过程有关.如 时 是无穷小， 但 时，则 不是无穷小。,无穷小的性质,定理1,极限与无穷小的关系,即,其中,两个无穷小的和或差，仍是无穷小。 有限个无穷小的代数和仍是无穷小。 有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小。有限个无穷小的乘积仍是无穷小。 常数与无穷小的乘积是无穷小。,例如 ，因为,所以,同理,如果函数 f (x) 在某个极限过程中，对应的函数值的绝对值可以无限增大， 那么就称 f (x)是此极限过程的无穷大（量）。,只有一种趋势,包括两种趋势,如,无 穷 大,观察函数 y=1/x 的图像,再考察函数 y = ln x,注意：无穷大不是很大的数，而是表示函数的绝对值可
6、以无限增大，反映函数值的一种变化趋势。,无穷小和无穷大的关系,在同一极限过程中，无穷小与无穷大之间是通过取倒数互相转化。,无穷小和无穷大的运算法则,以下A 表示有极限的函数，K 表示有界函数，C 代表常数,结果不定，称为未定式,极限的四则运算法则,注： 设有数列 和 .如果则1)2)3)当 且 时,例 求,解 这里分母的极限不为零,故,小结:,例 求,解,例 求,解,例 求,解,例 求,解,例 求,解,例 求,解,因式分解 消除零因子,有理化 消除零因子,消除零因子,例 求,解,思考,由题设知，分子必须是 x 的零次多项式,解答,由 x0 得 3x0即 u0,重要极限的应用举例,重要极限,(6),例,重要极限的应用举例,公式特点：,定义,无穷小的比较,例,比较下列两个无穷小,低阶,高阶,同阶,练一练,无穷小的阶揭示了无穷小趋向于零的速度快慢程度：高阶的较快，低阶的较慢；同阶的相当；等价的同步。,求两个无穷小之比的极限时，分子分 母都 可用等价无穷小来替换。适当替换可以简化 极限的计算。,等价无穷小替换定理,证明,常用等价无穷小,练一练,例题 求极限,解 原式,
