1、微积分一第二章 极限与连续1 第二章 极限与连续一、判断题1. 若 )(lim)(lim00xfxfxxxx，则 )(xf 必在 0x 点连续； （ ）2. 当 0x 时， 2 sinx x 与 x 相比是高阶无穷小； （ ）3. 设 )(xf 在点 0x 处连续，则 )(lim)(lim00xfxfxxxx； （ ）4. 函数2 1sin , 0( )0 , 0x xf x xx在 0x 点连续； （ ）5. 1x 是函数 122xxy 的间断点； （ ）6. ( ) sinf x x 是一个无穷小量； （ ）7. 当 0x 时， x 与 )1ln( 2x 是等价的无穷小量； （ ）8. 若
2、 )(lim0xfxx 存在，则 )(xf 在 0x 处有定义； （ ）9. 若 x与 y 是同一过程下两个无穷大量，则 x y 在该过程下是无穷小量； （ ）10. 21sinlim0 xx xx ； （ ）11. 0 1lim sin 1x x x ； （ ）12. 22lim(1 ) xx ex ； （ ）13. 1 1, 0, , 0, , 0,4 81数列 收敛2 ； （ ）14. 当 0x 时， 1 1x x x ； （ ）15. 函数 1( ) cosf x x x ，当 x 时为无穷大； （ ）16. sinlim 1x xx ； （ ）17. 无穷大量与无穷小量的乘积是无穷小
3、量； （ ）18. ln(1 )x x ； （ ）19. 1lim sin 1x x x ； （ ）20. 0 tanlim 1x xx . （ ）微积分一第二章 极限与连续2 二、单项选择题1、 45 127lim 224 xxxxx（ ） A 1 B 0 C D 312、hxhx 220h)(lim =( ) 。 A. 2x B. h C. 0 D. 不存在3、 2332lim22xxxxx（ ） A B32 C 0 D 1 4、2113lim2433nnnnn （ ） A B 43 C 0 D 1 5、 设 23 2, 0( )2, 0x xf xx x，则0lim ( )xf x (
4、)(A) 2 (B) 0 (C) 1 (D) 26、 )(lim,01 01)(02xfxxxexfxx则，设( ) (A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) 不存在7、 )(lim,01020)(02xfxxxxxxfx则，设 ( ) (A) 2 (B) 0 (C) 1 (D) 不存在8、 )(lim,11)(1xfxxxfx则设 （ ） A 0 B 1 C 1 D不存在9、 1lim cosx x x （ ） A. 0 B. 1 C. D. 不存在10、 1lim sinx x x （ ） A.0 B. 1 C. D. 不存在11、下列极限正确的是 ( )A. 11sinlimxxx B
5、. 11sinlim0 xxx； C. 1sinlim x xx； D. 12sinlim0 xxx ；12、 xmxxsinlim0 (m 为常数 ) 等于 ( ) A.0 B. 1 C. m1 D. m 13、 nnnx2sin2lim 等于 ( ) A.0 B. 1 C. x1 D. x14、 )2( 2sinlim0 xxxx（ ） A.1 B.0 C. D.x微积分一第二章 极限与连续3 15、 2xtan3xlim0x （ ） A. B. 23 C.0 D.1 16、xx x)21(lim （ ） A. e-2 B. e-1 C. e2 D.e 17、已知函数22,( ) 1,1
6、,f x xx11 00 1xxx，则 1lim ( )x f x 和 0lim ( )x f x ( ) (A) 都存在 (B) 都不存在(C) 第一个存在，第二个不存在 (D) 第一个不存在，第二个存在18、当 n 时， 1sinn n 是 ( ) (A) 无穷小量 (B) 无穷大量 (C) 无界变量 (D) 有界变量19、 1x 时，下列变量中为无穷大量的是 ( ) (A) 113 x (B) 112xx (C) x1 (D) 112xx20、 函数 ( ) 12xf x 11xx 的连续区间是 ( ) (A) ( ,1) (B) (1, ) (C) ( ,1) (1, ) (D) (
7、, )21、 的连续区间为，00001)(2xxxxxxf ( ) (A) ），（ (B) ），（），（ 00 (C) 0，（ (D) ），（ 022、函数 1, 0( )1, 0xf xx，在 0x 处 ( ) (A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续23、 ( )f x 在点 0x x 处有定义，是 ( )f x 在 0x x 处连续的 ( )(A) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件24、设 f(x)=0x,a0x,)x1( x1要使 f(x) 在 x=0 处连续，则 a=（ ）A.0 B.1 C. e1 D.e 微积分一第二章
8、 极限与连续4 25、设00sin)(xaxx xxf 在 x=0 处连续，则常数 a=（ ）A.0 B.1 C.2 D.3 26、设0011)(xkxx xxxf， ， 在 0x 点处连续，则 k 等于 ( )A. 0； B.1； C. 21 ； D. 2 ；27、设函数0024)(xkxxxxf， ， 在点 0x 处连续，则 k 等于 ( ) A. 0 B. 41 C. 21 D. 2 28、若函数 1 , 13 , 1x xyx x在 1x 处是（ ）A. 可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 无穷间断点 D. 非无穷型的第二类间断点29、 则下列说法中正确的是，设 ,0001)( 2xx
9、xexfx( ) (A) 个间断点有 1)( xf (B) 个间断点有 2)(xf(C) 个间断点有 3)( xf (D) 无间断点)( xf30、 的间断点个数是设 43 4)( 2 xx xxf ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题1、 0limh x h xh _ ； 2、711lim1xxx _ ；3、 125 3lim 22nnnn = _； 4、sinlimxxx _ ；5、 xxxxsinlim_ 6、 )sin()(lim xaaxax7、 xxx 3sinlim0 . 8、2lim(1 ) xx x _；微积分一第二章 极限与连续5 9、 ln)2ln(
10、lim xxxx _ 10、 0ln(1 3 )limsin 3xxx _ ；11、 ,1 4lim231存在x axxxx则 a _ ；12、当 0x 时， 1 cos x 是比 x _ 阶的无穷小量；13、当 0x 时， 若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a _ ；14、当 0x 时， 4 2x 与 9 3x 是 _（同阶、等价）无穷小量 . 15、函数 922xxy 在 _ 处间断；16、 11 设21, 0( )0, 0xe xf xx在 0x 处 _（是、否）连续；17、设sin 2 , 0( ), 0x xf x xa x连续，则 a _ ；18、设 , 0( )ln
11、(1 ), 0a x xf xx x在 0x 连续，则常数 a 。19、若函数2,2,242xaxxxy 在 2x 处连续，则 a 。20、设 f(x)= 010sinxexaxx 在 x=0 处连续，则常数 a=_. 三、解答题1、 (1) 11lim22 nnnn (2) 64lim222 xxxx(3) 11lim21 xxx (4) xxxx cos1sinlim0(5) 5 12lim 43xxxx (6) xxxx 1lim 2微积分一第二章 极限与连续6 (7) )1312(lim321 xxx (8) xx)x1 x1(lim2、 213 1lim1xx xx 3 、 2231
12、2lim4 xxx4、 212 1lim( )1 1x x x 5 、求 381 3lim2xxx6、求 21 1 1lim( )2 2 2nn 7、求极限 20cos 1lim2xxx8、 0sin(sin )limxxx 9 、 xxx 3tantanlim010、 20cos1limxxx 11、nn n)21(lim12、12 1lim( )2 1xxxx 13、xxx 10)41(lim14、 2)211(lim xx x 15、22lim(1 ) nn n微积分一第二章 极限与连续7 16、 lim( )1 xxxx 17、2 1002lim(1 ) xx x18、21lim( )
13、1xxxx19、2lim( )3xxxx20、123lim( )6xxxx 21 、 302010152312limxxxx22、 112525limnnnnn23、计算nnnnn 22212111lim24 设 )( xf 在点 2x 处连续，且2 3 2,2( ),x xxf xa 22xx，求 a25、1111)()0(3 xxxff 的值，使定义在 0x 处连续。微积分一第二章 极限与连续8 26、 试证下列方程在指定区间内至少有一实根 . （ 1） 0135 xx ，在区间（ 1， 2） ；（ 2） 2xex ，在区间（ 0， 2） . 27、设函数 xf 在区间 0， 2a上连续，且 aff 20证明：在 0， a上至少存在一点 ，使 aff . 28、 证明方程 23xx 至少有一个小于 1 的正根 . 29、 若 xf 与 xg 都在 a， b上连续， 且 bgbfagaf , ， 则至少存在一点 bac , ，使 cgcf .
