1、1第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性如：世界上最高的山（2）元素的互异性如：由 HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y（3）元素的无序性: 如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3.集合的表示： 如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋(1) 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N，正整数集 N*或 N+ ， 整数集 Z ，有理数集 Q ， 实数集 R。（1）列举法：a,b,c（2）描述
2、法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。xR| x-32 ,x| x-321） 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形2） Venn 图:4、集合的分类：有限集 ： 含有有限个元素的集合无限集 ： 含有无限个元素的集合空集 ： 不含任何元素的集合 例：x|x2=5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意： 有两种可能（ 1）A 是 B 的一部分，BA；（2）A 与 B 是同一集合。2反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A2 “相等”关系：A=B (55，且 55，则 5=5)实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1
3、,1 “元素相同则两集合相等”即： 任何一个集合是它本身的子集。AA真子集:如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合B 的真子集，记作 A B(或 B A)如果 A B, BC ,那么 AC 如果 AB 同时 B A 那么 A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 有 n 个元素的集合，含有 2n个子集，2 n-1个真子集三、集合的运算运算类型交 集 并 集 补 集定 义由所有属于 A且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B的交集记作A B（读作A 交 B） ，即 A B=x|xA，且由所有属于集合 A 或属于集合 B
4、 的元素所组成的集合，叫做 A,B 的并集记作：A B（读作A并 B） ，即 A B =x|x A，或 x设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集，由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作 ，即CSCSA= ,|Ax且 S A3x B B)韦恩图示A B图1A B图2SA性 质A A=A A =A B=B AA B AA B BA A=AA =AA B=B AA B A B B(CuA) (CuB)= Cu (A B)(CuA) (CuB)= Cu(A B)A (CuA)=UA (CuA)= 例题：1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ）A 某班
5、所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合a，b，c 的真子集共有 个 3.若集合 M=y|y=x2-2x+1,x R,N=x|x0，则 M 与 N 的关系是 .4.设集合 A= ，B= ，若 A B，则 的取值范围是 1xxaa5.50 名学生做物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有 40 人，化学实验做得正确得有 31人，两种实验都做错得有 4 人，则这两种实验都做对的有 人。46. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= .7.已知集合 A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-m
6、x+m2-19=0, 若 BC，AC=，求 m 的值一、函数的有关概念1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合B 的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域注意：1定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根
7、的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关） ；定义域一致 (两点必须同时具备)2值域 : 先考虑其定义域(1)观察法 (2)配方法(3)代换法3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点5P(
8、x， y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C 上每一点的坐标 (x， y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、 y 为坐标的点 (x， y)，均在 C 上 . (2) 画法1）描点法2）图象变换法常用变换方法有三种1) 平移变换2) 伸缩变换3) 对称变换4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示5映射一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应 f：A B 为
9、从集合 A到集合 B 的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象） B（象） ”对于映射 f： A B 来说，则应满足：(1)集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的；(2)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的(2)各部分的自变量的取值情况(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数如果 y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)6=F(x)(xA) 称为 f、g 的复合函数。二
10、函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）增函数设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x 2，当x11，且 *annN 负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作 。当 是奇数时， ，当 是偶数时，an)0(|an2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，)1,0(*nNmanm ,1*n 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1） ；rasr),(Rsa（2） ；s)(0（3） srb,（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中 x 是自变量，)1,0(
11、ayx且函数的定义域为 R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 12、指数函数的图象和性质a1 01 00，a 0，函数 y=ax与 y=loga(-x)的图象只能是 ( )2.计算： ; = ； = ;64log273 3log42 2log7l531 = 213431 0.6)(80. 75.03.函数 y=log (2x2-3x+1)的递减区间为 14.若函数 在区间 上的最大值是最小值的 3 倍，)0(log)axf 2,a则 a= 5.已知 ， （1）求 的定义域（ 2）求使 的1()l()afx且 ()fx()0fx的取值范围x第三章 函数的应用一、方程的根与函数的
12、零点1、函数零点的概念：对于函数 ，把)(Dxfy使 成立的实数 叫做函数 的0)(xf x13零点。2、函数零点的意义：函数 的零点就是方)(xfy程 实数根，亦即函数 的图象与 轴0)(xf x交点的横坐标。即：方程 有实数根 函数 的图象与f)(f轴有交点 函数 有零点)(xfy3、函数零点的求法：（代数法）求方程 的实数根； 1 0f（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以 2将它与函数 的图象联系起来，并利用函数)(xfy的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数 )0(2acb（1），方程 有两不等实根，x二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点（2），方程 有两相等实根
13、，02cba二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一x个二重零点或二阶零点（3），方程 无实根，二次函2数的图象与 轴无交点，二次函数无零点5.函数的模型 14数学1必修（人教版）15（数学 1 必修）第一章（上） 集合基础训练 A 组一、选择题1下列各项中，不可以组成集合的是（ ）A所有的正数 B等于 的数 2C接近于 的数 D不等于 的偶数002下列四个集合中，是空集的是（ ）A B3|x ,|),(2RyxyxC D2123下列表示图形中的阴影部分的是（ ）A ()()CBCD ()4下面有四个命题：（1）集合 中最小的数是 ；N1（2）若 不属于 ，则 属于 ；aaN（3）若 则
14、的最小值为 ；,bb2（4） 的解可表示为 ；x211,其中正确命题的个数为（ ）A 个 B 个 C 个 D 个0235若集合 中的元素是 的三边长，,MabcAB则 一定不是（ ）CA锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形6若全集 ，则集合 的真子集共有（ ）0,1232UCA且 AA 个 B 个 C 个 D 个3578A BC16二、填空题1用符号“ ”或“ ”填空（1） _ , _ , _0N5N16N（2） （ 是个无理数）_RQeCQ e（3） _32|,xab2. 若集合 ， ， ，则 的|6,AxN|B是 非 质 数 ABC非空子集的个数为 。3若集合 ， ，则|3
15、7x|210x_AB则实数 的取值范围是 。k5已知 ，则 _。21,21yxByxAB三、解答题1已知集合 ，试用列举法表示集合 。NxA68|2已知 ， ， ,求 的取值范25Ax12BxmBAm围。3已知集合 ，若 ，2 2,13,1AaBa3AB17求实数 的值。a4设全集 ， ，UR2|10Mmx方 程 有 实 数 根2| 0,.UNnxnCMN方 程 有 实 数 根 求（数学 1 必修）第一章（中） 函数及其表示综合训练 B 组一、选择题1设函数 ，则 的表达式是（ ）()23,()(fxgxf()gxA B 11C Dx7x2函数 满足 则常数 等于（ ）)23(,2)(cf ,
16、)(xfcA B 3C D或 35或3已知 ，那么 等于（ ）)0(1)(,21)(2xxgfxg )21(fA B 5C D304已知函数 定义域是 ，则 的定义域是yfx()123， yfx()21（ ）18A B. 052， 14，C. D. ， 37，5函数 的值域是（ ）yxA B ,1,2C D026已知 ，则 的解析式为（ ）21()xf()fxA B 221C D1xx二、填空题1若函数 ，则 = 234(0)()fx(0)f2若函数 ，则 = .xf2)12()3(f3函数 的值域是 。2fx4已知 ，则不等式 的解集是 0,1)(xf (2)()5xfx。5设函数 ，当 时
17、， 的值有正有负，则实数 的2yax1xya范围 。三、解答题1设 是方程 的两实根,当 为何值时, ,2420,()xmxRm有最小值 ?求出这个最小值 .22求下列函数的定义域19（1） （2）83yxx122xy（3） x13求下列函数的值域（1） （2） （3）xy4452xy xy214作出函数 的图象。6,3762xxy（数学 1 必修）第一章（中） 函数及其表示提高训练 C 组一、选择题1若集合 ， ，|32,SyxR2|1,TyxR则 是( )TA B. C. D.有限集2已知函数 的图象关于直线 对称，且当 时，)(xfy1x),0(x有 则当 时， 的解析式为（ ）,1)(
18、xf )2,)(fA B C Dxx2x203函数 的图象是（ ）xy4若函数 的定义域为 ,值域为 ，则 的取234yx0m254， m值范围是（ ）A B ,0，C D32， 32， ）5若函数 ，则对任意实数 ，下列不等式总成立的是（ ()fx12,x）A B12f12()ff()f12()fxfC D(xx12x6函数 的值域是（ ）2(03)6fxxA B C D R9,8,19,1二、填空题1函数 的定义域为 ，值域为 ，2()()4fxaxR,0则满足条件的实数 组成的集合是 。2设函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为fx()01， fx()2_。3当 时，函数 取得最小_22
19、21()().()nfxaa值。4二次函数的图象经过三点 ，则这个二次函数3(,),(2,3)24ABC的21解析式为 。5已知函数 ，若 ,则 。)0(21)(xxf ()10fxx三、解答题1求函数 的值域。xy12利用判别式方法求函数 的值域。132xy3已知 为常数，若,ab22()43,()104,fxfaxbx则求 的值。54对于任意实数 ，函数 恒为正值，求 的x2()565fxaxa取值范围。22（数学 1 必修）第一章（下） 函数的基本性质基础训练 A 组一、选择题1已知函数 为偶函数，)127()2()1() 22 mxxmf则 的值是（ ）A. B. C. D. 342若
20、偶函数 在 上是增函数，则下列关系式中成立的是（ )(xf1,）A )2()23(fffB 1C )23()(ffD 123如果奇函数 在区间 上是增函数且最大值为 ，)(xf3,7 5那么 在区间 上是（ ）)(f,A增函数且最小值是 B增函数且最大值是5C减函数且最大值是 D减函数且最小值是4设 是定义在 上的一个函数，则函数)(xfR )()(xfxF在 上一定是（ ）A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数。5下列函数中,在区间 上是增函数的是（ ）0,123A B xyxy3C D1426函数 是（ ）)1()xxfA是奇函数又是减函数 B是奇函数但不是减函数 C是
21、减函数但不是奇函数 D不是奇函数也不是减函数二、填空题1设奇函数 的定义域为 ，若当)(xf5,时， 的图象如右图,则不等式0,5x的解是 ()f2函数 的值域是_。21yx3已知 ，则函数 的值域是 .0,21yx4若函数 是偶函数，则 的递减区间是 .2()()3fk)(xf5下列四个命题（1） 有意义; （2）函数是其定义域到值域()1fxx的映射;（3）函数 的图象是一直线；（4）函数 的图2()yxN2,0xy象是抛物线，其中正确的命题个数是_。三、解答题1判断一次函数 反比例函数 ，二次函数,bkxyxky的cbxay224单调性。2已知函数 的定义域为 ，且同时满足下列条件：（1
22、）()fx,是奇函数；()fx（2） 在定义域上单调递减；（3） 求 的()f 2()(1)0,fafa取值范围。3利用函数的单调性求函数 的值域；xy214已知函数 .2(),5,fxax 当 时，求函数的最大值和最小值；1a 求实数 的取值范围，使 在区间 上是单调函数。a()yfx5,（数学 1 必修）第一章（下） 函数的基本性质综合训练 B 组25一、选择题1下列判断正确的是（ ）A函数 是奇函数 B函数 是2)(xf 1()xfx偶函数C函数 是非奇非偶函数 D函数 既是奇函数2()1fx 1)(xf又是偶函数2若函数 在 上是单调函数，则 的取值范围是（ 2()48fkx5,k）
23、A B ,040,6C D46,3函数 的值域为（ ）1yxA B 2,2,0C D4已知函数 在区间 上是减函数，21fxax4,则实数 的取值范围是（ ）aA B C D3353a5下列四个命题：(1)函数 在 时是增函数， 也是增函数，fx()00x所以 是增函数；(2)若函数 与 轴没有交点，则)(xf 2bx且 ；(3) 的递增区间为 ；(4) 和280ba23yx1,1yx表示相等函数。2(1)yx其中正确命题的个数是( )A B C D0236某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再dd0t0 tOAdd0t0 tOBdd0t0 tOCdd0t0 tOD26走余
24、下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ）二、填空题1函数 的单调递减区间是_。xf2)(2已知定义在 上的奇函数 ，当 时， ，R()fx01|)(2xf那么 时， .0()f3若函数 在 上是奇函数,则 的解析式为21xafb()f_.4奇函数 在区间 上是增函数，在区间 上的最大值为 ，()fx3,7 3,68最小值为 ，则 _。12(6)ff5若函数 在 上是减函数，则 的取值范围为()3fxkxbRk_。三、解答题1判断下列函数的奇偶性（1） （2）21()xf()0,6,2,fx2已知函数 的定义域为 ，且对任意
25、，都有()yfxR,abR，且当 时， 恒成立，证明：（1）函数()(fabfb0()0fx是 上的减函数；yxR（2）函数 是奇函数。 ()yfx273设函数 与 的定义域是 且 , 是偶函数, ()fxgxR1()fx是奇函数,且 ,求 和 的解析式.()gx1()f()fg4设 为实数，函数 ，a1|)(2axf Rx（1）讨论 的奇偶性；)(xf（2）求 的最小值。（数学 1 必修）第一章（下） 函数的基本性质提高训练 C 组一、选择题1已知函数 ， ，0fxax20xh则 的奇偶性依次为（ ）,fhA偶函数，奇函数 B奇函数，偶函数C偶函数，偶函数 D奇函数，奇函数2若 是偶函数，其
26、定义域为 ，且在 上是减函数，)(xf ,0则 的大小关系是（ ）)2532af与A B )(f( )23(f )25(2afC D2)2f 3已知 在区间 上是增函数，5(xaxy(4,)则 的范围是（ ）28A. B. 2a2aC. D.664设 是奇函数，且在 内是增函数，又 ，()fx(0,)(3)0f则 的解集是（ ）0A B |33x或 |30xx或C D|x或 | 3或5已知 其中 为常数，若 ，则 的3()4faxb,ab(2)f(2)f值等于( )A B C D26106函数 ,则下列坐标表示的点一定在函数 f(x)图象33()1fxx上的是（ ）A B (,)af(,)af
27、C D 二、填空题1设 是 上的奇函数，且当 时， ，()fxR0,x3()1)fx则当 时 _。,0()fx2若函数 在 上为增函数,则实数 的取值范()2fab,ab围是 。3已知 ，那么21)(xf_ 。)41()31()1( ffff 4若 在区间 上是增函数，则 的取值范围是 2ax2,a。5函数 的值域为_。4()(3,6)fx三、解答题291已知函数 的定义域是 ，且满足 ,()fx),0()()fxyfy,()2f如果对于 ,都有 ,0xy()fxy（1）求 ；()f（2）解不等式 。2)3()xff2当 时，求函数 的最小值。1,0x 223)6()(axxf3已知 在区间
28、内有一最大值 ，求 的22()4fxax0,15a值.4已知函数 的最大值不大于 ，又当23)(xaf61，求 的值。11,28xx时30数学 1（必修）第二章 基本初等函数（1）基础训练 A 组一、选择题1下列函数与 有相同图象的一个函数是（ ）xyA B2xy xy2C D)10(logaax且 alog2下列函数中是奇函数的有几个（ ） 1xya2lg()3xyxy1logaxyA B C D243函数 与 的图象关于下列那种图形对称( )yx3xA 轴 B 轴 C直线 D原点中心对称yyx4已知 ，则 值为（ ）1x32xA. B. C. D. 3545455函数 的定义域是（ ）12log()yA B C D1,),32,132(,136三个数 的大小关系为（ ）60.7.l， ，A. B. 6.07log60.70.7log6C D. 076. .l7若 ，则 的表达式为（ ）fx(ln)34fx()A B C Dl3e4xe二、填空题1 从小到大的排列顺序是 985316,4,2。
