1、 全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 勾股定理全章知识点归纳总结一基础知识点：1：勾股定理直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方。（即：a 2+b2c 2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在 中， ，则 ，ABC902cab， ）2bca2cb（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系 a2+b2c 2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股
2、定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形” 来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证 c2与 a2+b2是否具有相等关系，若 c2a 2+b2，则 ABC 是以C 为直角的直角三角形（若 c2a2+b2，则 ABC 是以C 为钝角的钝角三角形；若 c2a2+b2，则ABC 为锐角三角形）。（定理中 ， ， 及 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角abc22abc形三边长 ， ， 满足 ，那么以 ， ， 为三边的三角形是直角三角形，abc但是 为斜边）全国中考信息资源门户网站 全国中考信
3、息资源门户网站 3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。规律方法指导1勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。2勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。3勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。4.
4、勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长 a，b，c 有下列关系：a 2+b2c 2， 那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合” 的理解我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列
5、出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一： ， ，化简可证4EFGHSS正 方 形 正 方 形 ABCD214()abccbaHGFED CBA全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为2214Sabc大正方形面积为 所以22()Sabab22abc方法三： ， ，化1()2Sab梯 形 212SADEBabc梯 形简得证6：勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 中，22abc， ， 为正整数时，称 ， ， 为一组勾股数abcabc记住常见的勾股数可以提高解
6、题速度，如 ； ；3,456,810； 等5,1237,45用含字母的代数式表示 组勾股数： （ 为n221,n,n正整数）；（ 为正整数） （ ， 为正整221,1nnn22,mnn,mn数）二、经典例题精讲题型一：直接考查勾股定理例.在 中， ABC90cbaHGFED CBA abccbaEDCBAbac baccabcabCB DA全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 已知 ， 求 的长6AC8BA已知 ， ，求 的长分析：直接应用勾股定理175C22abc解： 210ABC 28题型二：利用勾股定理测量长度例题 1 如果梯子的底端离建筑物 9 米，那么 15 米长的梯子
7、可以到达建筑物的高度是多少米？解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！根据勾股定理 AC2+BC2=AB2, 即 AC2+92=152,所以 AC2=144,所以 AC=12.例题 2 如图（8），水池中离岸边 D 点 1.5 米的 C 处，直立长着一根芦苇，出水部分 BC 的长是 0.5 米，把芦苇拉到岸边，它的顶端 B 恰好落到 D 点，并求水池的深度AC.全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 解析：同例题 1 一样，先将实物模型转化为数学模型，如图 2. 由题意可知
8、ACD中,ACD=90,在 RtACD 中，只知道 CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。标准解题步骤如下（仅供参考）：解：如图 2，根据勾股定理，AC 2+CD2=AD2 设水深 AC= x 米，那么 AD=AB=AC+CB=x+0.5x2+1.52=（ x+0.5） 2解之得 x=2.故水深为 2 米.题型三：勾股定理和逆定理并用例题 3 如图 3，正方形 ABCD 中，E 是 BC 边上的中点，F 是 AB 上一点，且那么 DEF 是直角三角形吗？为什么？ABF41解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开
9、创条件，由 可以设 AB=4aABF41，那么 BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a,那么在 RtAFD 、RtBEF 和 RtCDE 中，分别利用勾股定理求出 DF,EF 和 DE 的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断DEF 是否是直角三角形。详细解题步骤如下：解：设正方形 ABCD 的边长为 4a,则 BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a在 RtCDE 中，DE 2=CD2+CE2=(4a)2+(2 a)2=20 a2同理 EF2=5a2, DF2=25a2全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 在DEF 中，EF 2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=
10、DF2DEF 是直角三角形，且DEF=90.注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。题型四：利用勾股定理求线段长度例题 4 如图 4，已知长方形 ABCD 中 AB=8cm,BC=10cm,在边 CD 上取一点 E，将ADE 折叠使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F，求 CE 的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。详细解题过程如下：解：根据题意得 RtADERtAEFAFE=90, AF=10cm, EF=DE设 CE=xcm，则 DE=EF=CDCE=8x在 RtABF 中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即 82+BF2=102，BF=6cmCF=
11、BCBF=106=4(cm)在 RtECF 中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即(8x) 2=x2+426416x+x 2=2+16全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 x=3(cm),即 CE=3 cm注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直例题 5 如图 5，王师傅想要检测桌子的表面 AD 边是否垂直与 AB 边和 CD 边，他测得 AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD 边与 AB 边垂直吗？怎样去验证 AD 边与 CD 边是否垂直？解析：由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度
12、来验证。如图 4，矩形 ABCD 表示桌面形状，在 AB 上截取 AM=12cm,在 AD 上截取 AN=9cm(想想为什么要设为这两个长度？)，连结 MN，测量 MN 的长度。如果 MN=15,则 AM2+AN2=MN2,所以 AD 边与 AB 边垂直；如果 MN=a15,则 92+122=81+144=225, a2225,即 92+122 a2，所以A 不是直角。利用勾股定理解决实际问题例题 6 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高 4.5 米的墙上，任何东西只要移至 5 米以内，灯就自动打开，一个身高 1.5 米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？解析：首先要弄清楚人走过去，
13、是头先距离灯 5 米还是脚先距离灯 5 米，可想而知应该是头先距离灯 5 米。转化为数学模型，如图 6 所示，A 点表示控制灯，BM 表示人的高度，BCMN,BCAN 当头（B 点）距离 A 有 5 米时，求 BC 的长度。已知 AN=4.5米,所以 AC=3 米，由勾股定理，可计算 BC=4 米.即使要走到离门 4 米的时候灯刚好打开。题型六：旋转问题：全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 例 1、如图，ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将 ABP 绕点 A 逆时针旋转后，能与ACP重合，若 AP=3，求 PP的长。变式 1：如图，P 是等边三角形 ABC 内一点，PA=2,
14、PB= ,PC=4,求ABC 的边长.23分析：利用旋转变换，将BPA绕点B逆时针选择60，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.变式2、如图，ABC为等腰直角三角形，BAC=90，E、F是BC上的点，且EAF=45，试探究 间的关系，并说明理由. 22BC、 、题型七：关于翻折问题例 1、 如图，矩形纸片 ABCD 的边 AB=10cm，BC=6cm，E 为 BC 上一点，将矩形纸片沿 AE 折叠，点 B 恰好落在 CD 边上的点 G 处，求 BE 的长.变式：如图，AD 是ABC 的中 线，ADC=45，把ADC 沿直线 AD 翻折，点 C
15、落在点 C的 位置，BC=4,求 BC的长.题型八：关于勾股定理在实际中的应用：例 1、如图，公路 MN 和公路 PQ 在 P 点处交汇，点 A 处有一所中学，AP=160 米，点 A 到公路 MN 的距离为 80 米，假使拖拉机APQMN全国中考信息资源门户网站 全国中考信息资源门户网站 行驶时，周围 100 米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是 18 千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？题型九：关于最短性问题例 5、如右图 119，壁虎在一座底面半径为 2 米，高为 4 米的油罐的下底边沿 A 处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的 B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（ 取3.14，结果保留 1 位小数，可以用计算器计算） 变式：如图为一棱长为 3cm 的正方体，把所有面都分为 9 个小正方形，其边长都是 1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm，则它从下地面 A 点沿表面爬行至右侧面的 B 点，最少要花几秒钟？
