1、空,间,几,何,体,第,一,章,本章内容,1.1 空间几何体的结构,1.2 空间几何体的三视图和直观图,1.3 空间几何体的表面积与体积,第一章小结,1.3,空间几何体,表面积与体积,的,1.3.1 柱体、锥体、台体 的表面积与体积,1.3.2 球的体积和表面积,柱体、锥体、台体,1.3.1,的表面积与体积,返回目录,1. 棱柱、棱锥、棱台的表面积怎样计算?,2. 圆柱、圆锥、圆台的表面积怎样计算?,3. 柱体、锥体、台体的体积怎样计算?,4. 组合体的体积怎样计算?,1. 柱体、锥体、台体的表面积,问题 1. 同学们还记得正方体和长方体的表面积怎样求吗? 棱柱、棱锥、棱台的表面是由一些什么样
2、的平面图形组成? 圆柱、圆锥、圆台呢? 你能计算它们的表面积吗?,棱柱、棱锥、棱台的表面是由底面、侧面的各个多边形组成, 各多边形的面积之和即为它们的表面积.,1. 柱体、锥体、台体的表面积,问题 1. 同学们还记得正方体和长方体的表面积怎样求吗? 棱柱、棱锥、棱台的表面是由一些什么样的平面图形组成? 圆柱、圆锥、圆台呢? 你能计算它们的表面积吗?,圆柱、圆锥、圆台的表面是由底面圆和侧面组成.,将侧面展开成平面, 就能求侧面积.,例 1. 已知棱长为 a, 各面均为等边三角形的四面体 S-ABC, 求它的表面积.,D,解:,这四面体的表面是由 4 个全等,的等边三角形组成,所以它的表面积 S
3、= 4SSBC,在SBC中, 边长为 a,SD为BC边上的高.,则 SD =,于是得 SSBC=,所以, 这个四面体的表面积为,问题 2. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开成平面后各是什么图形? 这些图形的面积你会计算吗?,S圆柱侧 =,S圆锥侧 =,S圆台侧 =,2p rh.,=p rl.,=p l (r+r).,(变态梯形),底面圆周长,c:,变态三角形,例2. 如图, 一个圆台形花盆盆口直径为 20 cm, 盆底直径为 15 cm, 底部渗水圆孔直径为 1.5 cm, 盆壁长 15 cm, 为了美化花盆外观, 需要涂油漆. 已知每平方米用100毫升油漆, 涂100个这样的花盆需要多少油漆 (p
4、 取3.14, 结果精确到 1 毫升, 可用计算器)?,解:,因为花盆的盆口是空的,所以外观表面积是侧面积加盆底,面积, 再减去渗水孔的面积.,S = S侧 + S底 - S小孔,999.1 (cm2),答: 大约需要1000毫升油漆.,= 0.09991 (m2),1000.09991100999.1 (毫升).,练习: (课本27页),第 1、2 题.,练习: (补充),练习: (补充),解:,此棱台的表面由上底、下底,和侧面的 4 个梯形组成, 它的表面,积为:,S = S上底 + S下底 + 4S梯形,= 392 (cm2),即这个棱台的表面积为392平方厘米.,解:,设圆锥的底面半径
5、为 r, 母线长为 l,因为侧面展开图是一个半圆, 所以有,2p r = p l,得 l = 2r,又由表面积得,解得,则直径 2r =,答: 这个圆锥的底面直径是,解:,这个零件的表面积为,S = S棱柱表+S圆柱侧,1579.485 (mm2),10000个零件的表面积约为15794850 mm2,约合15.795平方米.,0.1115.795 1.737 (kg),答: 电镀 10000个零件约需要锌1.74千克.,2. 柱体、锥体与台体的体积,问题 1. 还记得正方体、长方体、圆柱和圆锥的体积公式吗? 由此类推柱体和锥体的体积公式如何?你想想台体的体积怎样求?,柱体体积:,V柱 = S
6、h (S 为底面面积, h为柱体高).,锥体体积:,(S 为底面面积, h为柱体高).,台体体积:,V台 = V大锥体-V小锥体,S为上底面积,(S为下底面积,h 为台高).,例3. 有一堆规格相同的铁制 (铁的密度是 7.8 g / cm3) 六角螺帽共重 5.8 kg, 已知底面是正六边形, 边长为 12 mm, 内孔直径为 10 mm, 高为 10 mm, 问这堆螺帽大约有多少个 (p 取 3.14)?,解:,每一个螺帽的体积为,V = V棱柱-V圆柱,2956 (mm3),= 2.956 (cm3),7.82.956=23.0568 (g),= 0.0230568 (kg),5.80.
7、0230568252 (个).,答: 这堆螺帽大约有252个.,习题 1.3,A 组,第 3 题.,【练习】,解:,设长方体的长、宽、高分别,为 a、b、c,a,b,c,则长方体的体积为,V长方体 = abc,三棱锥看成如图的 S-ABC, 则体积为,S,A,B,C, 棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为,【课时小结】,1. 棱柱、棱锥、棱台的表面积,各个面多边形的面积之和.,2. 圆柱、圆锥、圆台的表面积,底面积加侧面积.,底面积: S底=p r2.,圆柱侧面积: S柱侧=2p rh.,圆锥侧面积: S锥侧=p rl.,圆台侧面积: S台侧=p l (r+r).,【课时小结】,柱体体积: V
8、柱 = Sh.,锥体体积:,台体体积:,3. 柱体、锥体、台体体积,习题 1.3,A 组,第 1、2、4、5、6 题.,习题 1.3,1. 五棱台的上、下底面均是正五边形, 边长分别是 8 cm 和 18 cm, 侧面是全等的等腰梯形, 侧棱长是 13 cm, 求它的侧面面积.,解:,所求侧面面积是5个等腰梯形之和,一个梯形的高为,= 12, S侧 =,= 780 (cm2),答: 这个五棱台的侧面积是780平方厘米.,A 组,2. 已知圆台的上下底面半径分别是 r、R, 且侧面面积等于两底面积之和, 求圆台的母线长.,解:,由已知得,p l (R+r) = p (R2+r2),解得,即圆台的
9、母线长为,解:,如图中盛有水部分,是一个四棱柱,其高为AA1=8,底面积是,ABC面积的,则水的体积为,= 6SABC,当底面ABC水平方置时,V水=hSABC,= 6SABC,得 h = 6.,答: 液面高为 6 个单位.,5. 如图是一个烟筒的直观图 (单位: cm), 它的下部是一个四棱台 (上、下底面均是正方形, 侧面是全等的等腰梯形) 形物体; 上部是一个四棱柱 (底面与四棱台的上底面重合, 侧面是全等的矩形) 形物体, 为防止雨水的侵蚀, 增加美观, 需要粘贴瓷砖, 需要瓷砖多少平方厘米 (结果精确到 1 cm2)?,解:,此问题是求棱台和棱柱的侧面积之和.,棱台侧面的梯形高为,
10、S = S台侧+S柱侧,14359 (cm2).,(答略),6. 我国铁路路基是用碎石 铺设的 (如图), 请你查询北京 到上海的铁路长度, 并估计所 用碎石方数 (结果精确到 1 m3).,资料:,京沪铁路全长1462 km,京沪高铁全长1318 km.,解:,按普铁计算,= 1260150 (m3),答: 估计需要1260150方碎石.,1.3.2,球的体积,和表面积,返回目录,1. 球的体积公式是怎样的? 是用什么方法得到的?,2. 球的表面积公式是怎样的? 是用什么方法得到的?,问题 1. 球的体积能像柱体和锥体那样求得吗? 将一个西瓜切成很薄的一些片, 每片可以近似地看作一个什么几何
11、体? 由此请你想一想, 用什么样的方法求得球的体积?,1. 球的体积,将球体如图切片:,抽出其中的一片,这圆片近似于一个圆柱,根据圆柱的体积公式即可求圆片的体积,各圆片的体积之和即为球的体积.,已知球的半径为 R, 取半球 (如图).,将半球均匀地切成 n 片,各片体积分别为,V1, V2, V3, , Vn,则 V球= 2 V半球 .,从下到上第 k 片的下底半径为,每片近似地看成一个圆柱,则第 k 片的体积为,则 V球 = 2(V1+V2+ +Vn).,V球 =,rk,2pR3,当半球切得的片数无限多,各片体积越精确,即 n 无限大时,例(补充). 某街心花园有许多钢球(钢的密度是7.9g
12、/cm3). 每个钢球重 145 kg, 并且外径等于 50 cm, 试根据以上数据, 判断钢球是实心的还是空心的. 如果是空心的, 请你计算出它的内径 (p 取 3.14, 结果精确到1 cm).,解:,按外径求出钢球的体积为,65449.847 (cm3),如果是实心球, 则球重应为,7.965449.847517053.791 (g),517.054 (kg),145 kg, 球是空心的.,设内径为 r, 则,解得 r22.4 (cm),答: 这个球是空心球, 它的内径约为44.8 cm.,2r44.8 (cm).,已知球 O1、球O2、球O3 的体积比为 1 : 8 : 27, 求它们
13、的半径比.,解:,由题意得 V1: V2: V3 = 1 : 8 : 27,得 R13 : R23 : R33 = 1 : 8 : 27, R1 : R2 : R3 = 1 : 2 : 3,即 球 O1、球O2、球O3 的半径之比为 1 : 2 : 3.,练习: (补充),2. 球的表面积,问题2. 在求球的体积时, 我们用切片的方法将球分割成很多个近似圆柱. 从中你能否得到启示, 怎样将球的表面分割成某平面图形, 以求球的表面积?,如图, 将球表面进行经纬网状,将每小片的四顶点与球心连结,截割出 n 个近似棱锥.,其底面积为分别为S1、S2、,分割成 n 小片, Sn,高近似为R.,则球体积
14、,例4 如图, 圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证:(1) 球的体积等于圆柱体积的(2) 球的表面积等于圆柱的侧面积.,证明:,(1),V柱 = pR22R,= 2pR3.,即球的体积等于圆柱体积的,例4 如图, 圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证:(1) 球的体积等于圆柱体积的(2) 球的表面积等于圆柱的侧面积.,证明:,(2),S球面= 4pR2,S柱侧 = 2pR2R,= 4pR2,即 球的表面积等于圆柱的侧面积., S球面= S柱侧.,练习: (课本28页),第 1、2、3 题.,1. 将一个气球的半径扩大 1 倍, 它的体积增大到原来的几倍?,解:,设原来气球的半径为R,
15、 则扩大后的半径,为2R,所以原来气球的体积为,扩大后气球的体积为,答: 气球扩大后的体积增大到原来的 8 倍.,练习: (课本30页),2. 一个正方体的顶点都在球面上, 它的棱长是 a cm, 求球的体积.,解:,如图,由正方体与球的对称性,正方体的对角线长就是球的直径.,正方体的棱长为a cm,球的半径 R =,则 球的体积为,3. 一个球的体积是 100 cm3, 试计算它的表面积 (p 取 3.14, 结果精确到 1 cm2).,解:,由 解得,R2.879 (cm),则球的表面积为,S = 4pR2,104 (cm2).,答: 这个球的表面积约为104平方厘米.,【课时小结】,1.
16、 球的体积,2. 球的表面积,S表球面 = 4pR2.,习题 1.3,B 组,第 1、2、3 题.,习题1.3,B 组,1. 如图是一个奖杯的三视图, 试根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积 (尺寸如图, 单位: cm, p 取 3.14, 结果精确到 1 cm3).,解:,这个奖杯由球、,四棱柱、四棱台组成.,S=S台全+S柱侧+S球表面,表面积:,棱台侧面梯形的高为,+(8+4)220,+4p 22,1197 (cm2).,习题1.3,B 组,1. 如图是一个奖杯的三视图, 试根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积 (尺寸如图, 单位: cm, p 取 3.14, 结果精确到 1 cm3).
17、,解:,这个奖杯由球、,四棱柱、四棱台组成.,V=V台+V柱+V球,体积:,+4820,1067 (cm3).,(答略),2. 已知三棱柱ABC-ABC的侧面均是矩形, 求证: 它的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.,证明:,设 AB=a, BC=b,a,b,c,CA=c, AA=h,SABBA + SACCA =,h,ah+ch,= h(a+c),SBCCB = bh, a+cb, h(a+c)bh,即 SABBA + SACCA SBCCB .,SBCCB + SACCA SABBA ., 任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.,如图,3. 分别以一个直角三角形的斜边、两直角边
18、所在直线为轴, 其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体, 画出它们的三视图和直观图, 并探讨它们体积之间的关系.,解:,先画出直观图如下:,(1) 以AB为轴:,(2) 以BC为轴:,(3) 以AC为轴:,3. 分别以一个直角三角形的斜边、两直角边所在直线为轴, 其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体, 画出它们的三视图和直观图, 并探讨它们体积之间的关系.,解:,三视图如下:,(1) 以AB为轴:,正视图,侧视图,俯视图,3. 分别以一个直角三角形的斜边、两直角边所在直线为轴, 其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体, 画出它们的三视图和直观图, 并探讨它们体积之间的关系.,解:,三视图如下:,(2) 以BC为轴:,正视图,侧视图,俯视图,3. 分别以一个直角三角形的斜边、两直角边所在直线为轴, 其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体, 画出它们的三视图和直观图, 并探讨它们体积之间的关系.,解:,三视图如下:,(3) 以BC为轴:,正视图,侧视图,俯视图,3. 分别以一个直角三角形的斜边、两直角边所在直线为轴, 其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体, 画出它们的三视图和直观图, 并探讨它们体积之间的关系.,解:,三种情况下所得几何体,的体积:,a,b,c,如果 ab, 则 V2V1,反之也成立;, V3V1,V3V2.,完,完,
