1、42.3 直线与圆的方程的应用,用坐标方法解决平面几何问题一般分三步： 第一步：建立直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将几何问题转化为代数问题 第二步：通过代数运算，解决代数问题 第三步：把代数运算结果转化为几何问题,本节学习重点：圆的方程的应用 本节学习难点：实际问题向数学模型的转化,例1 圆拱桥的弓形弧如图，跨度|OA|8，弓形的高为2 m，在如图所示平面直角坐标系中，求此弧所在圆的方程,解析 设圆心坐标为(4，b)，圆的半径为r那么圆的方程是(x4)2(yb)2r2 由于原点O(0,0)和圆弧最高点(4,2)在圆上解得：b3，r225 所以圆的方程是(x4)2(y3)225.
2、,据气象台预报，在S岛正东300公里的A处形成一个台风中心，并以每小时40公里的速度向西北方向移动，在距台风中心250公里以内的地区将受其影响问从现在起，经过_小时台风将影响S岛，持续时间_小时 答案 2 6.6 解析 以A为原点，AS所在直线为x轴建立坐标系如图则S(300,0) 以S为圆心，250为半径的圆的方程为(x300)2y22502.,由题意台风中心从A处以每小时40公里的速度向西北方向移动故台风中心的移动轨迹为射线yx(x0)，据题意可知，距台风中心250公里以内地区将受其影响 即台风中心移动到线段MN上时，S岛受其影响,所以从现在起约经过2小时，台风将影响S岛，持续时间约6.6
3、小时.,例2 已知AOB中，|OB|3，|OA|4，|AB|5，点P是ABO内切圆上一点，求以|PA|、|PB|、|PO|为直径的三个圆面积之和的最大与最小值 分析 三个圆面积之和的最值问题实质上是求|PA|2|PB|2|PO|2的最值 由于P是ABO内切圆上的点，若想找到P点坐标必须先从ABO内切圆的方程入手 解析 建立如图直角坐标系，则A、B、O三点的坐标分别为A(4,0)、B(0,3)、O(0,0),故内切圆的方程是(x1)2(y1)21. 化简为x2y22x2y10， 又|PA|2|PB|2|PO|2 (x4)2y2x2(y3)2x2y2 3x23y28x6y25. 由可知x2y22y
4、2x1， 将其代入有|PA|2|PB|2|PO|23(2x1)8x252x22.,x0,2，故|PA|2|PB|2|PO|2的最大值为22，最小值为18，三个圆面积之和为,例3 已知圆C：x2y22x4y40，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由,由条件知，|AN|NO|，|AC|3，|AN|2|NC|2|AC|2，m1或m4. 所求直线l的方程是xy10和xy40.,一、选择题 1若直线3x4yk0与圆x2y26x50相切，则k的值等于 ( ) A1或19 B10或10 C1或19 D1或19 答案 A 解析 方程x
5、2y26x50配方得：,2圆x2y24上的点到直线xy3的距离的最大值是 ( )答案 C,点评 与圆有关的最值问题较多，常见的有以下几个方面： (1)动点P到圆的切线长最短一般用勾股定理转化为二次函数求解 (2)P为C内一定点，过点P的直线l与C相交弦中最长的为直径，该直径的两端点中，一个是圆上点到点P距离的最大值点，一个是最小值点最短弦为以P为中点的弦(即与该直径垂直的弦),如图，弦AB与直径EF垂直，MN是过P的任一弦，中点为Q，显然CPCQ，从而ABMP，可知E点是C上到P点距离最大的点；又PFCFCPCNCPPN，知F点是C上到点P距离最小的点，D为C上任一点，则r|PC|DP|r|P
6、C|.,(3)直线l与C相离，C上任一点P到l的距离取值范围是dr，dr其中d是C到l的距离,例如：已知P是直线3x4y80上的动点，PA，PB是圆x2y22x2y10的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为_ 解析：点P在直线3x4y80上，如下图， C点坐标为(1,1)， S四边形PACB2SPAC,|AP|AC|AP| |AP|2|PC|2|AC|2 |PC|21.,试一试解决下列各题 (1)由y轴上动点P，向C：(x3)2(y1)21引切线，则切线长的最小值为_ (2)已知C：(x1)2(y2)24，点P(0,1)，Q是C上动点，则|PQ|的取值范围是_ (3)已知C：x2y29，点P(1,1)，过点P的所有直线中，直线l被C截得弦长最短，则l的方程为_,二、填空题 3已知圆C：(x1)2y21，以M(4,4)为圆心，且与圆C外切的圆M的方程是_ 答案 (x4)2(y4)216 解析 设所求圆半径为r,4已知O为坐标原点，圆x2y2x6yc0与直线x2y30的两个交点为P、Q，若OPOQ，则c_. 答案 35y220y12c0 直线与圆相交于两不同点， 40020(12c)0，c8， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， OPOQ，x1x2y1y20.,
