1、1,控制系统的分析方法,时域分析法 稳定性分析 劳斯判据 动态性能 上升时间 超调 稳态性能 稳态误差 频域分析法 动态性能 频带宽度,频率特性曲线的形状 稳定性分析 奈奎斯特稳定判据,2,线性定常系统,传递函数,常微分方程,频率特性函数,时域,复频域,频域,3,第5章 线性系统的频域分析法,应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。,4,（1）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。 （2）由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。 （3）频率响应法不仅适用于
2、线性定常系统，而且还适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。,特点,5,5.1 频率特性 5.1.1 频率特性的基本概念,频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性。,输出的振幅和相位一般均不同于输入量，且随着输入信号频率的变化而变化,6,7,设系统的传递函数为,已知输入,，其拉氏变换,为,(5-1),G(s),的极点,(5-2),稳定系统,8,(5-2),瞬态分量趋向于零,待定系数,瞬态分量 稳态分量,由于,是一个复数向量，因而可表示为,(5-7),(5-6),9,(5-11),线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号，其输出与输入的
3、幅值比为,输出与输入的相位差,相频特性,幅频特性,说明,10,下面以R-C电路为例，说明频率特性的物理意义。图5-3所示电路的传递函数为,设输入电压,(5-15),式中,11,称为电路的频率特性。,是,的幅值,是,的相角,和,都是输入信号频率,故它们分别被称为电路的幅频特性和相频特性。,所示频率特性的物理意义是：当一频率为,的正弦信号加到电路的输入端后，在稳态时，电路的输出与输入之比；或者说输出与输入的幅值之比和相位之差。,它由该电路的结构和参数决定，与输入信号的幅值与相位无关。,它表示在稳态时，电路的输出与输入的幅值之比。,它表示在稳态时，输出信号与输入信号的相位差。,由于,的函数,12,电
4、路的输出与输入的幅值之比,(a) 幅频特性,13,(b)相频特性,输出与输入的相位之差,14,频率特性与传递函数具有十分相的形式,比较,15,5.1.2 频率特性的几何表示法,(1)幅相频率特性曲线(极坐标图) (2)对数频率特性曲线 (3)对数幅相曲线,16,(1)幅相频率特性曲线=极坐标图，=幅相曲线,可用幅值,和相角,的向量表示。,变化时，向量,的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。,当输入信号的频率,奈奎斯特曲线，简称奈氏图,17,(2)对数频率特性曲线,对数幅频特性,相频特性,(),纵坐标均按线性分度,横坐标是角速率,10倍频程，用dec,按,分度,
5、幅频特性的纵坐标,相频特性的纵坐标,18,图5-7 数值与分贝转换直线,19,频率特性 G(jw) 的表示方法,幅频,相频,. 频率特性,. 幅相特性(Nyquist),. 对数频率特性(Bode),. 对数幅相特性(Nichols),对数幅频,对数相频,20,5.2 典型环节与开环系统频率特性 5.2.1 典型环节, 比例环节, 微分环节, 积分环节, 惯性环节,最小相位系统(稳定系统), 一阶微分环节, 振荡环节, 二阶微分环节,21,5.2 典型环节与开环系统频率特性 5.2.1 典型环节, 比例环节, 惯性环节,非最小相位系统(不稳定系统), 一阶微分环节, 振荡环节, 二阶微分环节,
6、22,5.2 典型环节与开环系统频率特性 5.2.1 典型环节,23,5.2.2.1最小相位系统与非最小相位系统,最小相位传递函数,非最小相位传递函数,在右半s平面内既无极点也无零点的传递函数,在右半s平面内有极点和（或）零点的传递函数,最小相位系统,非最小相位系统,具有最小相位传递函数的系统,具有非最小相位传递函数的系统,请看例子,5.2 典型环节与开环系统频率特性 5.2.2 典型环节的频率特性,24,对于最小相位系统，其传递函数由单一的幅频曲线唯一确定。对于非最小相位系统则不是这种情况。,图5-18最小相位系统和非最小相位系统的零-极点分布图,25,非最小相位系统,最小相位系统,图5-1
7、9,的相频特性,相同的幅频特性,和,26,1) 在具有相同幅频特性的系统中，最小相位传递函数(系统)的相角范围，在所有这类系统中是最小的。任何非最小相位传递函数的相角范围，都大于最小相位传递函数的相角范围 ；,2) 最小相位系统，幅频特性和相频特性之间具有唯一的对应关系；,这个结论对于非最小相位系统不成立。,反之亦然,3) 最小相位系统，根据系统的对数幅频特性，可以惟一地确定系统的相频特性和传递函数 。,结论：,27,例某最小相位系统的近似对数幅频特性曲线如图，试确定系统的传递函数。,28,最小相位系统，相角在,时变为,n为极点数，m为零点数。,时的斜率都等于,因此，为了确定系统是不是最小相位
8、的既需要检查对数幅值曲线高频渐近线的斜率，又需检查在,如果当,对数幅值曲线的斜率为,并且相角等于,那么该系统就是最小相位系统。,判断最小相位系统的方法,两个系统的对数幅值曲线在,时相角,时,29,5.2 典型环节与开环系统频率特性 5.2.2 典型环节的频率特性, 增益K,30, 积分与微分环节,这些幅频特性曲线将通过点,类推,相差一个符号,积分环节,微分环节,31,图5-8 积分环节的对数频率特性曲线,32,图5-9 微分环节的对数频率特性曲线,33,-20dB/dec,-40dB/dec,-60dB/dec,的对数频率特性曲线,图5-10,34,积分-20dB/dec,微分20dB/dec
9、,35,惯性环节与一阶微分环节,惯性环节,在低频时，即,低频时的对数幅值曲线是一条0分贝的直线,图5-10表示了一阶环节的精确对数幅频特性曲线及渐近线，以及精确(Exact curve)的相角曲线。,在高频时，即,高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为-20分贝/十倍频程的直线,请看下页,对数幅频特性,相频特性,36,渐近线,渐近线,精确曲线,Asymptote,Asymptote,Corner frequency,Exact curve,精确曲线,Exact curve,图5-11惯性环节的对数频率特性渐近线精确曲线,37,图5-12 惯性环节的频率响应曲线以渐近线表示时 引起的对数幅值误差,
10、38,图5-13 一阶微分的对数频率特性曲线,39,惯性环节-20dB/dec,一阶微分20dB/dec,结论：传递函数互为倒数的典型环节，对数幅频曲线关于0dB线对称，对数相频曲线关于0线对称。,40, 二阶环节,在低频时，即当,低频渐近线为一条0分贝的水平线,-20log1=0dB,在高频时，即当,高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为-40分贝/十倍频程的直线,由于在,时,所以高频渐近线与低频渐近线在,处相交。这个频率就是上述二阶环节的转角频率。,41,幅频特性与,关系,42,幅频特性与,关系,43,幅频特性与,关系,44,幅频特性与,关系,45,幅频特性与,关系,46,图5-13 二阶环
11、节的对数幅频特性曲线,幅频特性与,关系,47,相频特性与,关系,48,相频特性与,关系,49,相频特性与,关系,50,相频特性与,关系,51,相频特性与,关系,52,图5-13 二阶环节的对数相频特性曲线,相频特性与,关系,53,幅值误差与,关系,54,幅值误差与,关系,55,幅值误差与,关系,56,幅值误差与,关系,57,幅值误差与,关系,58,图5-14 二阶环节的频率响应曲线以渐近线表示时 引起的对数幅值误差,幅值误差与,关系,59,振荡环节-40dB/dec,二阶微分40dB/dec,60,令,(5-22),(5-23),(5-25),谐振频率,谐振频率谐振峰值,谐振峰值,当,时，幅值
12、曲线不可能有峰值出现，即不会有谐振,与,关系曲线,请看,61,图5-15,与,关系曲线,/dB,62,上周回顾：,5.1 频率特性(输入为正弦信号时) 幅频特性 相频特性,的输出与输入的幅值之比。,输出信号与输入信号的相位差。,频率特性的几何表示法,(1)幅相频率特性曲线(极坐标图) (2)对数频率特性曲线 (3)对数幅相曲线,63,5.2 典型环节与开环系统频率特性 典型环节最小相位系统和非最小相位系统, 比例环节, 微分环节, 积分环节, 惯性环节, 一阶微分环节, 振荡环节, 二阶微分环节,上周回顾：,64,典型环节的开环频率特性,最小相位系统和非最小相位对应系统，对数幅频曲线相同，对数
13、相频曲线关于0线对称； 传递函数互为倒数的典型环节，对数幅频曲线关于0dB线对称，对数相频曲线关于0线对称。,上周回顾：,65,步骤如下：,1,2,写出开环频率特性表达式，将所含各环节的转折频率由大到小依次标在频率轴上,绘制开环对数幅频曲线的渐近线。,低频段的斜率为,渐近线由若干条分段直线所组成,在,处，,每遇到一个转折频率，就改变一次分段直线的斜率,环节的转折频率,，当,时，,分段直线斜率的变化量为,环节的转折频率,，当,分段直线斜率的变化量为,时，,5.2 典型环节与开环系统频率特性 5.2.3开环对数频率特性曲线(bode图),66,4,3,高频渐近线，其斜率为,n为极点数，m为零点数,
14、作出以分段直线表示的渐近线后，如果需要，再按典型环节的误差曲线对相应的分段直线进行修正,作相频特性曲线。根据表达式，在低频中频和高频区域中各选择若干个频率进行计算，然后连成曲线,二阶环节， 40dB/dec,67,已知一反馈控制系统的开环传递函数为,试绘制开环系统的伯德图（幅频特性用分段直线表示）,例5-1,解：开环频率特性为,68,-20dB/dec,-40dB/dec,-20dB/dec,69,5.2 典型环节与开环系统频率特性 5.2.4 典型环节的开环幅相曲线, 比例环节,70,(2)积分与微分因子的开环幅相曲线,所以,的极坐标图是负虚轴。,图5-26 积分因子极坐标图,71,图5-2
15、7 微分因子极坐标图,的极坐标图是正虚轴。,72,(3)一阶因子,图5-28 一阶因子,极坐标图,73,图5-29 一阶因子,极坐标图,74,(4)二阶因子,的高频部分与负实轴相切。极坐标图的精确形状与阻尼比有关，但对于欠阻尼和过阻尼的情况，极坐标图的形状大致相同。,图5-30 二阶因子极坐标图,75,对于欠阻尼,时,相角,的轨迹与虚轴交点处的频率，就是无阻尼自然频率,极坐标图上，距原点最远的频率点，相应于谐振频率,这时,可以用谐振频率,处的向量幅值，与,处向量幅值之比来确定。,当,的峰值,76,过阻尼情况,增加到远大于1时，,的轨迹趋近于半圆。这是因为对于强阻尼系统，特征方程的根为实根，并且
16、其中一个根远小于另一个根。对于足够大的,值，比较大的一个根对系统影响很小，因此系统的特征与一阶系统相似。,当,77,78,79,80,81,82,对于,极坐标图的低频部分为：,极坐标图的高频部分为：,图5-31 二阶因子,极坐标图,83,例5-2 考虑下列二阶传递函数：,试画出这个传递函数的极坐标图。,解：,极坐标图的低频部分为：,极坐标图的高频部分为：,84,图5-32,极坐标图,85,系统的开环频率特性为：,5.2 典型环节与开环系统频率特性 5.2.5 开环幅相曲线的绘制,1、开环幅相曲线的起点,在低频段，0时，开环频率特性为：,幅频特性：,相频特性：,86,图521 奈氏图低频段形状,
17、开环幅相曲线的起点取决于积分环节的个数v和K。 0型系统(v=0)，起点在实轴上，(K，j0)点。 型系统(v=1)，起点在无穷远处，相角为-90。 型系统(v=2)，起点在无穷远处，相角为-180 如图521。,87,图5-22奈氏图高频段形状,2、开环幅相曲线的终点 在高频段，时，由于nm，开环幅相曲线以顺时针方向趋于坐标原点。如图5-22。,88,图522奈氏图高频段形状,3、开环幅相曲线与实轴的交点,4、开环幅相曲线的变化范围,89,小结： 5-2 典型环节与开环系统频率特性,1、典型环节 2、典型环节的频率特性(对数频率特性) 3、开环对数频率特性曲线(bode图) 4、典型环节的开
18、环幅相曲线 5、开环幅相曲线的绘制,最小相位系统和非最小相位对应系统，对数幅频曲线相同，对数相频曲线关于0线对称； 传递函数互为倒数的典型环节，对数幅频曲线关于0dB线对称，对数相频曲线关于0线对称。,1、写出开环频率特性表达式，将所含各环节的转折频率由大到小依次标在频率轴上； 2、绘制开环对数幅频曲线的渐近线，渐近线由若干条分段直线所组成； 3、作出以分段直线表示的渐近线后，如果需要，再按典型环节的误差曲线对相应的分段直线进行修正。,1、开环幅相曲线的起点 2、开环幅相曲线的终点 3、开环幅相曲线与实轴的交点 4、开环幅相曲线的变化范围,90,图3-35 闭环系统,闭环传递函数为,为了保证系
19、统稳定，特征方程,的全部根，都必须位于左半s平面。,的极点和零点可能位于右半s平面，但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半s平面，则系统是稳定的。,虽然开环传递函数,充要条件,5.3 频域稳定判据,91,奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应,与,在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。,由解析的方法和实验的方法得到的开环频率特性曲线，均可用来进行稳定性分析,奈奎斯特稳定判据是以复变函数理论中的幅角原理为基础。,假设开环传递函数,可以表示成s的多项式之比。对于物理上可实现的系统，闭环传递函数的分母多项式的阶数必须大于或等于分子多项式的阶数，这表明，当s
20、趋于无穷大时，任何物理上可实现系统的,的极限，或趋于零，或趋于常数。,92,可以证明，对于S平面上给定的一条不通过F(s)的任一零点和极点的连续封闭曲线，在F(s)平面上必存在一条封闭曲线与之对应。,5.3 频域稳定判据 5.3.1奈氏判据的数学基础,（1）幅角原理,S等于F(s)的零点时，在F(s)平面上为原点 S等于F(s)的极点时，在F(s)平面上为无穷远,93,幅角原理：设S平面上的封闭曲线包围了F(s)的Z个零点和P个极点，则s沿顺时针运动一周时，在F(s)平面上，F(s)沿F曲线按逆时针方向包围坐标原点的周数R满足: RPZ 式中，R0分别表示F曲线顺时针包围和逆时针包围F(s)平
21、面上坐标原点的周数，R0表示不包围F(s)平面上的坐标原点。,94,（2）复变函数F(s),1)F(s)的零点为闭环传递函数的极点，F(s)的极点为开环传递函数的极点； 2)F(s)的零点和极点数相同； 3)两条闭合曲线F和GH只相差常数1。,95,上周小结(1) 5-2 典型环节与开环系统频率特性,1、典型环节 2、典型环节的频率特性(对数频率特性) 3、开环对数频率特性曲线(bode图) 4、典型环节的开环幅相曲线 5、开环幅相曲线的绘制,最小相位系统和非最小相位对应系统，对数幅频曲线相同，对数相频曲线关于0线对称； 传递函数互为倒数的典型环节，对数幅频曲线关于0dB线对称，对数相频曲线关
22、于0线对称。,1、写出开环频率特性表达式，将所含各环节的转折频率由大到小依次标在频率轴上； 2、绘制开环对数幅频曲线的渐近线，渐近线由若干条分段直线所组成； 3、作出以分段直线表示的渐近线后，如果需要，再按典型环节的误差曲线对相应的分段直线进行修正。,1、开环幅相曲线的起点 2、开环幅相曲线的终点 3、开环幅相曲线与实轴的交点 4、开环幅相曲线的变化范围,96,上周小结(2) 5.3 频域稳定判据 5.3.1奈氏判据的数学基础,幅角原理 RPZ复变函数F(s),1)F(s)的零点为闭环传递函数的极点，F(s)的极点为开环传递函数的极点； 2)F(s)的零点和极点数相同； 3)两条闭合曲线F和G
23、H只相差常数1。,97,（3）s平面闭合曲线的选择(奈氏路径),包含全部右半S平面的封闭曲线,5.3.1奈氏判据的数学基础,98,（4）G(s)H(s)闭合曲线(奈奎斯特曲线)的绘制,1)若G(s)H(s)无虚轴上极点 GH sj，0, 正虚轴时,开环幅相曲线； 半径为无穷大的右半圆对应的是原点(0，j0)；,5.3.1奈氏判据的数学基础,99,（4）G(s)H(s)闭合曲线(奈奎斯特曲线)的绘制,2)若G(s)H(s)有虚轴上极点,5.3.1奈氏判据的数学基础,100,（5）闭合曲线F包围原点圈数R (GH包围(-1,0j)的计算,5.3.1奈氏判据的数学基础,101,5.3 频域稳定判据
24、5.3.2奈奎斯特稳定判据,反馈控制系统稳定的充要条件是奈氏曲线逆时针包围临界点(-1，j0)的周数R等于开环传递函数右半S平面极点数P，即RP；否则闭环系统不稳定，闭环正实部特征根个数ZPR。当系统开环频率特性曲线及其镜像通过(-1,j0)点时，表明在S平面虚轴上有闭环极点，系统处于临界稳定状态，属于不稳定。,102,例5-3 设闭环系统的开环传递函数为：,的轨迹如图5-41所示。,在右半s平面内没有任何极点， 并且,的轨迹不包围,所以对于任何的值，该系统都是稳定的。,103,例5-4 设系统具有下列开环传递函数：,试确定以下两种情况下，系统的稳定性：增益K较小增益K较大。,小K值时是稳定的
25、,大K值时是不稳定的,104,例5-5 设开环传递函数为：,该系统的闭环稳定性取决于,和,相对大小。试画出该系统的奈奎斯特图，并确定系统的稳定性。,的轨迹不包围,系统是稳定的,的轨迹通过,点，这表明闭环极点位于轴上,105,的轨迹顺时针方向包围,点两次，因此系统有两个闭环极点位于右半s平面，系统是不稳定的。,106,例5-6 设一个闭环系统具有下列,试确定该闭环系统的稳定性。,开环传递函数：,极坐标图,图5-44,解,107,在右半s平面内有一个极点,图5-44中的奈奎斯特图表明，,轨迹顺时针方向包围-1,j0点一次,这表明闭环系统有两个极点在右半s平面，因此系统是不稳定的。,1,2,3,极坐
26、标图,图5-44,108,例5-7 设一个闭环系统具有下列开环传递函数试确定该闭环系统的稳定性。,图5-45,极坐标图,解,渐近线,109,图5-45,极坐标图,在右半s平面内有一个极点,因此开环系统是不稳定的,轨迹逆时针方向包围-1+j0一次,说明,没有零点位于右半s平面内，闭环系统是稳定的。这是一个开环系统不稳定，但是回路闭合后，变成稳定系统的例子。,图5-45表明,1,2,3,继续例5-7,110,5.3 频域稳定判据 5.3.3对数频率稳定判据,一个反馈控制系统，其闭环特征方程正实部根个数Z，可以根据开环传递函数右半S平面极点数P和开环对数幅频特性为正值的所有频率范围内，对数相频特性曲
27、线与-180线的正负穿越数之差NN+ - N-确定 ZP - 2N 计算所得，若Z为零，闭环系统稳定；否则，闭环系统不稳定。,111,上周回顾：,开环对数频率特性曲线(bode图)渐近线的绘制 开环幅相曲线的绘制 5.3频域稳定判据 (1)幅角原理 (2)复变函数F(s) (3) s平面闭合曲线的选择(奈氏路径) (4)G(s)H(s)闭合曲线(奈奎斯特曲线)的绘制 (5)闭合曲线F包围原点圈数R (6)奈奎斯特稳定判据 (7)对数频率稳定判据,112,相位裕度、相角裕度,设系统的截止频率为,定义相角裕度为,相角裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后,度，则系统将变为临界稳定。
28、,5.4 频域稳定裕度相位裕度和幅值裕度,113,增益裕度、幅值裕度,设系统的穿越频率,，,定义幅值裕度为,幅值裕度,的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大,倍，则系统将变为临界稳定状态。,5.4 频域稳定裕度相位裕度和幅值裕度,114,Positive Gain Margin,Positive Phase Margin,Negative Gain Margin,Negative Phase Margin,Stable System,Unstable System,0,dB,0,dB,Bode图,115,Positive Gain Margin,Positive Phase M
29、argin,-1,1,Negative Gain Margin,Negative Phase Margin,-1,1,Stable System,Unstable System,幅相图,116,判断系统稳定的又一方法,5.4 频域稳定裕度相位裕度和幅值裕度,117,一阶或二阶系统的增益裕度为无穷大，因为这类系统的极坐标图与负实轴不相交。因此，理论上一阶或二阶系统不可能是不稳定的。当然，一阶或二阶系统在一定意义上说只能是近似的，因为在推导系统方程时，忽略了一些小的时间滞后，因此它们不是真正的一阶或二阶系统。如果计及这些小的滞后，则所谓的一阶或二阶系统可能是不稳定的。,对于稳定的最小相位系统，增益
30、裕度指出了系统在不稳定之前，增益能够增大多少。对于不稳定系统，增益裕度指出了为使系统稳定，增益应当减少多少。,一阶或二阶系统的增益裕度为多少？,5.4 频域稳定裕度相位裕度和幅值裕度,118,只用增益裕度和相位裕度，都不足以说明系统的相对稳定性。为了确定系统的相对稳定性，必须同时给出这两个量。,增益裕度应当大于6分贝。,关于相位裕度和增益裕度的几点说明,控制系统的相位裕度和增益裕度是系统的极坐标图对-1+j0点 靠近程度的度量。这两个裕度可以作为设计准则。,对于最小相位系统，只有当相位裕度和增益裕度都是正值时，系统才是稳定的。负的裕度表示系统不稳定。适当的相位裕度和增益裕度可以防止系统中元件变
31、化造成的影响，并且指明了频率值。,为了得到满意的性能，相位裕度应当在,之间，,5.4 频域稳定裕度相位裕度和幅值裕度,119,例5-8 一单位反馈系统的开环传递函数为,K=1时系统的相位裕度和增益裕度。要求通过增益K的调整，使系统的增益裕度20logh=20dB，相位裕度,解：,即,相位穿越频率,增益裕度,5.4 频域稳定裕度相位裕度和幅值裕度,120,在,处的开环对数幅值为,例5-8 一单位反馈系统的开环传递函数为,5.4 频域稳定裕度相位裕度和幅值裕度,121,根据K=1时的开环传递函数,相位裕度,增益穿越频率,截止频率,122,123, 由题意知,验证是否满足相位裕度的要求。 根据,的要
32、求，则得：,不难看出，,就能同时满足相位裕度和增益裕度的要求。,124,例5-9 设一单位反馈系统对数幅频特性如图5-50所示(最小相位系统)。写出系统的开环传递函数判别系统的稳定性如果系统是稳定的，则求,时的稳态误差。,解：由图得,看对数幅频特性,125,-20dB/dec,-20dB/dec,-40dB/dec,-40dB/dec,0.01,0.1,1,5,rad/s,dB,126,由于是最小相位系统，因而可通过计算相位裕度,是否大于零来判断系统的稳定性。由图可知,在,处,则得,单位斜坡输入时，系统的稳态误差为,0 系统稳定,127,标准二阶系统中阶跃瞬态响应与频率响应之间的关系,在图3-
33、8所示的标准二阶系统中，单位阶跃响应中的最大超调量可以精确地与频率响应中的谐振峰值联系在一起。因此，从本质上看，在频率响应中包含的系统动态特性信息与在瞬态响应中包含的系统的动态特性信息是相同的。,设截止频率,则有,128,根据相位裕度的定义,上式说明相位裕度仅仅与阻尼比有关。,129,图5-51标准二阶系统的相位裕度与阻尼比之间的关系,130,相位裕度与阻尼比直接相关。图5-51表示了相位裕度与阻尼比的函数关系。对于标准二阶系统，当时，相位裕度与阻尼比之间的关系近似地用直线表示如下：,因此，相位裕度相当于阻尼比。对于具有一对主导极点的高阶系统，当根据频率响应估计瞬态响应中的相对稳定性（即阻尼比
34、）时，根据经验，可以应用这个公式。,131,对于小的阻尼比，谐振频率与阻尼自然频率的值几乎是相同的。因此，对于小的阻尼比，谐振频率的值表征了系统瞬态响应的速度。,132,的值越小,和,的值越大。,和,与,之间的函数关系如图5-52所示。可以看出，当,时，,和,之间存在相近的关系。对于很小的,值,将变得很大，而,却不会超过1。,133,134,5.5闭环系统的频域性能指标 5.5.1控制系统的频带宽度,图5-53 截止频率与系统带宽,截止频率的定义：参看图5-53，当闭环频率响应的幅值下降到零频率值以下3分贝时，对应的频率称为截止频率。,对于的I型和I型以上的开环系统：,135,闭环系统滤掉频率
35、大于截止频率的信号分量，但是可以使频率低于截止频率的信号分量通过。 闭环系统的幅值不低于-3分贝时，对应的频率范围称为系统的带宽。带宽表示了这样一个频率，从此频率开始，增益将从其低频时的幅值开始下降。,对于惯性系统的闭环传递函数：,截止频率,对于二阶系统的闭环传递函数：,截止频率,136,带宽指标取决于下列因素：1、对输入信号的再现能力。大的带宽相应于小的上升时间，即相应于快速特性。粗略地说，带宽与响应速度成反比。2、对高频噪声必要的滤波特性。 为了使系统能够精确地跟踪任意输入信号，系统必须具有大的带宽。但是，从噪声的观点来看，带宽不应当太大。因此，对带宽的要求是矛盾的，好的设计通常需要折衷考虑。具有大带宽的系统需要高性能的元件，因此，元件的成本通常随着带宽的增加而增大。,137,一阶系统的带宽为其时间常数的倒数。 二阶系统，闭环传递函数为,因为,，由带宽的定义得,于是,138,3带宽频率,是闭环系统幅频特性出现谐振峰值时所对应的频率，它在一定程度上反映了系统瞬态响应的速度。 值越大，瞬态响应越快。,闭环频域指标1谐振峰值Mr 谐振峰值Mr是闭环系统幅频特性的最大值，它反映了系统的相对稳定性。2谐振频率,5.5.2系统带宽的选择 5.5.3闭环系统频域指标和时域指标的转换,0,的频率范围称为系统的带宽。,139,（1）典型二阶系统 开环传递函数为,140,（2）高阶系统：,
