1、第三章 线性系统的时域分析法,本章主要内容: 3.I 3.2 3.3 3.4 3.5,系统时间响应的性能指标一阶系统的时域分析二阶系统的时域分析线性系统的稳定性分析线性系统的稳态误差计算,时间域：c(t) 复数域：G(s) 频率域：G(jw),时域分析法,在时间域内研究控制系统性能的方法,它是通过拉氏变换直接求解系统的微分方程,得到系统的时间响应,然后根据响应的表达式和响应曲线分析系统的动态性能和稳态性能。,一、典型输入信号 P81,3.1 系统时间响应的性能指标,二、 动态过程与稳态过程 P82,动态过程（过渡过程、瞬态过程）：在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程，
2、用动态性能描述，提供稳定性、响应速度、阻尼情况的信息。动态过程有三种情况：衰减型、发散型、等幅振荡型。,稳态过程：在典型输入信号作用下，当时间t趋向无穷大时，系统输出的表现形式，用稳态性能描述，提供稳态误差信息。,等幅振荡,衰减振荡,单调发散,非周期,系统阶跃响应动态过程的基本形式,三、动态性能与稳态性能 P82,注意：稳定是系统能够运行的前提条件,1、动态性能指标在阶跃函数作用下定义的,1）延迟时间td:响应第一次到达终值一半所需时间。,2）上升时间tr: 有振荡系统，响应从零第一次到达终值所需时间。 无振荡系统，响应从终值的10%上升到90%所需的时间。,3）峰值时间tp:响应从零上升到第
3、一个峰值所需时间。,4）调节时间ts:响应到达并保持在允许误差范围（终值的2%或5%）内所需的时间。,5）最大超调量%：响应的最大峰值与终值之差，并除以终值，通常用百分数表示：,超调量,峰值时间tp,调节时间ts,动态性能指标定义1,延迟时间td,上升时间tr,调节时间 ts,动态性能指标定义2,若 则响应无超调;,注意：,td、tr、tp：反映系统响应的初始快速性；,ts：体现系统响应的总体快速性；,：描述系统响应的平稳性或系统的阻尼程度。,2、稳态性能指标：,通常用系统在阶跃、斜坡、加速度函数作用 下的稳态误差来描述稳态性能；,稳态误差用来衡量系统的控制精度或抗扰动 能力；稳态误差反映系统
4、复现输入信号的最终精度。,3.2 一阶系统的时域分析,可用一阶微分方程描述其动态过程的系统，称为一阶系统,一、一阶系统的数学模型,1）列写其运动方程：,零初始条件下取拉氏变换：,2）传递函数为：,惯性,闭环极点(特征根)：-1/T,二、 一阶系统的单位阶跃响应,性质：非周期响应，没有tp和% 1）利用初始斜率特性可以求时间常数T 2）td=0.69T, tr=2.20T, ts=3T或4T,结论： 时间常数T 决定系统的惯性：T越小，即系统惯性越小，过渡过程越快；T越大，即系统惯性越大，过渡过程越慢。,三、 一阶系统的单位脉冲响应,性质：单调下降的指数曲线 1）利用初始斜率特性可以求时间常数T
5、 2）ts=3T,结论： 时间常数T 决定系统的惯性：T越小，即系统惯性越小，过渡过程越快；T越大，即系统惯性越大，过渡过程越慢。,四、 一阶系统的单位斜坡响应,(t0),3）稳态误差=T。,性质： 1）经过足够长的时间(4T)，输出增长速率近似与 输入相同；,2）输出相对于输入滞后时间T；,三、一阶系统的性质 P92,微 分,输入信号微分响应微分，输入信号积分响应积分一阶系统只有一个特征参数，即：时间常数T,研究线性定常连续系统的时间响应，可以只对其中一种典型输入信号。,例3-1：水银温度计近似可以认为一阶惯性环节，用其测量加热器内的水温，当插入水中一分钟时才指示出该水温的98%的数值（设插
6、入前温度计指示0度）。如果给加热器加热，使水温以10度/分的速度均匀上升，问温度计的稳态指示误差是多少？,解：1）一阶系统，阶跃输入，输出响应达98%，调节时间：ts=4T=1分，则T=0.25分。,2）单位斜坡信号时稳态跟踪误差是T，故当水温以10度/分作等速变换，稳态指示误差为10T=2.5度。,利用传递函数的定义,例3-2：已知某系统在单位斜坡输入时的输出为：求系统的传递函数，及单位阶跃输入时的 解：,传递函数：,一、 二阶系统的数学模型,3.3 二阶系统的时域分析,无阻尼自然振荡频率,谐振频率,阻尼比,请注意：标准形式二阶系统：,1）结构图,2）开环传递函数：,3）闭环传递函数：,4）
7、特征方程：,5）特征根：,1、无阻尼：=0,无阻尼二阶系统单位阶跃响应性质： 1）有一对位于s平面虚轴上的共轭极点； 2）等幅振荡，其振荡频率就是无阻尼自然振荡频率n。当系统有一定阻尼时，d总是小于n,二、 二阶系统的单位阶跃响应 P89,2、欠阻尼：0 1,阻尼振荡频率：,其中 衰减系数：,单位阶跃下的输出为：,欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性质： 1）有一对位于s左半平面的共轭极点； 2）衰减振荡，稳态分量为1，无稳态误差； 3）含有衰减的复指数振荡项:其振幅衰减的快慢由 和 n 决定振荡幅值随 减小而加大。,3、临界阻尼：=1,临界阻尼二阶系统单位阶跃响应性质： 1）有两个位于s平面负实轴的
8、相等极点； 2）无超调单调上升且稳态值为1，无稳态误差；,4、过阻尼： 1,过阻尼二阶系统单位阶跃响应性质： 1）有两个位于s平面负实轴上的不相等极点； 2）无超调单调上升且稳态值为1，无稳态误差； 3）过渡过程时间比临界阻尼长。,5、负阻尼： 0,性质：1）极点实部大于零 2）响应发散，系统不稳定。,振荡发散,单调发散,二阶系统 几点结论,1、二阶系统的阻尼比 决定了其振荡特性：,1） 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定； 2） = 0时，出现等幅振荡； 3）01时，有振荡，愈小，振荡愈严重，但响应愈快； 4） 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长；,2、一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越迅速，
9、系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。,3、工程中除了一些不允许产生振荡的应用，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.40.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。工程上把=0.707的二阶系统称为二阶最优系统。,1、延迟时间td (delay time),c(td )为0.5,三、 欠阻尼(01) 二阶系统的动态过程分析,2、上升时间tr (rise time),c(tr )为1,3、峰值时间tp (peak time),一阶求导：,4、最大超调量%(percent overshot),根据超调量的定义，并考虑到,5、调节时间ts（近似方法）,或,为了简化调节时间的计算
10、，一般用包络线来代替 实际响应估算调节时间。,（请记住）,例3-3:设系统如图所示，若要求系统具有性能指标 试确定系统的参数 和 ，并计算单位阶跃响应的特征量解：,请自学：过阻尼二阶系统的动态过程分析二阶系统的单位斜坡响应二阶系统性能改善高阶系统时域分析,3.5 线性系统的稳定性分析,一、 稳定性的基本概念,控制系统在外部扰动作用下偏离其原来的平衡状态，当扰动消失后，系统仍能自动恢复到原来的初始平衡状态的性能。,1、稳定性的定义,注意：系统稳定性只与内部特性有关，与输入无关,2、线性系统稳定的充要条件,系统特征方程的所有根都在S左半平面内,注意：稳定性与零点无关,3、判别稳定性的方法,1）求根
11、法 2）代数判据（Routh） 3）根轨迹法 4）Nyquist判据 5）李雅普诺夫直接法,1、判据描述：若线性系统的特征方程表示为：,则此系统稳定的充分必要条件是：特征方程系数均为正且对应劳斯表第一列各元素均为正。,推论： 1）第一列符号改变次数= 系统特征方程含有正实部根的个数； 2）特征方程系数缺项或不同号则系统不稳定。,二、 代数判据-劳思稳定判据,2、劳思表定义,劳思判据判定稳定性：,符号改变,符号改变,系统不稳定，且有两个正实部根,各项系数均为正数,解决方法：,特殊情况1：第一列出现0，而其余不全为零,3、劳思(routh)判据的特殊情况,系统不稳定：有两个正实部根,用无穷小正数代
12、替零,建立系统新的特征方程 （s+a)*D(s)=0,解决方法： 由全0行的上一行元素构 成辅助方程F(s)=0，并 对其求导后，用所得系数 代替全0行的元素。,各项系数均为正数,求导得:,例如：,特殊情况2：某一行元素全为零,劳斯表出现全零行: 系统在s平面有对称分布的根：,大小相等符号相反的实根,共轭虚根,对称于实轴的两对共轭复根,分析：1）K与系统稳定性的关系？2）如果要使闭环极点全部位于s=-1垂线左侧，问K值范围？,解：1）系统闭环传递函数为：,4、劳斯判据的应用系统相对稳定性,劳斯表：,系统稳定充要条件：,系统临界稳定时：,系统不稳定稳定时：,闭环特征方程：,2）要求闭环极点全部位
13、于s=-1左侧，则有新变量 s1=s+1，令 s=s1-1 ，代入原特征方程，整理后以s1为变量的特征方程为：,全部极点位于s=-1左侧，即新系统稳定充要条件：,劳斯表：,控制系统的性能：,动态性能：,稳态性能：,稳态误差,原理性稳态误差的计算方法,3.6 线性系统的稳态误差计算,1、误差定义,1）从输入端定义,一、误差与稳态误差,输入信号R(s)与反馈信号B(s)之差,2）从输出端定义,注意：本书均采用从输入端定义的误差E(s),系统输出量的期望值Cr(s)与实际值C(s)之差,与从输入端定义的比较得：两种定义有内在联系,当是单位反馈系统时两种定义一致,2、稳态误差计算：,系统工作的前提条件
14、？,系统必须稳定,因此当时间趋于无穷大时，瞬态分量为零，只含有稳态分量，即：控制系统稳态误差,终值定理求稳态误差：,条件：sE(s)的极点分布在s左半平面，包括原点,例3-7：单位负反馈系统的开环传递函数为：求：输入r(t)=1(t)和r(t)=t时，系统的稳态误差若反馈H(s)=1改为H(s)=2 ，求系统希望输出量与实际输出量之差,解：首先求系统的误差：,二、系统类型,对于一个给定的稳定系统，输入信号形式一定时，系统是否存在稳态误差取决于系统的开环传递函数结构,0 型系统 型系统 型系统,三、系统静态误差系数,1、阶跃输入作用下的静态误差与静态位置误差系数,静态位置误差系数：,考虑0、型控
15、制系统在典型信号下的稳态误差,0型系统 型及以上系统,静态位置误差系数：,阶跃输入作用下的静态误差：,2）斜坡输入作用下的静态误差与静态速度误差系数,静态速度误差系数：,斜坡输入作用下的静态误差：,3）加速度输入作用下的静态误差与静态加速度误差系数,静态加速度误差系数：,加速输入作用下的静态误差：,小 结,阶跃输入无差则1型及以上；斜坡输入无差则2形及以上； 加速度输入无差则3型及以上,例3-13：具有测速发电机内反馈的位置随动系统，试计算输入分别为单位阶跃信号、单位斜坡信号和单位加速度信号时，系统的稳态误差。P.129 图3-34,解： 1）求系统开环传递函数：,2）求静态误差系数：,3）求
16、稳态误差：,1(t)输入：,t输入：,t2/2输入：,本章知识要点 1、正确理解时域性能指标（5个）、稳定性、系统的型、静态误差系数 2、掌握一阶、二阶系统的数学模型，并能熟练计算二阶系统阶跃响应欠阻尼时域性能指标和结构参数 3、理解线性系统的稳定条件，熟练应用劳斯判据判定系统的稳定性 4、理解稳态误差的定义，并能熟练计算ess、明确终值定理使用的条件,在扰动信号作用下，系统的理想输出Cd(s)为零。 非单位反馈系统在扰动作用下输出端误差为：,四、扰动作用下的稳态误差（自学）,此时扰动误差传递函数：,求扰动作用时的稳态误差方法： 1）动态误差法 2）满足终值定理条件时，可用终值定理求解,书例3
17、-15 ，参考输入R(s)=R0/s，阶跃扰动输入N(s)=n0/s 求系统稳态误差。,解：系统为型系统，对于阶跃输入的误差为零，系统在 扰动作用下的输出端误差为,分析：阶跃扰动转矩，当系统进入稳态，比例控制器输出转矩必须与负载转矩平衡，系统存在常值误差- n0/K1, 前向通道增益K1增大，误差减小。,（1）增大系统开环增益或扰动作用点之前系统的前向通道增益； （2）在系统前向通道或主反馈通道设置串联积分环节。使系统型增大，减小或消除误差； （3）采用串级控制抑制内回路扰动； （4）采用复合控制方法。,五、 减小或消除误差的措施（了解）,附：控制系统时域分析,1、稳定性分析：,p=roots
18、(den),den: 特征多项式降幂排列的系数向量，p：特征根，闭环系统稳定的充要条件：特征根均有负实部,2、动态性能分析：,1）单位阶跃响应：y=step(sys,t),当不带输出时，直接绘制响应曲线，t设定仿真时间，可缺省,2）单位脉冲响应：y=impulse(sys,t),3）任意输入响应：y= lsim(sys,u,t,x0),u:表示输入；x0：设定初始状态，可缺省,例：已知闭环传函： 求单位脉冲、单位阶跃、单位斜坡响应。,num=16;den=1 5.656 16;sys=tf(num,den); %建立闭环传递函数模型p=roots(den) %计算系统特征根判断系统稳定性t=0:0.01:3; %设定仿真时间impulse(sys,t) %单位脉冲响应hold onstep(sys,t) %单位阶跃响应figure(2)u=t;lsim(sys,u,t,0) %单位斜坡响应grid,运行结果：,p =-2.8280 + 2.8289i-2.8280 - 2.8289i,说明系统稳定,响应曲线：,
