1、.大一上学期高数期末考试卷一、单项选择题 (本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分)1. (0)sinco)( xxf .（A） 02 （B ） (01f（C） )f （D ） (fx不可导.2. 13)1)( .（A） (x与 是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）()与是等价无穷小；（C） )是比 )高阶的无穷小； （D） ()x是比 ()高阶的无穷小. 3. 若 (02xFtftd，其中 ()fx在区间上 (1,)二阶可导且)f，则（ ）.（A）函数 )必在 处取得极大值；（B）函数 (x必在 处取得极小值；（C）函数 在 0处没有极值，但点 (0,)F为曲线 ()yFx
2、的拐点；（D）函数 ()F在 处没有极值，点 也不是曲线 的拐点。4. )() ,)(2)( 10xfdtfxfxf （A）2（B）2x（C） （D） .二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）5. xxsin20)31(lim.6. ,(co f xfdcos)( .7. li(scoscs2221n nn.8.2121ari dxx.三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分）9. 设函数 ()y由方程 sin()1xye确定，求 ()yx以及 (0)y.10.d)1(7x 11.1 32 )(0dxfxef12. 设函数 )(xf连续，10()()
3、gftd，且 0limxA， 为常数. 求 g并讨论 在 处的连续性.13. 求微分方程 2lnyx满足1()9y的解.四、 解答题（本大题 10 分）14. 已知上半平面内一曲线 )0()y，过点 (,)1，且曲线上任一点Mxy(,)0处切线斜率数值上等于此曲线与 x轴、 y轴、直线 x0所围成面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题 10 分）15. 过坐标原点作曲线 xyln的切线，该切线与曲线 ln及 x 轴围成平面图形 D.(1) 求 D 的面积 A；(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有 2 小题，每小题 4 分
4、，共 8 分）16. 设函数 )(xf在 0,1上连续且单调递减，证明对任意的 ,01q，00()qdqfdx.17. 设函数 )(xf在 ,上连续，且0)(0xdf，cos0d.证明：在 ,内至少存在两个不同的点 21,，使 .0)()(21ff（提示：设 xdfF0)()(）解答一、单项选择题(本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）5. 6e . 6. cx2)os(1 .7. . 8. 3.三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分）9. 解：方程两边求导.(1)
5、cos()0xyexye0,， ()110. 解： 76uxdu 1(2)d ln|2l|1|)7c71|xxC11. 解：012330()fdexd010()x23cossin)e 321412. 解：由 (0)f，知 (0)g。100()()xtufdgxfd(0)x02()()x020()()A()limli2xxxfudfg0200()li()lixxfu ， ()gx在 0处连续。13. 解： ndy2(l)xdexC21l39(),0yC，1ln39y四、 解答题（本大题 10 分）.14. 解：由已知且 02dxyy， 将此方程关于 求导得 特征方程： r解出特征根： .2,1r
6、其通解为 xxeCy21代入初始条件 ()0，得 3,21C故所求曲线方程为：xxey3五、解答题（本大题 10 分）15. 解：（1）根据题意，先设切点为 )ln,(0，切线方程：)(ln00xxy由于切线过原点，解出 e，从而切线方程为： xey1则平面图形面积 1012)(dyAy（2）三角形绕直线 x = e 一周所得圆锥体体积记为 V1，则23e曲线 yln与 x 轴及直线 x = e 所围成的图形绕直线 x = e 一周所得旋转体体积为 V2 1022)(dyD 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 )3125(621eV六、证明题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共
7、12 分）16. 证明：100()()qfdxfdx 100()()()qqqfxfdxf10(1)qqff12 12,1 ()()12()()0q fffq 故有： 100()()qfxdfxd证毕。17.证：构造辅助函数：xtfFx0,)()(0。其满足在 ,0上连续，在),0(上可导。 ，且 )(F.由题设，有 000 )(sinco)(coss)( |dxFxFxdxf，有 0sin)(xdF，由积分中值定理，存在 ),(，使 i)(即综上可知 ),0(,)()( F.在区间 ,0上分别应用罗尔定理，知存在 ,01和 ,2，使 1及 2F，即 0)(21f. .05 级高等数学试题 A
8、-1一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）(1) 若5)81ln(sim0xkx，则 k（ ）(2) 设当 时, 2ae与 cos1x是等价无穷小,则常数 （ ）(3) dx3)cos(in（ ）(4) )10sin2i1ilm（ ）(5) (,(2 adxa二、选择题（毎小题 4 分，共 40 分）(1) 下列广义积分收敛的是 _1)(dxA10)(dxB021)(dxC1)(dxD(2) 函数 21)(xefx的连续区间为 _(A) ,0；(B) ,0； (C) 2,1(),0；(D) ,(dx50sin)3(_ ;50)(;10)(;10)(;2 DCBA(4) 下列各命题中哪一个是
9、正确的 _)(xf在 ,ba内的极值点，必定是 )(xf的根0B的根，必定是 )(f的极值点C在 ),取得极值的点处，其导数 )(f必不存在(D) 使 (xf的点是 x可能取得极值的点(5) 已知 2)3(f则 hffh2)3(lim0 .(A) (B) (C) 1 (D) 1.(6) 设函数 )(xy由参数方程 42tyx确定，则 )(xy_(A) 1 (B) 2 (C) 2t (D) 2t(7) 设函数 ()3)()(5fx,则方程 0)(xf实根的个数为 _(A) 2个 (B) 个 (C) 4个 (D) 个(8) 已知椭圆 tytxsin3,co)20(t绕 x轴和 y轴旋转的体积分别为
10、yxV,，则有 _(A) 2 (B) 4yxV(C) 8yx (D) 10(9) 0x点是函数1()2xfe的间断点 _(A) 振荡间断点 (B) 可去间断点 (C) 跳跃间断点 (D) 无穷间断点(10) 曲线 21xey_(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 三、 （6 分）求极限 xxesin10)23(lim四、 （6 分）已知 )f存在，且 )3sin(3(li300xdfx，求 )0(f五、 （6 分） x ttty0 11)(cosin(，求 )10(y六、 （6 分）已知星形线 ay33si,围成的图形为 A,
11、求 A的面积 S七、 （6 分）证明：方程 01910x只有一个正根。八、 （6 分）已知 )(y是由参数表示式 x= tut deyud00,rcsin所确定的函数， 求 dxt0lim.九、 （4 分） 设 001sin)(2xxf证明 在 处连续且可微，但 )(f在 0x处不连续。2006 级高等数学试题 A-1一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）(1) 若5)61ln(arcsiim0xkx，则 （ ）.(2) 设当 时, 3l()lnax与 cos1x是等价无穷小,则常数 a（ ）.(3) dx3)si(（ ）.(4) )9ta5tan1tlimnn （ ）.(5) 0(,)(
12、02 dxa.二、选择题（毎小题 4 分，共 40 分）(1) 下列广义积分收敛的是 _.1)(dxA102)(dxB023)(dxC14)(dxD(2) 函数12sin)(xf的连续区间为 _.(A) ),( (B) ),1( (C) ,0( (D) ),(dx80cos)3(_. 320)(240)(16)( DCBA(4) 下列函数中在1,e上满足拉格朗日定理条件的是 .(A) xln (B) l (C) xln (D) )l(x(5) 设 )(f在点 0可导，且 41)2(im00fhfh，则 )(0f .（A）4 （B） 4 （C） 2 （D）-2(6) 设函数 )(xy由参数方程
13、31tyext确定，则 1)(txy_.(A) 0 (B) e4 (C) 24e (D) 2(7) 设函数 )127)(23()2xxf ,则方程 0)(xf实根的个数为_.(A) 2 个 (B) 3 个 (C)4 个 (D) 5 个(8) 已知椭圆 tytxsin,co)20(t绕 x轴旋转的体积为 ,xV则有xV_.(A) 4 (B) 6 (C) 48 (D) 60(9) 0点是函数 21)(xf的间断点 _.(A) 振荡间断点 (B) 可去间断点 (C) 无穷间断点 (D) 跳跃间断点(10) 曲线 15)(1xf_.(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线(C) 仅有铅直渐近线 (D
14、) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 三、 （6 分）求积分 dxx2)(arctn. 四、 （6 分）已知 )0f存在，且 5)1ln(3)(lim220 xdttfx，求)0(f. 五、 （6 分） x dtty0 102)()1ln，求 )(10xy.六、 （6 分）求心脏线 cosar所围平面图形的面积( a).七、 （6 分）证明：若 32b,则方程 )23cbxf 有唯一实根.八、 （6 分）已知 )(xy是由参数 tut deyud00,arcn所确定的函数，求 dt0lim.九、 （4 分） 已知 21sinco,0art)(20 xdxxfpp(其中 0p),问 取何值时, )(
15、f在 ,连续。 （请详细写明过程）. 07 级高等数学（上）试题 A一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）(1) 极限 xxarctn)61l(im（ ） 。(2) 设 0,2,si)(kf在 x处连续,则 k（ ） 。(3) dxfxa)(（ ） 。(4) 设 ),1(1)(f 则 )0(f（ ） 。(5) 广义积分 e2)(ln（ ） 。二、选择题（毎小题 4 分，共 40 分）(1) 设当 0x时, x与（ ）是等价无穷小。(A) (B) 3 (C) 4x (D) 32x(2) 设 dtF0)sin()(,则 )(F_。(A) xco (B) xsi (C) sin (D) 0(3)
16、 102s_。 (A) (B) 10 (C) 20 (D) 20(4) 设 )(xf在 ,ba上可导，且 )(xf，若 xdtf)()(，则下列说法正确的是 。(A) 在 ,上单调减少 (B) 在 ,ba上单调增加 (C) )(在 上为凹函数 (D) )(在 上为凸函数 (5) 已知 1)(,0aff，则极限1limnfn。(A)1 (B) (C)2 (D)-2(6) 设函数 )(xy由参数方程 ttyxarc)l(所确定，则 2dxy_。.(A) t412(B) t21(C) 241t(D) 21t(7) 设函数 )7)()2xxf ,则方程 0)(xf实根的个数为_。(A) 2 个 (B)
17、 3 个 (C)4 个 (D) 5 个(8) 曲线 xyln及直线 e, x轴所围成的图形绕 y轴旋转形成的旋转体的体积为 ,V则有 y_。(A) 2e(B) )1(2(C) )1(2e(D) 2e(9) 0x是函数 xfsin)的 _间断点 。(A) 振荡间断点 (B) 可去间断点 (C) 无穷间断点 (D) 跳跃间断点(10) 曲线 21xey的水平渐近线为 。(A) 0 (B) 1y (C) 2y (D) ey三、 （6 分）求积分d2)(。四、 （6 分）设函数 xy由方程 2ln2xy所确定，求 y。五、 （6 分）讨论函数0,1)(2si1efx在 处的连续性。六、 （6 分）证明
18、： )(, ,12xex。七、 （8 分）设函数 adttaf02)0()()(，试求 )(xf的极大值。 八、 （8 分）设连续函数 x满足 xf2sin，求26sin)(dxf。2008 级高等数学试题 A-1一、选择题（毎小题 4 分，共 40 分）(1) 设当 0x时，与 2x等价的无穷小是（ ） (A) 132 (B) sin (C) xsinta (D) xcos1.(2) 设0031)(xxf，则 )(xf在 0点（ ） (A) 左连续但不右连续 (B) 右连续但不左连续(C) 连续 (D) 既不左连续也不右连续(3) dxx22)cos(4（ ） (A) (B) 0 (C) 2
19、 (D) (4) 下列广义积分收敛的是（ ） (A) 1xd； (B) 103xd； (C) 12dx；(D) 0dxe(5) 由曲线 cos2r所围成的平面图形的面积是（ ） (A) 4 (B) (C) (D) (6) 设 )(xfy在点 0的某邻域内具有三阶连续导数，如果0)()(0xff，而 0，则必有（ ） (A) 是极值点， ( 不是拐点 (B) 0是极值点， )0f不一定是拐点(C) 不是极值点， (x 是拐点 (D) 0x不是极值点， 0不是拐点(7) 已知 )(f在 的某邻域内有定义，且 0)(f，如果21cos1lim20xxe，则 )(xf在 处（ ） (A) 不可导 (B
20、) 驻点 (C) 1)0(f (D) 21)(f(8) 设函数 baf23)(在 处有极值 2，则 ba,之值（ ） (A) 5,4a (B) 5,4a(C) b (D) (9) 方程 015x共有 个正根。(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1(10) 曲线 2xey的渐近线是（ ） (A) (B) (C) 0y (D) y二、填空题（每小题 4 分，共 20 分）.(1) 若105)1(limexkx，则 k (2) 由参数方程 )ln(arct22ty确定的函数 )(xy，则12tdxy(3) 设dxxf31sini)2()，则)2(f(4) 222)cossi3(= (5) 设
21、xdtF02)()，则 )(xF= 三、 （6 分）求极限： xex lnsiln1im3220四、 （6 分）求积分 d2cos五、 （6 分）证明：当 0x时，31tax六、 （6 分）求由曲线 12y，直线 2y与 x 轴、 y 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得立体之体积七、 （6 分）设函数 xtdetf0)3()(，试求 )(xf在 )0,上的最小值 八、 （6 分）设 的原函数为 F，且 1，当 时，有xFxf2sin)(，试求 )(f九、 （4 分）设连续函数 在 ,内满足 xfxsin)()，且,0,)(f，求 3dx。2009 级高等数学试题（A-1）一、选择题（毎小
22、题 3 分，共 36 分）1当 x时，若 112xcbax 为等价无穷小，则 a,b,c 之值一定为（ ）.(A) 10cba, (B) cba,10为任意常数(C) 、 为任意常数 (D)a、 b、 c 均为任意常数2极限 xxe1lim的结果是（ ）（A）0 （B）1 （C） （D）不存在但也不是 3 1)arctn(ossinl21xxx ( )(A) 0 (B) 4 (C) 1 (D) 不存在4设 0,)()(xfxF，其中 0)(xf 处可导，且)0(,)(ff，则 是 F的（ ）（A）连续点 （B）第一类间断点 （C）第二类间断点 （D）不能由此确定是连续点还是间断点5设 xf)1
23、(，则 )1(f（ ）（A） （B）1 （C） 2ln （D） 2ln6若函数 ()yf在点 0处取得极大值，则必有 ( ).(A) 0xx且 (B) 00()fxfx且(C) ()f (D) (或 不 存 在7 1232)1cosdxx（ ）（A）0 （B） 94（C） 928（D） 948若 )(xf的导函数为 xsin，则 )(f有一个原函数为（ ）（A） i1 （B） i1 （C） xcos1 （D） xcos19由曲线 2y及直线 0,y所围平面图形绕 y轴旋转一周所得旋转体的体积是( ).(A) 140xd(B) 120xd(C) 10d(D) 10()yd10 区间 ， 上满足罗
24、尔定理条件的函数是( ).(A) sinx(B) 2(1)x (C) 23x(D) 21x11函数 xey在区间（ ）内是单调减少的并且其图形是凸的。（A） ),2 （B） ,( （C） ,1 （D） ),12下列反常积分收敛的是（ ）（A） 1xd（B） 103xd（C） dx21（D） 0dxe二、填空题（每小题 4 分，共 32 分）1当 a=_时，函数 0,1)(2xeaxfx在 连续。2 函数 2xy的 n阶麦克劳林展开式中含 n项的系数是_。3设 )(xy由方程组 321txey确定，则12xdy。4曲线 2)(1的拐点是 。5曲线 ttudyx121lnl2在 1t处的切线方程为
25、_ 。6函数 ()tanxf的可去间断点为_ 。7由曲线 2y与 4所围图形的面积是 。8 dxcos4i2。三、解答题（共 32 分）.1 （7 分） 求极限 201tansilimixx。 2 （7 分）计算定积分dxf20)1(，其中 0,1,)(xexf。 3 （6 分）求由方程 2cosy所确定的函数 y的微分。 4 （6 分）求函数 .)()0xtdef在 ),0的最大值。 5 （6 分）证明：当 x时， 221ln(1xx。05 级高等数学试题 A-1 标准答案及评分标准制定教师 刘春凤 审核人 米翠兰 一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）解：(1) 85k.；(2) 21
26、； (3) 0；(4) 500500 ；(5) 2a二、选择题（毎小题 4 分，共 40 分）解：DCCDD；BCCCD三、 （6 分）解：xxesin)(lim1023)ln(silm2310xex.2 分)(li210xex.4 分21.6 分四、 （6 分）解： 30xf)(lim.3 分又 0)(f 90fxli)(.6 分五、 （6 分）解： 10102xxy )(cosin 2 分21 3 分.)(10xy!)sin( 10210210.6 分六、 （6 分）解： 202404tdadSacosi.3 分20641tt)in(si.4 分 213532a8.6 分七、 （6 分）证
27、明：存在性：设 1910xf)(， 0)(f所以至少存在一个正根 .3 分惟一性： 又 9810f)(x单调递增，只有一个正根。 .6 分八、 （6 分）解： teduxyttarcsin0.4 分1limli00tdtutt.6 分九、 （4 分） 解： )0(sinli)(li200 fxxf连续 .1 分1x可微 .2 分 002fcosin)(.3 分)si(lim)(li xxfx 10不存在在 处不连续。 .4 分2006 级高等数学（A-1）标准答案及评分标准制定教师 刘春凤 审核人 马醒花 一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）.(1) 65k.；(2) 21； (3) 0
28、；(4) 250000 ；(5) a二、选择题（毎小题 4 分，共 40 分）DCBADCBADB三、 （6 分）解法 1： dxx2)(arctn微分部分 积分部分2)(t x21arcnx2t 1x21x arctn .2 分1 21x0 22)(arctn)ln(.4 分dxx2)(arctn= 2)(arctx- )t(xt+2rcan1l1+C .6 分解法 2: dxx2)(arctndxx2221t)(arctn1122 .2 分dxdxxarct1arct)(arctn222.4 分C 222 )(n)ln(1.6 分四、 （6 分）.解： 53)(lim0xf.3 分又 0)
29、(f 4 分531)(li0 xfx5.6 分五、 （6 分）解： 10102)()1ln() xxxy 3 分)(10!)!910.6 分六、 （6 分）解：dadA22)cos(022)s1(.2 分022cos(da.4 分)12)02(a.32a.6 分七、 （6 分）证明一： 因为三次多项式 0)(23cbxaxf 可能有三个实根或一个实根，如果 )(xf有三个实根，根据罗尔定理 baf)(至少有两个实根，.3 分而 baxxf23)(，当 032时，没有实根，如此方程c只有一实根。 .6分.证明二： 因为 0)(limxf，且 0)(limxf，所以 )(xf一定有实根。 .2 分
30、因为 baf23)(；所以 ba124；因为 02ba，所以 02。所以 )(xf，即 )(xf单调递增。 .5 分所以 )(f有唯一的实根。 .6 分八、 （6 分）解： teduxyttarcn0.4 分2limli00 tedytutt.6分九、 （4 分） 解：)0(sinco20 pdxIpp令tx202 )2(si)(cspp ttI Idttpp20cossin.2 分20 41cossin1ppdxI.3 分又因为 4)(lim1xf，所以只要 0， )(xf在2,0连续. .4分07 级高等数学（上）试题 A 卷答案.一、(1) 0 (2) 2 (3) 34a（4） !10
31、(5) 1 二、C C D C B A B C D B三、解：dxe2)( )2(2xde.2分 x)(12dex.4分 Cx)1(2.6分四、解：将原方程转化为 2ln2l2xyexy.2 分两边对 x求导得： 0l)ln2(2lnyey，即)1l xyxy.4 分0ln2xye，所以0ln22， xyln2。 .6分五、解: 2)(ef, 2si1limsin100 0li)(limeexxfx.4分 li0x,所以 )(f在 处连续. .6 分六、证明：令 )1)(2efx，则 )(f在 1,0内连续，,12xf4)(，当 0时， (xf，所以 x单调增加， .2分又 0，所以当 时，
32、0)，所以 )(f单调增加， .4分又 )(f，所以 0)(xf，即 )1()(2xex，即12xe.6 分七、解： ,)(2af令 )(f, 得 a， .2分 ,2x于是 ,2)(f .4.分当 0a时， ,02)(af)(xf取得极大值，极大值为3)(f.6 分当 0a时， ,02)(af)(xf取得极大值，极大值为32)(aaf. .8 分八、解：令 tx，则 262626 sin)(sin)(sin tdftdfd，.4 分所以 2626 si)(1sin)( xdfxfdf.6 分又 xf2i)()，所以原式0828snsi1xdd2563. .8 分2008 级高等数学（A-1）标
33、准答案及评分标准制定教师 米翠兰 审核人 刘春凤 一、选择题（毎小题 4 分，共 40 分）ABADD；CCADA二、填空题（每小题 4 分，共 20 分）(1) 2k.；(2) 12； (3) 2 ；(4) ；(5) x23三、 （6 分）解： xxexln)siln(1im3220ili30x420)1(imex. 2 分302)(1(iex. 3 分0)(limx. 4 分41)(li0ex.6 分四、 （6 分）.解： dx2coslntal.2 分dxx2ncstn4 分)1(ecolCtasta6 分五、 （6 分）解：23tn)(xxf.2 分21sec 0)(tan(ttax.
34、4 分 )2,0()xf从而 0fx所以当时，31ta。 .6 分六、 （6 分）解： 512)(4dxVx4 分51244 分七、 （6 分）解： xexf)3()令 ,0)(f得 3x， .2 分4(， 3)f在 取得极小值， 又 在 )0,内连续且有唯一的极小值，故 )(f也是最小值,.4 分最小值为 303030)() dtetdtetf.33321tt.6 分八、 （6 分）解：由 dxFf)(=dxsin2及 1)0(F 2 分.得14sin)(xxF4 分)(f=si2co6 分九、 （4 分） 解： 3)(dxf3sin)(dxf3)(dxf.2 分20ttx20 sin)(t
35、tft)(f02dxt 2.4 分2009 级高等数学（A-1）标准答案及评分标准制定教师 刘春凤 审核人 肖继先 一、填空题（每小题 3 分，共 36 分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12B D B B C D B A B D C D二、选择题（毎小题 4 分，共 32 分）(1) 21a(2) !)(ln(3) 23(4)79,6(5)xy41(6)可去间断点：,0kx（7） （8）C)2ln(cos三、解答题（共 32 分）1.（7 分）原式= xxx 20 sin)1tan(ilim（2 分）= xx20sitali1= xxsicol0= 41co（7 分）2.（
36、7 分）120)()(dtfxf（2分）.=1001dtte（4分）=1001ttt=)1ln()l()ln(101eett（7分）3.（6 分）方程两端同时微分得： )()cos2yxd， 故 )(sin2xyd， （3分）即 2)整理得：dxyxysin2（6分）4.（6 分） ef)()，驻点为 2。 xxf3(， 0f所以函数在 2处取得极大值，又 )(xf在 ),内连续且有唯一的极大值，故)2也是最大值。 （3 分） 202020)( dtetdtef=1)1(22tt。 （6 分）5.（6 分）令 22)ln()( xxxf ， （1 分）则 ,0 连续、可导且 0(f。 )1ln(1)ln() 2222 xxxxf ，可得 0f。 （3 分） 2211)(xxf ，显然有 0)(xf， 所以 单增，即当 0时， )(f，所以 ),() f单增，故当 时， ，结论成立。 .（6 分）
