八、圆锥曲线.doc

1、.八、圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F ，F 2的距离的和等于常数 2a，且此常数 2a一定要大于 21F，当常数等于1时，轨迹是线段 F1F ，当常数小于 1F时，无轨迹；双曲线中，与两定点 F ，F 2的距离的差的绝对值等于常数 ，且此常数 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与 |F 1F 2|不可忽视。若 |F 1F2|，则轨迹是以F1，F 2为端点的两条射线，若 a|F 1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如（1）已知定点 )0,3(,21，在满足下列条件的平面上动点 P 的轨

2、迹中是椭圆的是 A 4P B621PC 021 D 21（答：C） ；（2）方程 2()(6)8xyxy表示的曲线是_（答：双曲线的左支）（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母” ，其商即是离心率 e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点 )0,2(Q及抛物线 42xy上一动点 P（x,y）,则 y+|PQ|的最小值是 _（答： 2）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在 x轴上时 12b

3、ya（ 0a） cosinxayb（参数方程，其中 为参数） ，焦点在 轴上时 x1（ ） 。方程2AxByC表示椭圆的充要条件是什么？（ABC 0，且 A，B，C 同号，AB） 。如（1）已知方程 23kyx表示椭圆，则 k的取值范围为_（答： 1(3,)(,)2） ；（2）若 Rx,，且 623yx，则 yx的最大值是_， yx的最小值是 _（答： 5）（2）双曲线：焦点在 x轴上： 2bya =1，焦点在 轴上： 2ba1（0,ab） 。方程 2ABC表示双曲线的充要条件是什么？（ABC0，且 A，B 异号） 。如（1）双曲线的离心率等于 5，且与椭圆 492yx有公共焦点，则该双曲线的

4、方程_（答：214xy） ；（2）设中心在坐标原点 O，焦点 1F、 2在坐标轴上，离心率 e的双曲线 C 过点 )10,(P，则 C 的方程为_（答： 26xy）.（3）抛物线：开口向右时 2(0)ypx，开口向左时 2(0)ypx，开口向上时 2(0)xpy，开口向下时 2()yp。3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由 2, 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程 12m表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是_（答：)3,(,(）（2）双曲线：由 x2, y项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐

5、标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F ，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数 ,ab，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中， a最大， 22c，在双曲线中， c最大， 22ab。4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以 12byax（ 0a）为例）： 范围：,axb；焦点：两个焦点 (,)c； 对称性：两条对称轴0y，一个对称中心（0,0） ，四个顶点 ,(0)ab，其中长轴长为2 ，短轴长为 2 ；准

6、线：两条准线2x； 离心率： cea，椭圆 1e， 越小，椭圆越圆； e越大，椭圆越扁。如（1）若椭圆 152myx的离心率 50，则 m的值是_（答：3 或 325） ；（ 2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时，则椭圆长轴的最小值为_（答：2）（2）双曲线（以2xyab（ 0,ab）为例）：范围： xa或,xayR；焦点：两个焦点 ()c；对称性：两条对称轴 0,y，一个对称中心（0,0） ，两个顶点 ,，其中实轴长为 2a，虚轴长为 2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 2,0xyk；准线：两条准线2axc； 离心率： ce，双曲线

7、 1e，等轴双曲线 2e， 越小，开口越小， 越大，开口越大；两条渐近线： bxa。如（1）双曲线的渐近线方程是 03yx，则该双曲线的离心率等于_（答： 32或 1） ；（2）双曲线 21ab的离心率为 5，.则 :ab= （答：4 或 1） ；（3）设双曲线 12byax（a0,b0）中，离心率 e 2,2,则两条渐近线夹角 的取值范围是_（答： ,32） ；（3）抛物线（以 2(0)ypx为例）：范围： 0,xyR；焦点：一个焦点 (,0)2p，其中 的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴 y，没有对称中心，只有一个顶点（0,0 ） ；准线：一条准线 2px；离心率： cea

8、，抛物线 1e。如设 Ra,0，则抛物线 4ay的焦点坐标为_（答： )6,0(） ；5、点 0(,)Pxy和椭圆 2byx（ ）的关系 ：（1）点 0(,)Pxy在椭圆外21ab；（ 2）点 0(,)P在椭圆上 20byax1；（3）点0(,)xy在椭圆内 0xy6直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交： 直线与椭圆相交； 0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有 ，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故 0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件； 0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个

9、交点，故 也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如（1）若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点，则 k 的取值范围是_（答：(-35,-1)） ； （2）直线 ykx1=0 与椭圆215xym恒有公共点，则 m 的取值范围是_（答：1，5）（5，+） ） ；（3）过双曲线 12yx的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点，若AB4，则这样的直线有 _条（答：3） ；（2）相切： 0直线与椭圆相切； 0直线与双曲线相切； 0直线与抛物线相切；（3）相离： 直线与椭圆相离； 直线与双曲线相离； 直线与抛物线相离。特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公

10、共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交 ,也只有一个交点；（2）过双曲线 2byax1 外一点 0(,)Pxy的直线与双曲线只有一个公共.点的情况如下：P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P 为原点时不存在这样的直线；（3

11、）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。如（1）过点 )4,2(作直线与抛物线 xy82只有一个公共点，这样的直线有_（答：2） ；（2）过点(0,2)与双曲线69yx有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_（答：45,3） ；（3）过双曲线 12yx的右焦点作直线 l交双曲线于 A、B 两点，若 AB4，则满足条件的直线 l有_条（答：3） ；（4）对于抛物线 C：xy2，我们称满足 024y的点 ),(0yM在抛物线的内部，若点 ),(0yxM在抛物线的内部，则直线 l： x与抛物线 C 的位置关系是_（答：相离） ；（5）过抛物线 2

12、的焦点 F作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、 q，则 1_（答：1） ；（6）设双曲线1962yx的右焦点为 ，右准线为 l，设某直线 m交其左支、右支和右准线分别于 RQP,，则 F和 QR的大小关系为_(填大于、小于或等于) （答：等于） ；（7）求椭圆 28472yx上的点到直线 01623yx的最短距离（答： 813） ；（ 8）直线 1a与双曲线 2交于 A、 B两点。当 a为何值时， A、 B分别在双曲线的两支上？当 a为何值时，以 AB 为直径的圆过坐标原点？（答： 3,； ） ；7、焦半径（圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离） 的计算

13、方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径 red，其中 表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。如（1）已知椭圆 1625yx上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3，则点 P 到右准线的距离为 _（答： 3） ；（2）已知抛物线方程为 xy82，若抛物线上一点到 y轴的距离等于 5，则它到抛物线的焦点的距离等于_；（3）若该抛物线上的点 M到焦点的距离是 4，则点 M的坐标为_（答： 7,(4)） ；（4）点 P 在椭圆 192yx上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点 P 的横坐标为_ （答： 25） ；（5）抛物线xy2上的两点 A、B 到焦点的距离和是 5，则

14、线段 AB 的中点到 y轴的距离为_（答：2） ；（6）椭圆 1342yx内有一点 )1,(P，F 为右焦点，在椭.圆上有一点 M，使 FP2 之值最小，则点 M 的坐标为_（答：)1,362(） ；8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点 0(,)Pxy到两焦点 12,F的距离分别为 12,r，焦点 12FP的面积为 S，则在椭圆2byax中， )acos(b，且当 12r即 为短轴端点时， 最大为 mx 2rcos； 20tn|Scy，当 0|b即 P为短轴端点时，aS的最大值为 bc；对于双曲线 21xa

15、b的焦点三角形有： 21rcosrb； cotsin1rS。如（1）短轴长为 5，离心率 3e的椭圆的两焦点为 1F、 2，过 1作直线交椭圆于 A、B 两点，则2ABF的周长为_（答：6） ；（2）设 P 是等轴双曲线)0(ayx右支上一点，F 1、F 2 是左右焦点，若 021F，|PF 1|=6，则该双曲线的方程为 （答： 24xy） ；（3）椭圆294xy的焦点为 F1、F 2，点 P 为椭圆上的动点，当 0 时，点 P 的横坐标的取值范PF2 PF1 围是 （答： 35(,)） ；（4）双曲线的虚轴长为 4，离心率 e 26，F 1、F 2是它的左右焦点，若过 F1的直线与双曲线的左

16、支交于 A、B两点，且 AB是 与 2等差中项，则 AB _（答： 82） ；（5）已知双曲线的离心率为 2，F 1、F 2 是左右焦点， P 为双曲线上一点，且6021P， 321FPS求该双曲线的标准方程（答： 14xy） ；9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设 AB 为焦点弦， M 为准线与 x 轴的交点，则AMFBMF；（3）设 AB 为焦点弦，A、B 在准线上的射影分别为 A1，B ，若P 为 A1B 的中点，则 PAPB；（4）若 AO 的延长线交准线于 C，则 BC 平行于 x轴，反之，若过 B 点平行于 x 轴的直线交准

17、线于 C 点，则 A，O，C 三点共线。 10、弦长公式：若直线 ykb与圆锥曲线相交于两点 A、B，且 12,分别为 A、B 的横坐标，则 21x，若 12,y分别为 A、B 的纵坐标，则 212k，若弦 AB 所在直线方程设为 xkb，则 .21ky。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。如（1）过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A（x 1，y 1） ，B（x 2， y2）两点，若 x1+x2=6，那么|AB|等于_（答：8） ；（2）过抛物线 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，已知 |A

18、B|=10，O 为坐标原点，则 ABC 重心的横坐标为_（答：3） ；11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆 12byax中，以 0(,)Pxy为中点的弦所在直线的斜率 k=02yaxb；在双曲线 中，以 ,为中点的弦所在直线的斜率 k=；在抛物线 2(0)ypx中，以 0(,)xy为中点的弦所在直线的斜率 k=0py。如（1）如果椭圆21369弦被点 A（4，2 ）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答： 8xy） ；（ 2）已知直线 y=x+1 与椭圆2(0)xab相交于 A、B 两点，且线段 AB 的中点在直线 L：x2y=0上，则此椭圆的离心

19、率为_（答： 2） ；（3）试确定 m 的取值范围，使得椭圆 1342yx上有不同的两点关于直线 xy4对称（答：,） ； 特别提醒：因为 0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验 0！12你了解下列结论吗？（1）双曲线 12byax的渐近线方程为 2byax；（2）以 为渐近线（即与双曲线 1共渐近线）的双曲线方程为 (2byax为参数， 0）。如与双曲线 692yx有共同的渐近线，且过点 )3,的双曲线方程为_（答： 41）（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为21mxny；（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为

20、2ba，焦准距（焦点到相应准线的距离）为2bc，抛物线的通径为 2p，焦准距为 p； .（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（6）若抛物线 2(0)ypx的焦点弦为 AB， 12(,)(,)AxyB，则12|ABx；2211,4yp（7）若 OA、OB 是过抛物线 (0)x顶点 O 的两条互相垂直的弦，则直线 AB 恒经过定点 (,0)p13动点轨迹方程：（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；（2）求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立 ,xy之间的关系 (,)0Fxy；如已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 3x的距离之和等于 4，求 P 的轨

21、迹方程（答：21(4)y或 2(03)）；待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点M（m ，0） )(，端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2m，以 x 轴为对称轴，过A、O、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为 （答：2yx） ； 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如(1)由动点 P 向圆 21xy作两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，APB=60 0，则动点 P 的轨迹方程为 （答：24xy）；（2）点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线

22、05l且的距离小于1，则点 M 的轨迹方程是_ （答： 26y）；(3) 一动圆与两圆M：2和N： 182xy都外切，则动圆圆心的轨迹为（答：双曲线的一支）；代入转移法：动点 (,)P依赖于另一动点 0(,)Qxy的变化而变化，并且0(,)Qxy又在某已知曲线上，则可先用 ,y的代数式表示 0，再将 0,xy代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点 P 是抛物线 12上任一点，定点为)1,(A,点 M 分 A所成的比为 2，则 M 的轨迹方程为_（答：362xy）；参数法：当动点 (,)xy坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 ,均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去

23、参数得普通方程）。如（1）AB 是圆 O 的直径，且|AB|=2 a，M 为圆上一动点，作MNAB，垂足为 N，在 OM 上取点 P，使 |N，求点 P的轨迹。（答：2|xya）；（2）若点 ),(1yx在圆 12y上运动，则点),(11Q的轨迹方程是 _（答： (|)x）；（3）过抛物线42的焦点 F 作直线 l交抛物线于 A、B 两点，则弦 AB 的中点 M 的轨迹方程是_（答： 2xy）；注意：如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量.的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。如已知椭圆 )0(12bayx的左、

24、右焦点分别是 F1（c，0） 、F 2（c，0） ，Q 是椭圆外的动点，满足 .2|1aQF点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点，点 T 在线段 F2Q上，并且满足 .0|,TP（1）设 x为点 P 的横坐标，证明xacF|1；（2）求点 T 的轨迹 C 的方程；（ 3）试问：在点 T 的轨迹 C上，是否存在点 M，使F 1MF2 的面积 S= .2b若存在，求F 1MF2 的正切值；若不存在，请说明理由. （答：（1）略；（2） 2xya；（3）当2bac时不存在；当2bac时存在，此时F 1MF22）曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对

25、轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份对称性、利用到角公式)、 “方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、 “分类讨论思想”化整为零分化处理、 “求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点” ，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1） 给出直线的方向向量 ku,1或 nm,；（2）给出 OBA与 相交,等于已知 OBA过 的中点;（3）给出 0PNM,等于已知 P是 MN的中点;（4）给出 Q,等于已知 ,与 的中点三点共线

26、;（5） 给出以下情形之一： C/；存在实数 ,AC且；若存在实数 ,1,且 ,等于已知 三点共线.（6） 给出 OBAP，等于已知 P是 B的定比分点， 为定比，即 BAP（7） 给出 0M,等于已知 MA,即 是直角,给出0mM,等于已知 是钝角, 给出 0m,等于已知是锐角,（8）给出 PBA,等于已知 是 B的平分线/（9）在平行四边形 CD中，给出 0)()(ADA，等于已知ABCD是菱形;（10） 在平行四边形 中，给出 |，等于已知.ABCD是矩形;（11）在 AB中，给出 22OCBA，等于已知 是 ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点） ；（12） 在 C中，给出 0，等于已知 O是 的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点） ；（13）在 中，给出 ，等于已知 是ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点） ；（14）在 中，给出 OAP()|BC)(R等于已知P通过 的内心；（15）在 中，给出 ,0cba等于已知 O是 ABC的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点） ；（16） 在 ABC中，给出 12DABC,等于已知 D是 中BC边的中线;