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1、.高等数学下册试题库一、填空题1. 平面 与直线 平行的直线方程是_01kzyx12zyx2. 过点 且与向量 平行的直线方程是_),4(M),(a3. 设 ，且 ，则 _kibjiab4. 设 ，则 _1)(,2|,3|a),(5. 设平面 通过原点，且与平面 平行，则0DzByAx 0526zx_,_,6. 设直线 与平面 垂直，则)1(21zm3zyx,7. 直线 ，绕 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_0yxz8. 过点 且平行于向量 及 的平面方程是_)1,2(M)1,2(a)4,03(b9. 曲面 与平面 的交线在 面上的投影方程为_2xz5zxoy10. 幂级数 的收敛半径是_

2、1n11. 过直线 且平行于直线 的平面方程是32xzy1 3 02xyz_12. 设 则),ln(),(xf _)(yf13. 设 则,arctyz _,yzz14. 设 则 _,),(2xxf),(xf15. 设 则 _yzdz.16. 设 则 _,),(32yxf)2,1(|dz17. 曲线 ，在对应的 处的切线与平面tttcosinsico0t平行，则 _0zB18. 曲面 在点 处的法线与平面 垂直，则2yx),1( 1zByAx_A_19. 设 ， ，则 =_， =_2,01a,3bbaba20. 求通过点 和 轴的平面方程为_)4(Mz21. 求过点 且垂直于平面 的直线方程为_

3、,0 02yx22. 向量 垂直于向量 和 ，且与 的数量积为 ，则向量d1,32a3,b1,2c6=_23. 向量 分别与 垂直于向量 与 ，则向量 与 的夹角为_b57ab4a24. 球面 与平面 的交线在 面上投影的方程为 _922zyx1zxxOy25. 点 到直线 ： 的距离 是_)1,(0Ml03yd26. 一直线 过点 且平行于平面 ： ，又与直线 ：l0,242zxl相交，则直线 的方程是_11xyxl27. 设 _b3a2则,ba2,5,a 28. 设知量 满足 ，则b, 1,3, ,29. 已知两直线方程 ， ，则过 且平行 的平面方3z02y1x:L1zy2xL:L2程是

4、_30. 若 ， ，则 ， _2ba(),baba31. _. =_xz,y则 yz.32. 设 _2,1z,xy,sin1yz x32 则33. 设 则 lx,u _du34. 由方程 确定 在点 全微分 _2zyz2y,z1,0dz35. ，其中 可微，则 2xfyuf _x36. 曲线 在 平面上的投影曲线方程为 _1,2zOy37. 过原点且垂直于平面 的直线为_0z38. 过点 和 且平行于 轴的平面方程为 _)2,3(5,(x39. 与平面 垂直的单位向量为_6zyx40. , 可微，则 )(z2u_yzx241. 已知 ，则在点 处的全微分2lnyx)1,(d42. 曲面 在点

5、处的切平面方程为3ez0_43. 设 由方程 ，求 =_. zxyex44. 设 ，其中 二阶可导， 具有二阶连续偏导数 有gfz,2tfvug,=_yx45. 已知方程 定义了 ，求 =_zlnyx.2z46. 设 ， ， ，其中 ， 都具有一阶连续偏导数，yxfu.02eyxsinf且 ，求 =_0zd47. 交换积分次序 _210),(yxf.48. 交换积分次序 =_dxyfdyxyfd21010 ),(),(49. 其中_xeIDy 10,yD50. ，其中 D 是由两坐标轴及直线 所围)23(d 2yx51. ，其中 D 是由 所确定的圆域I_12xyD 4252. ，其中 D：_

6、da 2ayx53. ，其中 D 是由 所围成的区域I_)6(xyD 1,5,y54. 20xyde_55. _)(2211x56. 设 L 为 ，则 按 L 的逆时针方向运动一周所作的功为9y jxiyxF)4()2(2._57. 曲线 点处切线方程为_1,73xz2在58. 曲面 在（2，1，3）处的法线方程为_y59. ，当 p 满足条件 时收敛1n60. 级数 的敛散性是_12nn61. 在 x=-3 时收敛，则 在 时 nxa1 nxa1362. 若 收敛，则 的取值范围是 _ln63. 级数 的和为 )21(1nn64. 求出级数的和 =_1n.65. 级数 的和为 _02)3(l

7、n66. 已知级数 的前 项和 ，则该级数为_1nu1ns67. 幂级数 的收敛区间为 nx1268. 的收敛区间为 ，和函数 为 12n )(xs69. 幂级数 的收敛区间为 0)1(npx70. 级数 当 a 满足条件 时收敛01n71. 级数 的收敛域为 _214nnx72. 设幂级数 的收敛半径为 3，则幂级数 的收敛区间为 _0na 11()nnax73. 展开成 x+4 的幂级数为 ，收敛域为 21)(2xf74. 设函数 关于 的幂级数展开式为 _，该幂级数的收敛区间为 )ln(x_ 75. 已知 ，则 _1lllzyx zy76. 设 y ,那么 _， _xz)1(2zy77.

8、 设 是由 及 所围成的闭区域，则 _Dxy3Ddx78. 设 是由 及 所围成的闭区域，则 _| 1|x79. _,其中 为圆周Cds)(2 C)20(in,cotaytx.80. _,其中 是抛物线 上从点 到点 的一段弧。Ldxy)(2 L2xy0,4,2二、选择题1. 已知 与 都是非零向量，且满足 ，则必有（ ）abba(A) ； (B) ； (C) (D)00002. 当 与 满足（ ）时，有 ； ( 为常数)； ； (A)ab(B)ab(C)ab(D)ab3. 下列平面方程中，方程( )过 轴；y(A) ； (B) ； (C) ； (D) 1zyx0zx0zx1zx4. 在空间直

9、角坐标系中，方程 所表示的曲面是( )；2(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面5. 直线 与平面 的位置关系是( )12zyx1zyx(A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为 ； (D) 夹角为 446. 若直线(2 +5) +( -2) +4=0 与直线(2- ) +( +3) -1=0 互相垂直，则（ ）：axay(A). =2 (B). =-2 (C). =2 或 =-2 (D). =2 或 =0a7. 空间曲线 在 面上的投影方程为( )5,22zyxOy(A) ； (B) ； (C) ；(D)72yx72072zyx022zyx8. 设

10、 ，则关于 在 0 点的 6 阶导数 是（ ）21cos,0,xfxfx6f(A)不存在 (B) (C) (D)16!1561569. 设 由方程 所确定，其中 可微， 为常数，则必有（ ),(yxz0),(bzyaxF),(vuFba,）(A) (B) 1ybxa 1yzax(C) (D) zb.10. 设函数 ，则函 在 处（ ）0,01sin, 2yxyxyxf yxf,0,(A)不连续 (B)连续但不可微 (C)可微 (D)偏导数不存在11. 设函数 在点 处偏导数存在，则 在点 处 ( )yxf,0,f,0,(A).有极限 (B).连续 (C).可微 (D).以上都不成立 12. 设

11、 ，则 ( )dteyx20x(A). -x4y2(B). -x4y22xy (C). -x4y2(-2t) (D). -x4y2(-2x2y)eee13. 已知 在 处偏导数存在，则 xf,ba, hbaffh ,lim0(A).0 (B). (C). (D).fx2 bafx,fx,14. 设 ，则在 点关于 叙述正确的是（ ）0,0),(22yxyf ),(),(yf(A) 连续但偏导也存在 (B) 不连续但偏导存在(C) 连续但偏导不存在 (D) 不连续偏导也不存在15. 函数 极限( ) 0,yx0y4x,f 22在(A).0 (B).不存在 (C).无法确定 (D).以上都不成立1

12、6. 设 ，则4arctnxyzxz(A) (B) )(12)4(1xy(C) (D) 2)4(secxy 2)(xy17. 关于 的方程 有两个相异实根的充要条件是( )21xk(A).- (B). - k 22(C).1 (D). 1kk.18. 函数 ，则函 在 处（ ）0,01sin, 2yxyxyxf yxf,0,(A).不连续 (B)连续但不可微 (C).可微 (D).偏导数不存在19. 设 = ，则 = ( )xyf,2sinyxf(x)x(A). + (B) 2siny2co2x 21sinyx(C). (D).21i2co20. 函数 在点 处 ( )2yxz0,(A).不连

13、续 (B)连续且偏导数存在 (C).取极小值 (D).无极值21. 设 ,则 = ( )yzlnxz2(A).0 (B)1 (C). (D).112y22. 设 则 + = ( )2zxyfzzx yzy(A). (B) (C). (D).x 2zxyf23. 若函数 在点 处取极大值，则 ( )f,0,(A). , 0yxyxf(B)若 是 内唯一极值点，则必为最大值点,D(C). 0,0, 00020 yxfyxfyxfyxf 且D、以上结论都不正确24. 判断极限 yxy0lim(A).0 (B)1 (C).不存在 (D).无法确定25. 判断极限 20liyxy(A).0 (B)1 (

14、C).不存在 (D).无法确定.26. 设 可微， ，则yxf,43,xf3,1xf(A).1 (B)-1 (C).2 (D).-227. 设 ，其中 是由方程 确定的隐函数，则xezf2, yg, 0xyz,0x(A).0 (B)-1 (C).1 (D).-228. 设 是 次齐次函数，即 ，其中 为某常数，则下列结论正确的是zyf,kzyxftztyxfk,k（ ）(A) (B)zfzyfxt, zyxftzyfxk,(C). (D).yxkff, ff,29. 已知 ，其中 是正方形域： ，则( )dyID22sincoD10,yx(A). B (C). (D).11I20I2I30.

15、设 ，其中 是由 以及 围成在，则uvyfxyfD,4,2 ,xyxy,(A). (B) (C). (D).4y4x8y31. 设 ， ，则下列0,|,22ax0,|,221 xyax命题不对的是：（ ）(A). (B) 122DDydy122DDdy(C). (D).1xdx 0dx32. 设 是连续函数，当 时， ，则yf,0t22,toyftyx 0,f(A).2 (B)1 (C).0 (D).133. 累次积分 可写成（ ）rdrfdcos02sin,(A). (B) xyfy201, dxyfy210,.(C). (D).dyxf10, dyxfd201,34. 函数 的极值为（ ）

16、24yx(A).极大值为 8 (B)极小值为 0 (C).极小值为 8 (D).极大值为 035. 函数 在附加条件 下的极大值为（ ）xyz1(A). (B) (C). D1212436. ，其中 由 所确定的闭区域。deDyx yx(A). (B) (C). (D).011e2e37. ，其中 的大小关系DDdxyIxyI23)()(与 2)1()2(yx：为:（ ） 。(A). (B). (C). (D). 无法判断21I21I21I38. 设 连续,且 ,其中 D 由 所围成,则)(yxf Dduvfxyf),(),( 1,02xy,(A). (B). (C). (D). xyxy21

17、81xy39. 的值是( )dyx152(A) (B) (C) (D) 367101040. 设 是 所围成区域, 是由直线 和 轴, 轴所围成的区域，则 Dyx1Dyxyd1(A) (B) 0 (C) (D) 2xyD14dxyD1241. 半径为 均匀球壳 对于球心的转动惯量为（ ）a)1(A) 0 (B) (C) (D) 424a46a42. 设椭圆 ： 的周长为 ，则 （ ）L13yxlLdsyx2)3(A) (B) (C) (D) ll4l143. 下列级数中收敛的是（ ）.（A） （B） （C） (D)184n184nn1842nn1842n44. 下列级数中不收敛的是（ ）（A）

18、 （B） （C） （D）)(l1n13n1)2(n14)(3nn45. 下列级数中收敛的是（ ）（A） （B） （C） （D）1n1)2(n13n1)3(n46. 为正项级数，下列命题中错误的是（ ）1nu(A)如果 ，则 收敛。 (B) ，则 发散1limnnu1lim1nunu(C) 如果 ，则 收敛。 (D)如果 ，则 发散1nu1n 1n1n47. 下列级数中条件收敛的是（ ）（A） （B） (C） （D）n)(121)(n)(1n )1()1nn48. 下列级数中绝对收敛的是（ ）（A） （B） （C） （D）n)(121l)(n1)(n21l)(n49. 当 收敛时， 与 （ ）)

19、(1nnba1na1nb（A）必同时收敛 （B）必同时发散 （C）可能不同时收敛 (D)不可能同时收敛50. 级数 收敛是级数 收敛的（ ）12n14n（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件51. 为任意项级数，若 且 ，则该级数（ ）1nana10limna（A）条件收敛 （B）绝对收敛 （C）发散 （D）敛散性不确定52. 下列结论中，正确的为（ ） （A）若 发散，则 发散 ； （B）若 收敛，则 发散 1nu1n)0(nu1nu1n)0(nu.（C）若 收敛，则 收敛；1nu110)(nu（D）若 与 发散，则 发散1n1nv1)(nn

20、v53. 函数 的麦克劳林展开式前三项的和为（ ） xf)(（A） ； （B） ； （C） ； （D）2431x2431x2831x2831x54. 设 ， ，则下列命题正确的是（ ） |nap|,naq（A）若 条件收敛，则 与 都收敛；1n1np1（B）若 绝对收敛，则 与 都收敛；1na1n1q（C）若 条件收敛，则 与 的敛散性都不定；1n1np1（D）若 绝对收敛，则 与 的敛散性都不定.1na1n1q55. 设 , 则（ ）(A) 与 都收敛. (B) 与 都发散 .(C) 收敛, 而 发散. (D) 发散, 收敛56. 75、 若 在 处收敛, 则此级数在 处（ ）(A) 条件收

21、敛, (B) 绝对收敛, (C) 发散, (D) 收敛性不确定57. 设幂级数 的收敛半径为 3, 则幂级数 的必定收敛的区间为 （ ）(A) ( 2, 4) (B) 2, 4 (C) (3, 3) (D) (4, 2)58. 若幂级数 的收敛半径为 ，则幂级数 的收敛开区间为（ ） （A）nxa1Rnnxa21.（B） （C） （D ）R,R1,R2,59. 级数 的收敛区间（ ）1)5(nnx（A） （4，6） （B） （C） （D）4，66,46,460. 若级数 的收敛域为 ，则常数 =（ ）12)(nnax,3a（A）3 （B）4 （C）5 （D）以上都不对61. 若幂级数 在 处收

22、敛，则该级数在 处（ ）nnx112x（A）条件收敛 （B）绝对收敛 （C）发散 （D）敛散性不能确定62. 函数 展开成 的幂级数为（ ）2)(xef（A） （B） （C） （D）02!n02!)1(nnx0!nx0!)1(nnx63. 函数 展开成 的幂级数是（ ）24xf（A） （B） （C） （D）n21nn21)(nx2nnx22)1(64下列各组角中，可以作为向量的方向角的是（ ）（A） ， ， （B） ， ，3434（C） ， ， （D） ， ，6265向量 与 轴垂直，则（ ）zyxa,（A） （B） （C） （D） 0xa00za0xya66设 ，则有（ ）1,1b（A） （

23、B） （C） （D）a/332,b67直线 与直线 关系是( )12zyx10zyx(A) 垂直； (B) 平行； (C) 重合； (D) 既不平行也不垂直68柱面 的母线平行于（ ）02x.（A） 轴 （B） 轴 （C） 轴 （D） 面yxzzox69设 均为非零向量，则（ ）cba,（A） （B） （C） （D）)/()(cbacb70函数 的定义域为（ ）xylnz（A） （B） 0, 0,0,yxyx或（C） （D） 或yx 71 ，则2,f1,xyf（A） （B） （C） （D）2yxy2x421x72下列各点中，是二元函数 的极值点的是（ ）yxf 93,3（A） （B） （C）

24、（D）1,31,1,73 （ ）dyxd2021（A） （B） （C） （D）334674设 是由 ， 所围成的闭区域，则 （ ）Dx1ydxyD2（A） （B） （C） （D）0 3481675设 是由 所确定的闭区域，则 （ ）yx0, xyyDcos（A） 2 （B） （C） （D）0 2三、计算题1、下列函数的偏导数（1） ； （2） ；6245yxz )ln(22yxz（3） ； （4） ；y (cossi（5） ； （6） ；)sin(coeyxzx yz2ta（7） ； （8） ；ysix)1(.（9） ； （10） ；)ln(yxz xyz1arctn（11） ； （12） (

25、13)(2ezu zyu； （14） ；21yx（15） （ 为常数） ； （16） 且为常数。niia1i jiijnjijiayxa,1,（17） ；求tytxezyx,s,2 ttezyx,s2 zd2设 ，求 及 。2),(f)4,3(xf),(yf3设 ，验证 。2eyxz0yz4求下列函数在指定点的全微分：（1） ，在点 ；23),(xf),1(（2） ，在点 ； 1ln(yx4（3） ，在点 和 。2si),(f),0,5求下列函数的全微分：（1） ； （2） ；xyz xyze（3） ； （4） ；2（5） ； （6） 。22zyxu )ln(2zyxu6验证函数 在原点 连续

26、且可偏导，但它在该点不可0,0,),( 22yxf ,微。7验证函数 的偏导函数0,0,1sin)(),( 222 yxyxyf在原点（0，0）不连续，但它在该点可微。,),(xffyx8计算下列函数的高阶导数：（1） ，求 ；yzarctn22,yzxz（2） ，求 ；)cos()si(x2,yzx（3） ，求 ；yze232,yz（4） ，求 ；)ln(cbaxu24,xu.（5） ，求 ；qpbyaxz)(qpyxz（6） ，求 。ttt ,1,23n2 rqpzyxu（7） ，求 ；xysiud9. 计算下列重积分:（1） ,其中 是矩形闭区域: , （2） ,其中 是矩形闭区域: ,

27、 （3） ,其中 是顶点分别为 (0,0), 和 的三角形闭区域.（4） ,其中 是由两条抛物线 , 所围成的闭区域.（5） ,其中 是由 所确定的闭区域.（6） 改换下列二次积分的积分次序 （7） （8） （9） ,其中 是由圆周 所围成的区域.（10） ,其中 是由圆周 及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域.（11） ,其中 是由直线 , 及曲线 所围成的闭区域（12） ,其中 是由圆周 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.（13） ,其中 是由直线 , , , 所围成的闭区域.（14） ,其中 是圆环形闭区域: （15） ,其中 是平行四边形闭区域,它的四个顶点是 , , 和 .（16）

28、 ,其中 是由两条双曲线 和 ,直线 和 所围成的在第一象限内的闭区域.（17） ,其中 是由 轴, 轴和直线 所围成的闭区域（18） ,其中 为椭圆形闭区域 （19） 化三重积分 为三次积分,其中积分区域 分别是(1) 由曲面 及平面 所围成的闭区域在一卦限内的闭区域。(2) 由曲面 (c0), , 所围成的在第一卦限内的闭区域.（20）计算 ,其中 为平面 , , , 所围成的四面体.（21）计算 ,其中 是由平面 , , ,以及抛物柱面 所围成的闭区域.（22）计算 ,其中 是由锥面 与平面 所围成的闭区域.（23）利用柱面坐标计算下列三重积分(1) ,其中 是由曲面 及所围成的闭区域(

29、2) ,其中 是由曲面 及平面 所围成的闭区域（24）利用球面坐标计算下列三重积分(1) ,其中 是由球面 所围成的闭区域.(2) ,其中闭区域 由不等式 , 所 确定.25.选用适当的坐标计算下列三重积分(1) ,其中 为柱面 及平面 , , 所围成的在第一卦限内的闭区域(2) ,其中 是由球面所围成的闭区域(3) ,其中 是由曲面及平面 所围成的闭区域.(4) ,其中闭区域 由不等式., 所确定.26.利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积(1) 及(含有 轴的部分 ).(2) 及 二. 曲线积分1计算下列对弧长的曲线积分(1) ,其中 为圆周 , (2) ,其中 为连接(1,0)及

30、(0,1)两点的直线段(3) ,其中 为由直线 及抛物线 所围成的区域的整个边界.(4) ,其中 为圆周 ,直线 及 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.(5) ,其中 为曲线 , , 上相应于 从 0 变到 2 的这段弧.(6) ,其中 为折线 ,这里 , , , 依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2).(7) ,其中 为摆线的一拱 , (8) ,其中 为曲线 , 2计算下列对坐标的曲线积分(1) ,其中 是抛物线 上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧.(2) ,其中 为圆周 及 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行).(3) ,其中

31、为圆周 (按逆时针方向绕行).(4) ,其中 为曲线 , , 上对应 从 0 到 的一段弧.(5) ,其中 是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线(6) ,其中 是抛物线 上从点 到点(1,1)的一段弧.3. 计算 ,其中 是(1) 抛物线 上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧.(2) 从点(1,1)到点(4,2)的直线段(3) 先沿直线从点(1,1)到点(1,2),然后再沿直线到点(4,2)的折线.(4) 曲线 , 上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧.4.把对坐标的曲线积分 划成对弧长的曲线积分,其中 为(1) 在 面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)(2) 沿抛物线 从点

32、(0,0)到点(1,1)(3) 沿上半圆周 从点(0,0)到点(1,1)5.计算下列曲线积分,并验证格林公式的正确性.(1) ,其中 是由抛物面 和 所围成的区域的正向边界曲线.(2) ,其中 是四 个顶点分别为(0,0),(2,0),(0,2)和(2,2)的正方形区域的正向边界.6.利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形的面积.(1) 星形线 , (2) 椭圆 7.证明下列曲线积分在整个 面内与路径无关,并计算积分值(1) (2) 8.利用格林公式,计算下列曲线积分(1) ,其中 为三顶点分别为(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界(2) ,其中 为正向星形线(3) ,其中 为在抛

33、物面 上由点(0,0)到 的一段弧(4) ,其中 是在圆周 上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧9.验证下列 在整个 平面内是某一函数 的全微分,并求这样的一个 (1) (2) (3) 第三部分 级数1. 判别下列级数的收敛性(1) .(2) (3) (4) 2. 用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛性(1) (2) (3) (4) 3. 用比值审敛法判别下列级数的收敛性（1） （2） （3） 4用根值审敛法判别下列级数的收敛性(1) (2) (3) ,其中 , , , 均为.正数.5.判别下列级数的收敛性(1) (2) (3) (4) 6.判别下列级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收

34、敛还是条件收敛?(1) (2) (3) (4) 7.求下列幂级数的收敛区间(1) (2) (3) (4) (5) .(6) 8.利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数.(1) (2) (3) 9.将下列函数展开成 的幂级数,并求展开式成立的区间.(1) (2) (3) (4) 10.将 展开成 的幂级数,并求展开式成立的区间.11.将函数 展开成 的幂级数.12.将函数 展开成 的幂级数.13.将函数 展开成 的幂级数.14.利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值.(1) (误差不超过 0.0001);(2) (误差不超过 0.00001)(3) (误差不超过 0.0001).15.利用

35、被积函数的幂级数展开式求下列定积分的近似值.(1) (误差不超过 0.0001)16.将函数 展开成 的幂级数17.下列周期函数 的周期为 ,试将 展开成傅里叶级数,如果 在 上的表达式为(1) (2) (3) ( 为常数,且)18.将下列函数展开成傅里叶级数(1) (2) 19.将函数 展开成傅里叶级数.20.设 是周期为 的周期函数,它在 上的表达式为将 展开成傅里叶级数.21.将函数 展开成正弦函数.22.将函数 分别展开成正弦技术和余弦级数23.将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个周期内的表达式)(1) (2) (3) 24.将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数(1)

36、 (2) 25.设 是周期为 2 的周期函数,它在 上的表达式为 ,试将 展开成复数形式的傅里叶级数.26设 是周期为 的周期函数,已知它的傅里叶级数的复数形式为试写出的傅里叶级数的实数形式(即三角形式)四、 证明题1三角形的三条 垂线交于一点。 （提示：用向量方法）2设其中 是导数存在的一元函数，证明函数 满足方程),(2yxfzf z。2z.3证明 不存在。yxylim04设 证明,122zru.022zuyx5证明：曲面 的任一切平面与坐标面形成的四面体体积为常数。xyz6设 ，22210()sin,xyf(,),证明： 但不连续。） 偏 导 数 存 在，在 原 点 （),(yxf7证明

37、不等式。221 01D(sinco)dxy,D:x,y中8证明曲线积分 与路径无关，其中 是由点dyIL)(42 L（0，0） 到（1，1）的曲线 ，并计算 的值。xysinI9若级数 收敛，证明 收敛。)0(1na21na10. 已知级数 和 都收敛，证明级数 绝对收敛。21n21nbnb1五、 应用题1 求曲线 与平面 平行的切线。32,tzytx42zyx2 用对称式方程及参数方程表示直线 013 曲面 在点（1，2，0）处的切平面方程和法线方程。3xyez4 求曲面 及 所围成的立体的体积。22yz5 求由曲面 及 所围成图形的体积。ayxax6求位于两圆 和 之间的均匀薄片的重心位置

38、。4)2(21)(22y7试分解已知正数 为三个正数之和，而使它们的倒数之积最小。8在第一卦限内作椭球 的切平面，使得切平面与三坐标面围成的体积最小，求切点的坐标。22czbyax.9设生产某种产品必须投放入两种要素， 和 分别为两要素的投入量，Q 为产出量，若生产函数1x2x，其中 为正常数，且 假设两种要素的价格分别为 试问，当产出量为 1212abQx,ab,21p时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小。10某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 ，销售量分别为 需求函数及总成本函数21,p,21q分别为 ，试问厂家如何确定两个市场的售)(4035,0.1,2.04 221 Cqpq 价，能使其获得的总利润最大？最大总利润为多少？11求级数 的和。1n12计算积分 的近似值。dxe1.013将函数 展开 的幂级数。2)(fx14设有一个无盖圆柱形容器，容器的壁与底的厚度均为 0.1cm,内高为 20cm，内半径为 4cm,求容器外壳体积的近似值。15设曲线积分 与路径无关，其中 具有连续的导数，且 ，计算dyxxyL)(2 )(x0)(。d10,，