1、第一节 导数的概念,一、导数概念的引例 二、导数的概念与几何意义 三、可导与连续的关系 四、小结,一、导数概念的引例,例1,变速直线运动的速度,-,-,播放,例2,平面曲线的切线斜率,切线？,如图,如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,极限位置即,二、导数的概念与几何意义,1.导数的概念,定义1,其它形式:,即,关于导数的说明：,注意:,右导数:,左导数:,单侧导数,定义2,步骤:,2.用定义求导数,例3,解,更一般地,例如,例4,解,例5,解,例6,解,例7,解,3.导数的几何意义,切线方程为:,法线方程为:,解 因 ，由导数几何意义,曲线在 的切
2、线与法线的斜率分别为于是所求的切线方程为 ， 即 法线方程为 ， 即 ,例8 求曲线 在点 处的切线和法线方程,三、可导与连续的关系,证,定理2 如果函数 在点 处可导，则 在点 处连续,注意：定理2的逆命题不成立.,例9,因为,则,而,证,1. 导数的实质:增量比的极限;,3. 导数的几何意义:切线的斜率;,5. 函数可导一定连续,但连续不一定可导。,4. 求导数最基本的方法:由定义求导数;,四、小结,例2,平面曲线的切线斜率,切线？,例2,平面曲线的切线斜率,切线？,例2,平面曲线的切线斜率,切线？,例2,平面曲线的切线斜率,切线？,例2,平面曲线的切线斜率,切线？,例2,平面曲线的切线斜
3、率,切线？,例2,平面曲线的切线斜率,切线？,例2,平面曲线的切线斜率,切线？,播放,例2,平面曲线的切线斜率,切线？,例2,平面曲线的切线斜率,切线？,第二节 求导法则,一、函数的和、差、积、商的求导法则 二、复合函数的求导法则 三、反函数的导数 四、初等函数的导数 五、隐函数和由参数方程确定的函数的导数,设函数 与 在点 处均可导，则它们的和、差、积、商（当分母不为零时）在点 处也可导，且有以下法则,一、函数的和、差、积、商的求导法则,定理1,(1)求增量:给自变量一个增量 ，则,证(1)、(2)略.,证(3),令,(2)算比值:,(3)取极限:因在点 处可导，则在该点处必连续，故当 时,
4、 ， .,又当 时，,所以，,特别地，若 则可得公式,定理推广：,解,例2 设 ,求 解,用类似地方法，可得,解,例3 求 的导数,即,例4 求 的导数, 用类似地方法，可得,即,解,定理2,即由外层向内层逐层求导再相乘（链导法）,或,或,二、复合函数的求导法则,证,如三层复合，,或,或,推广 对于多次复合的函数，其求导公式类似，,解 可看作是由 复合而成的，因此,例5 设 ，求 ,例6 设 ，求 ,解,三、反函数的求导法则,即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,因 是 的反函数，故可将函数 中的 看作中间变量，从而组成复合函数 上式两边对 求导，应用复合函数的链导法，得,证,或,因此,是
5、 的反函数，而在区间 内单调且可导，且 ，因此在对应的区间内，有,解,即,同理可得,是 的反函数，而 在区间 内单调且可导，且,因此在对应的区间上，有,解,即,同理可得,1.常数和基本初等函数的导数公式,四、初等函数的导数,2.函数的和、差、积、商的求导法则,3.复合函数的求导法则,注意：(1)利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.,(2)初等函数的导数仍为初等函数.,解,所以,例10,解,函数 可以写成,所以,将函数 两边取自然对数，即 两边对 求导，注意左端的 是 的函数，由链导法，有,因此,方法2,方法2称为对数求导法，一般地对于函数,（称为幂指函数）,对数求导法除适用于幂指函数
6、外，还适用于多个因式连乘的函数,解,等式两边取对数得,例12,五、隐函数和由参数方程确定函数得导数,定义:,隐函数的显化,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,1.隐函数的导数,例1,解,解得,例2,解,所求切线方程为,显然通过原点.,2.由参数方程所确定的函数的导数,例如,消去参数,问题: 消参困难或无法消参如何求导?,由复合函数及反函数的求导法则得,例6,解,所求切线方程为,于是所求的切线方程为,六、高阶导数,如果函数 的导函数 仍是 的可导函数，就称 的导数为函数 的二阶导数,记作,或,即,或,类似地，这个定义可推广到的更高阶的导数,而加速度 是速度对时间的导数,是位置函数对时间的二
7、阶导数,即 ,二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.,二阶导数有明显的物理意义:考虑物体的直线运动，设位置函数为,则速度为,如 阶导数,例16 设 ，求,解,特别地，,根据高阶导数的定义，求函数的高阶导数就是将函数逐次求导，因此，前面介绍的导数运算法则与导数基本公式，仍然适用于高阶导数的计算,例17 求 次多项式函数 的 阶导数（ 是正整数）,解,例18 设 ，求,解,即,同理可得,第三节 微 分,一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的运算法则 四、微分在近似法则中的应用,例1 设有一个边长为 的正方形金属片，受热后它的边长伸长了 ，问其面积增加了多少？,一、微分的概念,受热后，当边长由
8、 伸长到 时，面积 相应的增量为,从上式可以看出, 可分成两部分:,这表明，当 很小时，(2)的绝对值要比(1)的绝对值小得多，可以忽略不计，即可用（2)作为 的近似值：,定义1 设函数 在点 的某邻域内有定义，如果函数 在点 处的增量 可以表示为 ，其中 是与 无关的常数， 是当 时比 高阶的无穷小，则称函数 在点 处可微， 称为 在点 处的微分，记作,或,于是,由此引进函数微分的概念：,导数一种比值的极限，即函数增量与自变量增量之比当自变量增量趋于零时的极限.,微分函数增量的近似值，即自变量取得微小增量时函数值增量的近似值.,那么，导数与微分之间存在什么样的联系呢？,于是,可微函数：如果函
9、数 在区间 内每一点都可微，则称该函数在 内可微，或称函数 是在 内的可微函数此时，,函数 在 内任意一点 处的微分记 为 ，即,由此有，,因此，通常把函数的导数与微分的运算统称为微分法在高等数学中，把研究导数和微分的有关内容称为微分学,因此，微分与导数紧密相关，求出了导数立即可得微分，求出了微分亦可得导数，,例2 求函数 当 ， 时的微分,解 函数在任意点的微分,于是,例3 半径为 的圆的面积为 当半径增大 时，求圆面积的增量与微分,面积的微分为,当自变量 有增量 时，切线 的纵坐标相应地有增量,二、微分的几何意义,过曲线 上一 点作切线 ，设 的 倾角为 ，则,当 有增量 时，曲线 在对应点处的切线的纵坐标的增量 ,因此，微分 几何上表示:,用 近似代替 ,就是用曲线 在点 处的切线纵坐标的增量近似代替曲线 的纵坐标的增量.,三、微分的运算法则,1基本初等函数的微分公式,2函数的和、差、积、商的微分运算法则,设函数 ， 均可微，则,（ 为常数）,3复合函数的微分法则,而,于是,设函数 都是可导函数，则复合函数 的微分为,解,导数为,微分为,四、微分在近似计算中的应用,这些公式都可用来求函数 的近似值.,若,应用 可以推得一些常用的近似公式,当 很小时,有,另外，,于是，得,即,则,
