1、1.1.3导数的概念2,苏教高中数学选修2-2,2019年5月5日星期W,3y=f(x)在点P(x0, y0)处的切线的斜率,复习提问,注意：,1.导数的概念,定义：设函数y=f (x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在点x0处有改变量x时函数有相应的改变量y=f(x0+ x)- f(x0).如果当x0 时,y/x的极限存在,这个极限就叫做函数f (x)在点x0处的导数(或变化率)记作 即:,数学理论梳理,如瞬时速度就是位移函数s (t)对时间t的导数.,是函数f (x)在以x0与x0+x 为端点的区间x0,x0+x(或x0+x,x0)上的平均变化率,而导数则是函数f (x)在点x0 处的
2、变化率,它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度,如果函数y=f (x)在点x=x0存在导数,就说函数y= f (x)在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数 f (x)在点x0处不可导.,由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:,2、函数在一区间上的导数：,如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导,就说f(x)在开区间 (a,b)内可导.这时,对于开区间 (a,b)内每一个确定的值 x0,都对应着一个确定的导数 f /(x0),这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，记作,
3、即,f (x0)与f (x)之间的关系：,1、y=f (x)是y=f(x)的导函数,注意：,2、f (x0)是y=f(x)在点x0处的导数值,也即f (x)在点x0处的函数值,（是一个函数）,（是一个常数）,切线方程为,4.导数的几何意义,巩3设f(x)为可导函数,且满足条件 ,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率.,故所求的斜率为-2.,巩固4,对于导数定义以及几何意义的说明：,注意(1)函数应在点 的附近有定义，否则导数不存在; (2)在定义导数的极限式中， 趋近于0且可正、可负,但不为0，而 可能为0;是函数对自变量在某范围内的平均变化率,其几何意义 是过曲线上点( )及点
4、( )的割线斜率;(4)导数 是函数 在点 处瞬时变化率,它反映函数 在点 处变化快慢程度.,它的几何意义是曲线 上点（ ）处的切线的斜率.如果 在点 可导,则曲线 在点（ ）处的切线方程为 (5)导数是一个局部概念，它只与函数 在 及其附近的函数值有关，与 无关. (6)在定义式中,设 ,则 ,当 趋近于0时， 趋近于 ，因此，导数的定义式可写成,(7)若极限 不存在，则称函数 在点 处不可导; (8)若 在 可导，则曲线 在点（ ）有切线存在，反之不然， 若曲线 在点（ ）有切线， 函数 在( )不一定可导,并且,若函数在 不可导，曲线在点( )也可能有切线.,Ex4判断下列各命题的真假:
5、(1)已知函数y=f (x)的图象上的点列P0,P1,P2,P3,Pn,则过P0与Pn两点的直线的斜率就是函数在点P0处的导数.,答:由函数在点P0处的导数的几何意义知:函数在点P0处的导数是过P0点曲线(即函数y=f (x)的图象)的切线的斜率,而不是割线P0Pn的斜率,故它是一个假命题.,(2)若物体的运动规律是S=f (t),则物体在时刻t0的瞬时速度V等于,答:由于它完全符合瞬时速度的定义,故它是一个真命题.,答:它是一个假命题.例如,函数 在x=0处连续,但它在x=0处的导数不存在.,(4)设是函数y=f(x)的图象上的三点,且函数在P1,P2,P3三点处的导数均存在.若 ,则必有,
6、答: ,由于f (x)的导函数 未必是单调增函数.因此,不一定成立,例如f (x)=x3,则 显然有故是假命题.,(3)若函数y=f(x)的定义域为A,则对任一 只要函数在x0处连续,则 就必存在.,二、函数的可导与连续,2、如图：,即：可导一定连续，连续不一定可导.,D,C,练习1,(3)函数y=f(x)在x=x0处可导是它在x=x0处连续的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,A,例1 判断函数y=|3x-1|在x=1/3处是否可导.,从而函数y=|3x-1|在x=1/3处不可导.,注:这是一个函数在某点连续但不可导的例子.,例题选讲,Ex
7、2:函数f (x)=|x|(1+x)在点x0=0处是否有导数?若有,求出来,若没有,说明理由.,故函数f(x)=|x|(1+x)在点x0=0处没有导数,即不可导.,例2 证明:(1)可导的偶函数的导函数为奇函数;(2)可导的奇函数的导函数为偶函数.,证:(1)设偶函数f (x),则有f (-x)=f (x).,(2)仿(1)可证命题成立,在此略去,供课后练习用.,例题选讲,练习2,课堂小结,a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物理意义认识这一概念的实质，学会用事物在全过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。,b.要切实掌握求导数的三个
8、步骤：（1）求函数的增量；（2）算平均变化率；（3）找极限,得导数。,c.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的 区别与联系。,（1）函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数。,（2）函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数 。,（3）如果函数yf (x)在开区间(a ,b)内每一点都可导, 就说函数yf (x)在开区间(a ,b)内可导，这时,对于开区间内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数 ,这样就在开区间(a ,b)内 可构成一个新的函数,称作f (x)的导函数。,(4)函数f (x)在点x0处的导数 就是导函数在x=x0处的函数值，即 ,这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。,d.函数f (x)在点x0处有导数，则在该点处函数f (x)的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率;但函数f (x)的曲线在点x0处有切线，而函数f (x)在该点处不一定可导。如函数 在x=0处有切线，但不可导。,（1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线在点(x0,f(x0)的切线的斜率。,（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即,f.无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导数概念。,e.求切线方程的步骤：,
