1、1考点规范练 23 解三角形基础巩固1.在 ABC 中, c=,A=75,B=45,则 ABC 的外接圆的面积为( )A. B.C.2 D.42.(2017 安徽马鞍山一模) ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 a=,b=2,A=60,则 c=( )A. B.1 C. D.23.(2017 江西宜春中学 3 月模拟)在 ABC 中,已知 acos A=bcos B,则 ABC 的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形4.在 ABC 中, B=,BC 边上的高等于 BC,则 sin A=( )A. B.C. D.5.如图,两座
2、相距 60 m 的建筑物 AB,CD 的高度分别为 20 m,50 m,BD 为水平面,则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为( )A.30 B.45C.60 D.756.(2016 山西朔州模拟)在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若, b=4,则 ABC 的面积的最大值为( )A.4 B.2 C.2 D.7.已知 ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 =sin A-sin B,则 C= . 8.在 ABC 中, B=120,AB=,A 的角平分线 AD=,则 AC= . 9.如图所示,长为 3.5 m 的木棒 AB 斜靠在石
3、堤旁,木棒的一端 A 在离堤足 C 处 1.4 m 的地面上,另一端 B 在离堤足 C 处 2.8 m 的石堤上,石堤的倾斜角为 ,则坡度值 tan = . 210.已知岛 A 南偏西 38方向,距岛 A 3 n mile 的 B 处有一艘缉私艇 .岛 A 处的一艘走私船正以 10 n mile/h 的速度向岛北偏西 22方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用 0.5 h 能截住该走私船?能力提升11.(2017 全国 ,文 11) ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则 C=( )A. B.
4、 C. D.312.如图,已知 AB 是圆 O 的直径, AB=2,点 C 在直径 AB 的延长线上, BC=1,点 P 是圆 O 上半圆上的动点,以 PC 为边作等边三角形 PCD,且点 D 与圆心分别在 PC 的两侧,记 POB=x,将 OPC 和 PCD 的面积之和表示成 x 的函数 f(x),则当 y=f(x)取最大值时 x 的值为( )A. B. C. D.13.在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,如果 ABC 的面积等于 8,a=5,tan B=-,那么 = . 14.(2017 广东广州二模) ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b
5、cos C+bsin C=a.(1)求角 B 的大小;(2)若 BC 边上的高等于 a,求 cos A 的值 .高考预测15. ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 asin Asin B+bcos2A=a.(1)求;(2)若 c2=a2+b2,求角 C.答案：1.B 解析:在 ABC 中, c=,A=75,B=45,故 C=180-A-B=60.4设 ABC 的外接圆半径为 R,则由正弦定理可得 2R=,解得 R=1,故 ABC 的外接圆的面积 S= R2= .2.B 解析:由已知及余弦定理,得 3=4+c2-22c,整理,得 c2-2c+1=0,解得 c=1.故选
6、 B.3.D 解析: a cos A=bcos B, sin Acos A=sin Bcos B, sin 2A=sin 2B,A=B 或 2A+2B=180,即 A=B 或 A+B=90, ABC 为等腰三角形或直角三角形 .故选 D.4.D 解析:(方法一)记角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,则由题意,得 S ABC=aa=acsin B,即 c=a.由正弦定理,得 sin C=sin A.C=-A , sin C=sinsin A,即 cos A+sin A=sin A,整理,得 sin A=-3cos A. sin2A+cos2A=1, sin2A+sin2A=1,即 sin2
7、A=,解得 sin A=(排除负值) .故选 D.(方法二)记角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,则由题意得 S ABC=aacsin B,c=a.b 2=a2+-2a,即 b=.由正弦定理,得 sin A=.故选 D.5.B 解析:依题意可得 AD=20 m,AC=30 m,又 CD=50 m,所以在 ACD 中,由余弦定理,得 cos CAD=,又 00,所以 sin A+cos A=0,即 tan A=-1,因为 A(0,),所以 A=.由正弦定理,得,即 sin C=,所以 C=,故选 B.12.A 解析: S OPC=OPOCsin x=sin x,PC2=12+22-212c
8、os x=5-4cos x,S PCD=PC2sin(5-4cos x),f (x)=sin x+(5-4cos x)=2sin.故当 x-,即 x=时, f(x)有最大值,故选 A.13. 解析:在 ABC 中, tan B=-, sin B=,cos B=-.6又 S ABC=acsin B=2c=8,c= 4,b=.14.解:(1)因为 bcos C+bsin C=a,由正弦定理,得 sin Bcos C+sin Bsin C=sin A.因为 A+B+C=,所以 sin Bcos C+sin Bsin C=sin(B+C).即 sin Bcos C+sin Bsin C=sin Bco
9、s C+cos Bsin C.因为 sin C0,所以 sin B=cos B.因为 cos B0,所以 tan B=1.因为 B(0,),所以 B=.(2)设 BC 边上的高线为 AD,则 AD=a.因为 B=,则 BD=AD=a,CD=a.所以 AC=a,AB=a.由余弦定理得 cos A=-.15.解:(1) a sin Asin B+bcos2A=a, sin2Asin B+sin Bcos2A=sin A,即 sin B(sin2A+cos2A)=sin A, sin B=sin A,.(2)设 b=5t(t0),则 a=3t,于是 c2=a2+b2=9t2+25t2=49t2,即 c=7t.由余弦定理得 cos C=-.又 0C, C=.
