1、13.7 解三角形应用举例基础送分 提速狂刷练一、选择题1.如图，两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40，灯塔 B 在观察站南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的( )A北偏东 10 B北偏西 10C南偏东 80 D南偏西 80答案 D解析 由条件及题图可知， A B40，又 BCD60，所以 CBD30，所以 DBA10，因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80.故选 D.2(2017武汉模拟)海面上有 A， B， C 三个灯塔， AB10 n mile，从 A 望 C 和 B 成60视角，从 B 望 C 和 A 成 75视角，则 BC( )A10
2、 n mile B. n mile31063C5 n mile D5 n mile2 6答案 D解析 由题意可知， CAB60， CBA75，所以 C45，由正弦定理得 ，所以 BC5 .故选 D.10sin45 BCsin60 63(2018宜宾模拟)一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么 B， C 两点间的距离是( )A10 海里 B10 海里2 3C20 海里 D20 海里3 2答案 A解析 如图所示，易知，
3、在 ABC 中， AB20 海里， CAB30， ACB45，根据正弦定理，得2 ，BCsin30 ABsin45解得 BC10 (海里)故选 A.24(2017黄梅期中)如图，一栋建筑物 AB 的高为(3010 ) m，在该建筑物的正东3方向有一个通信塔 CD，在它们之间的地面上点 M(B， M， D 三点共线)处测得楼顶 A，塔顶 C的仰角分别是 15和 60，在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角为 30，则通信塔 CD 的高为( )A30 m B60 m C30 m D40 m3 3答案 B解析 设 AE CD，垂足为 E，则在 AMC 中， AM 20 ， AMC105， ACM30，A
4、Bsin15 6 ，ACsin105 206sin30 AC6020 ，3 CE3010 ，3 CD3010 3010 60，故选 B.3 35如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d0.6 km，一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB1 km，水的流速为 2 km/h，若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为( )3A8 km/h B6 km/h2C2 km/h D10 km/h34答案 B解析 设 AB 与河岸线所成的角为 ，客船在静水中的速度为 v km/h，由题意知，sin ，从而 cos ，客船从码头 A 到 B 所用的最
5、短时间为 6 min，0.61 35 45客船实际航行速度为 1 10 km/h.110在 ABE 中，由余弦定理设：AE2 AB2 EB22 ABEBcos ，即 v210 22 22102 72，45解得 v6 (km/h)故选 B.26一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45，沿点 A 向北偏东 30前进 100 m到达点 B，在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30，则水柱的高度是( )A50 m B100 m C120 m D150 m答案 A解析 设水柱高度是 h m，水柱底端为 C，则在 ABC 中
6、， A60，AC h， AB100， BC h，根据余弦定理得，( h)2 h2100 22 h100cos60，3 3即 h250 h50000，即( h50)( h100)0，即 h50，故水柱的高度是 50 m故选 A.47(2017临沂质检)在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为 30、60，则塔高为( )A. m B. m4003 40033C. m D. m200 33 2003答案 A解析 如图，由已知可得 BAC30， CAD30， BCA60， ACD30， ADC120，又 AB200， AC .4003 3在 ACD 中，由正弦定理，得 ，即 DC (
7、m)故选ACsin120 DCsin30 ACsin30sin120 4003A.8.(2017广州调研)如图所示长为 3.5 m 的木棒 AB 斜靠在石堤旁，木棒的一端 A 在离堤足 C 处 1.4 m 的地面上，另一端 B 在离堤足 C 处 2.8 m 的石堤上，石堤的倾斜角为 ，则坡度值 tan 等于( )5A. B. C. D.2315 516 23116 115答案 A解析 由题意，可得在 ABC 中， AB3.5 m， AC1.4 m， BC2.8 m，且 ACB.由余弦定理，可得 AB2 AC2 BC22 ACBCcos ACB，即 3.521.4 22.8 221.42.8co
8、s( )，解得 cos ，所以 sin ，516 23116所以 tan .故选 A.sincos 23159(2018长春模拟)某观察站 B 在 A 城的南偏西 20的方向，由 A 出发的一条公路的走向是南偏东 25.现在 B 处测得此公路上距 B 处 30 km 的 C 处有一人正沿此公路骑摩托车以 40 km/h 的速度向 A 城驶去，行驶了 15 min 后到达 D 处，此时测得 B 与 D 之间的距离为8 km，则此人到达 A 城还需要( )10A40 min B42 min C48 min D60 min答案 C解析 由题意可知， CD40 10， BAD45，1560cos BD
9、C ，102 810 2 302210810 1010cos ADBcos( BDC) ，10106sin ABDsin( ADB BAD) .255在 ABD 中，由正弦定理得 ，ADsin ABD BDsin BAD ， AD32，AD25581022所需时间 t 0.8 h，3240此人还需要 0.8 h 即 48 min 到达 A 城故选 C.10(2014浙江高考)如图，某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练已知点 A 到墙面的距离为 AB，某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动，此人为了准确瞄准目标点 P，需计算由点 A 观察点 P 的仰角 的大小(仰角
10、为直线 AP 与平面 ABC 所成角)若 AB15 m， AC25 m， BCM30，则 tan 的最大值是( )A. B. C. D.305 3010 439 539答案 D解析 由题意，在 Rt ABC 中，sin ACB ，ABAC 1525 35则 cos ACB .作 PH BC，垂足为 H，连接 AH，如下图所示457设 PH x，则 CH x，3在 ACH 中，由余弦定理，得AH AC2 CH2 2ACCHcos ACB ，625 3x2 403xtan PAH ，PHAH1625x2 403x 3(1x0)故当 时，tan 取得最大值，最大值为 .1x 43125 539故选
11、D.二、填空题11某同学骑电动车以 24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点 A 处测得电视塔 S在电动车的北偏东 30方向上，15 min 后到点 B 处，测得电视塔 S 在电动车的北偏东 75方向上，则点 B 与电视塔的距离是_km.答案 3 2解析 如题图，由题意知 AB24 6，在 ABS 中， BAS30，1560AB6， ABS18075105， ASB45，由正弦定理知 ，BSsin30 ABsin45 BS 3 .ABsin30sin45 212(2017潍坊模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为 15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测
12、得旗杆顶部的仰角分别为 60和30，第一排和最后一排的距离为 10 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面6上若国歌时长为 50 s，升旗手应以_m/s 的速度匀速升旗8答案 0.6解析 依题意可知 AEC45， ACE1806015105， EAC1804510530.由正弦定理可知 ，CEsin EAC ACsin CEA AC sin CEA20 m.CEsin EAC 3在 Rt ABC 中， AB ACsin ACB20 30 m国歌时长为 50 s，332升旗速度为 0.6 m/s.305013(2018浙江适应性考试)如图所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的
13、A， B， C 三点进行测量，已知 AB50 m， BC120 m，于 A 处测得水深 AD80 m，于 B处测得水深 BE200 m，于 C 处测得水深 CF110 m， DEF 的余弦值为_答案 1665解析 作 DM AC 交 BE 于 N，交 CF 于 M.DF 10 ，MF2 DM2 302 1702 298DE 130，DN2 EN2 502 1202EF 150. BE FC 2 BC2 902 1202在 DEF 中，由余弦定理，得cos DEFDE2 EF2 DF22DEEF .1302 1502 1022982130150 1665914(2017尖山区期中)设甲、乙两楼相
14、距 10 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60，从甲楼顶望乙楼顶的仰角为 30，则甲、乙两楼的高分别是_答案 10 m， m3403 3解析 设甲，乙两楼为 AB， CD，由题意可知 BC10， ACB60， DAE30，tan ACB ，ABBC 3 AB10 ，3由 AE BC10，tan DAE ，DEAE 33 DE ，1033 CD CE DE AB DE .4033三、解答题15(2018哈尔滨模拟)“德是”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心(记为B， C， D)当返回舱在距地面 1 万米的 P 点时(
15、假定以后垂直下落，并在 A 点着陆)， C 救援中心测得飞船位于其南偏东 60方向，仰角为 60， B 救援中心测得飞船位于其南偏西30方向，仰角为 30， D 救援中心测得着陆点 A 位于其正东方向(1)求 B， C 两救援中心间的距离；(2)求 D 救援中心与着陆点 A 间的距离解 (1)由题意知 PA AC， PA AB，则 PAC， PAB 均为直角三角形10在 Rt PAC 中， PA1， PCA60，解得 AC ，在 Rt PAB 中，33PA1， PBA30，解得 AB ，又 CAB90， BC 万米3 AC2 AB2303(2)sin ACDsin ACB ，310cos AC
16、D ，又 CAD30，110所以 sin ADCsin(30 ACD) ，33 1210在 ADC 中，由正弦定理， ，ACsin ADC ADsin ACD得 AD 万米ACsin ACDsin ADC 9 31316(2018南昌模拟)某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为 ABC， ABD，经测量AD BD7 米， BC5 米， AC8 米， C D.(1)求 AB 的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为 5000 元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)？较低造价为多少？( 1.
17、732， 1.414)3 2解 (1)在 ABC 中，由余弦定理，得cosC .AC2 BC2 AB22ACBC 82 52 AB2285在 ABD 中，由余弦定理，得cosD .AD2 BD2 AB22ADBD 72 72 AB2277由 C D，得 cosCcos D. AB7， AB 长为 7 米(2)小李的设计建造费用较低，理由如下：S ABD ADBDsinD，1211S ABC ACBCsinC.12 ADBDACBC， S ABDS ABC.故选择 ABC 建造环境标志费用较低 AD BD AB7， ABD 是等边三角形， D60， SABC ACBCsinC10 101.73217.32.12 3总造价为 500017.3286600(元)
