1、1三角函数与解三角形1任意角的概念、弧度制 (1)了解任意角的概念. (2)了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化. 2三角函数 (1)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. (2)能利用单位圆中的三角函数线推导出 2， 的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出 y = sin x ,y=cosx,y= tanx的图像,了解三角函数的周期性. (3)理解正弦函数、余弦函数在区间 0,2 上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与 x轴的交点等),理解正切函数在区间 ,2内的单调性.(4)理解同角三角函数的基本关系式： 22sinco1x， sintacx.(5)了解函数 y =Asin(
2、x+ )的物理意义；能画出 y =Asin( x+)的图像,了解参数 A, , 对函数图像变化的影响. (6)了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题. 3正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 4应用：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 二、新课标全国卷命题分析新课标全国卷对于三角函数的考查比较固定，一般考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换、解三角形，一般是1小1大，或者3小题，一般考查考生转化与化归思想和运算求解能力。三角函数求值、三角恒等变换、三角函数的单调性、奇偶性
3、、周期性、对称性、最值范围、图象变换等都是热门考点。解三角形问题也是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形边角关系进行“边转角”“角转边”题型1 三角函数的定义、同角三角函数的基本关系例1 （2016新课标，理5）若 3tan4，则 2cosin（ ）A. 642 B. 4825 C. 1 D. 165 题型2 三角函数的恒等变换例2 （2018新课标，理4）若 sin3，则 cos2（ ）A 89B 79C 79D 89例3 （2015新课标，2） sin20cos60in_2题型4 三角函数的图形
4、变换例5 （17全国1理9）已知曲线 1cosCyx： ， 22sin 3yx： ，则下面结论正确的是（ ）.A.把 1C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6个单位长度，得到曲线 2CB.把 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线C.把 1上各点的横坐标缩短到原来的 12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 2D.把 C上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线 C题型5 三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性例6 （2017新课标，6
5、）设函数 cos3fx，则下列结论错误的是（ ）.A fx的一个周期为 2B yfx的图像关于直线 83x对称C f的一个零点为 6xD f在 ,2单调递减例7 （2016新课标，理7）若将函数 y=2sin 2x的图像向左平移 12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）A ()6kZ B ()6kxZC ()21kxZ D ()21kxZ题型7 解三角形、正余弦定理例9 （2018新课标，6）在 A 中， 5cos2， B， 5AC，则 B=（ ）A 42B 30 C 29 D 2题型8 三角函数与解三角形的综合应用例10 （2017新课标，17） ABC的内角 A， B， C的对边分别为
6、 a， b， c，已知 ABC的面积为23sinaA（1）求sin BsinC；（2）若6cos BcosC=1,a=3,求 ABC的周长32011年2018年新课标全国卷理科数学试题分类汇编9三角函数与解三角形一、选择题（18） ABC内角 ， ， 对边分别为 a， b， c，若 ABC面积为224abc，则 C（ ）A 2B 3C 4D 6（2016新课标，9）若 cos()45，则sin 2 =（ ）A 725B 1C 15D 725（2016新课标，5）若 3tan4，则 2cosin（ ）A. 642 B. 8 C. 1 D. 65 （2016新课标，8）在 ABC 中， 4， BC
7、边上的高等于 13BC,则 cosA（ ）A. 310 B. C. 10 D. 310（2015新课标，2） sin2cos6in（ ）A 3 B 3 C 1 D 2（2015新课标，8）函数 ()fx=cos)部分图象如图所示，则 ()fx的单调递减区间为（ ）A 13(,4kkZ B 13(,),4kkZ C ) D 2（2014新课标，6）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角 x的始边为射线 OA，终边为射线 ，过点 作直线 OA的垂线，垂足为 M，将点 到直线 OP的距离表示为 x的函数 ()f，则 y= ()fx在0, 上的图像大致为（ ）（2014新课标，8）设
8、 (0,)2， (,)，且 1sintaco，则（ ）4A.32 B. 2 C.32 D. 2（2014新课标，4）钝角三角形 ABC的面积是 1， AB=1， BC= ，则 AC=（ ）A5 B 5C2 D1（2012新课标，9）已知 0，函数 ()sin)4fx在（ ， ）上单调递减，则 的取值范围是（ ）A 12， 54 B 12， 34 C（0， 12 D（0，2（2011新课标，11）设函数 ()sin)cos(),)2fxx的最小正周期为 ，且 ()fxf，则（A） 在 (0,)2单调递减 （B） ()fx在 3,)4单调递减（C） fx在 ,单调递增 （D） 在 ,单调递增（20
9、11新课标，5）已知角 的顶点与原点重合，始边与 x轴的正半轴重合，终边在直线 2yx上，则 cos2=（ ）A 4 B 35 C 35 D 45（2018新课标，理15）函数 cos6fx在 0， 的零点个数为_（2018新课标，理15）已知 in1， sin，则 sin_（2017新课标，14）函数 23sico4fxx（ 0,2）的最大值是 （2016新课标，13） ABC的内角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c，若 os 45A， 1cs 3C， a = 1，则 b = .（2016新课标，14）函数 sin3cosyx的图像可由函数 sin3cosyx的图像至少向右平移_个
10、单位长度得到.（2014新课标，14）函数 ()si2)sinc()f的最大值为_.（2013新课标，15）设当 x 时，函数 f(x)sin x2cos x取得最大值，则cos _.（2013新课标，15）设 为第二象限角，若 1ta)2，则 sinco_.5(2018新课标，理17)在平面四边形 ABCD中， o90， oA45， 2B， 5D.（1）求 ADBcos；（2）若 2，求 .（2017新课标，17） ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 ABC的面积为23sinaA（1）求sin BsinC；（2）若6cos BcosC=1,a=3,求 ABC的周长
11、（2017新课标，17） ABC的内角 ,的对边分别为 ,abc ,已知 2sin()8sinBAC（1）求 cos；（2）若 6ac , AB面积为2，求 .6（2017新课标，17） ABC 的内角 ,的对边分别为 ,abc ，已知 sin3cos0A，27a， b（1）求 c；（2）设 D为 边上一点，且 ADC， 求 B 的面积（2016新课标） ABC的内角 ,的对边分别为 cba,，已知cbaC)osc(os2（）求 ；（）若 7， ABC的面积为 23，求 ABC周长（2015新课标，17）在 ABC中， D是 BC上的点， AD平分 BAC， ABD面积是 ADC面积的2倍（）
12、求 sinBC；（） 若 AD=1， DC= 2 ，求 BD和 AC的长7（2013新课标，17）如图，在 ABC中， ABC90， AB 3， BC1， P为 ABC内一点， BPC90.(1)若 PB 12，求 PA；(2)若 APB150，求tan PBA.（2013新课标，17）在 ABC内角 A、 B、 C的对边分别为 a， b， c，已知 a=bcosC+csinB.（）求 B；（）若 b=2，求 ABC面积的最大值.（2012新课标，17）已知 a， b， c分别为 ABC三个内角 A， B， C的对边，cos3in0aCc（1）求 A；（2）若 2， ABC的面积为 3，求 b
13、， c8三角函数与解三角形题型1 三角函数的定义、同角三角函数的基本关系例1 （2016新课标，理5）若 3tan4，则 2cosin（ ）A. 642 B. 4825 C. 1 D. 165 解析： 222cosicsta4cosinnn，故选A.【解题技巧】本题考查三角恒等变换，齐次化切.题型2 三角函数的恒等变换例2 （2018新课标，理4）若 1sin3，则 cos2（ ）A 89B 79C 79D 89解析： 2cos1si.故选B.例3 （2015新课标，2） n0cos160sin1（ ）A B 32 C 2 D解析： sin0co1s60in1si0co1s20in1si30，
14、选D.题型4 三角函数的图形变换例5 （2017全国1理9）已知曲线 1csCyx： ， 2si 3yx： ，则下面结论正确的是（ ）.A.把 1C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6个单位长度，得到曲线B.把 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 CC.把 1上各点的横坐标缩短到原来的 12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6个单位长度，得到曲线 2D.把 1C上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度9，得到曲线 2C解析 ：首先曲线 1， 2统一为一三
15、角函数名，可将 1:cosCyx用诱导公式处理cossinyxx横坐标变换需将 变成 2，即1 12in sin2sin2 4Cyxx 上 各 坐 短 到 原 的 倍点 来 2sinsin33yxx注意 的系数，左右平移需将 提到括号外面，这时 平移至 ，根据“左加右减”原则，“4x”到“3x”需加上 12，即再向左平移12故选D.题型5 三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性例6 （2017新课标，6）设函数 cos3fx，则下列结论错误的是（ ）.A fx的一个周期为 2B yfx的图像关于直线 83x对称C f的一个零点为 6xD f在 ,2单调递减解析： 函数cos3fx的图像可由
16、cosyx向左平移 3个单位得到，如图可知， f在,2上先递减后递增，D选项错误.故选D. -6AxyO例7 （2016新课标，理7）若将函数 y=2sin 2x的图像向左平移 12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）A ()6kZB ()26kxZC 21xD 1解析：平移后图像表达式为2sin1yx，令2+2xk，得对称轴方程：26Zkx，故选B10题型7 解三角形、正余弦定理例9 （2018新课标，6）在 ABC 中， 5cos2， 1BC， 5A，则 B=（ ）A 42B 30 C 29 D 2解析：因为 2cos1C，所以 253cos1，由余弦定理可知： 22ABCABC， 2
17、23512A，故 42AB题型8 三角函数与解三角形的综合应用例10 （2017新课标，17） ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 ABC的面积为23sina（1）求sin BsinC；（2）若6cos BcosC=1,a=3,求 ABC的周长解析：（1） A 面积23sinaSA且1sinSbc， 21sin3sicA， 223siabc， 由正弦定理得22iBC，由 si0得2sin3BC（2）由（1）得si3BC，1cos6， A， 1cosinscos2A，又 0， ， 60，si2A，12，由余弦定理得 29abc 由正弦定理得insabB，sinacC，
18、 2sin8ibcBCA由得 3c， 3b，即 周长为 3119三角函数与解三角形（逐题解析版）（2018新课标，理9） ABC的内角 C， ， 的对边分别为 a， b， c，若 ABC的面积为224abc，则 （ ）A B 3C 4D 6【答案】C 解析：22cos1cs42ABCabaSb，又 1sin2ABCSab，故tan1C， 4.故选C.（2016新课标，9）若 3cos()5，则sin 2 =（ ）A 725B 1C 15D 725【答案】D解析：3cos()45，sin2cos(2)cos()cos()144，故选D（2016新课标，5）若 ta，则 2in（ ）A. 642
19、B. 8 C. 1 D. 65 【答案】A解析：22 22cos4icos14ta6cosin 5nn，故选A.（2016新课标，8）在 ABC 中， 4， BC边上的高等于 3BC,则 cosA（ ）A. 310 B. C. 10 D. 310【答案】C 解析：如图所示，可设 DA，则 2， D，5AC，由余弦定理知， 25910cos（2015新课标，2） in01s6in（ ）A 3 B 32 C 2 D 1DCAB12【答案】D解析： sin20co1s60in1si20co1s20in1si30，选D.（2015新课标，8）函数 ()fx=cs)的部分图象如图所示，则 ()fx的单调
20、递减区间为（ ）A 13(,),4kkZ B 2 C (,),kk D 134Z【答案】D解析：由五点作图知，1+4253，解得 =， 4，所以 ()cos)4fx，令22,4kxkZ，解得 14k x 3k， Z，故单调减区间为（ 12k，3）， ，故选D（2014新课标，6）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角 x的始边为射线 ，终边为射线 OP，过点 作直线 OA的垂线，垂足为 M，将点 到直线 的距离表示为 x的函数 ()f，则 y=()fx在0, 上的图像大致为（ ）【答案】B解析：如图：过M作MDOP于，则 PM= sinx，OM= cos,在 RtOMP中，M
21、D= cosin1xOPAAcosix1i2， ()fxi2(0)，选B. 13（2014新课标，8）设 (0,)2， (,)，且 1sintaco，则（ ）A.32 B. C.32 D. 2【答案】B解析： sin1sitaco， sincoscosinsincsi2， ,022 2，即 ，选B（2014新课标，4）钝角三角形 ABC的面积是 12， AB=1， BC= 2，则 AC=（ ）A5 B 5C2 D1【答案】B解析： 1|sin2ACS，即： 1sinB， sinB，即 45或 3又 22|cosBC， 2|1A或5，又 AC为钝角三角形， 2|5A，即： |.（2012新课标，
22、9）已知 0，函数 )4sin()xf在 ),2(单调递减，则 的取值范围是（）A. 15,24B. 13,24C. 1(0,D. (0,【答案】A解析：由 32,4kkZ得， 1542,2kkZ，15024 ， .（2011新课标，11）设函数 ()sin)cos()0,)2fxx的最小正周期为 ，且 ()fxf，则14（A） ()fx在 0,2单调递减 （B） ()fx在 3,4单调递减（C） ()f在 ,单调递增 （D） ()f在 ,单调递增【答案】A解析： 2sin()4fxx，所以 2，又f(x)为偶函数，,424kkz， (sin()2cosfxxx，选A .（2011新课标，5）
23、已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的正半轴重合，终边在直线 2yx上，则 cos=（ ）A 4 B 35 C 35 D 45【答案】B解析：由题知 tan2,222cosin1ta3，选B.（2011新课标，5）已知角 的顶点与原点重合，始边与 x轴的正半轴重合，终边在直线 y=2x上，则cos2 =（ ）A 4B 35C 35D 45【答案】B解析：由题知 tan2,22cosin1ta3，故选B.（2018新课标，理15）已知 sico1， csin0，则 sin_【答案】 12【解析】解法一：22ncocos1si0sii0a 两 边 平 方1sincoi1si2 对 位 相 加解法二
24、： 1snsi0ico inincossii1sicossin1 2222 1si1icoin2综上所述： in15解法三：特殊值法设 1sinco2，则 3cos2， 3sin2， 1sinsincosin2.（2018新课标，理15）函数 co6fx在 0， 的零点个数为_【答案】 3 解析：由 ()s(3)f，有 3()2xkZ，解得 39kx，由09k得 k可取 0,12， cos()6f在 0,上有 3个零点.（2017新课标，14）函数 23sincs4fxx（ ,2）的最大值是 【答案】 1【解析】 2si3os0,2f ， sincos1x， 21cos4fxx， 设 ctx，
25、 ,1t， 2134ft， 函数对称轴为30,12t， maxf（2016新课标，13） ABC的内角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c，若 os 45A， 1cs 3C， a = 1，则 b = .【答案】 23解析：4cos5，cs13，3sin5A，12si3C，6sinsininBACAC，由正弦定理得： siinbaB，解得1b（2016新课标，14）函数 si3cosyx的图像可由函数 si3cosyx的图像至少向右平移_个单位长度得到.【答案】 23 解析： sin3cos2in,sin3cos2in33yxxyxx ，故可前者的图像可由后者向右平移 23个单位长度得到
26、.（2014新课标，14）函数 ()sin2)sinco()fxx的最大值为_.【答案】 1 解析： i i2sinco()f x16sinco()csin()2sinco()csin()sico()sinxxxxx R， f的最大值为1.（2013新课标，15）设当 x 时，函数 f(x)sin x2cos x取得最大值，则cos _.【答案】 25 解析： f(x)sin x2cos x 125sincos5，令cos 15，sin ，则 f(x) 5sin( x)，当 x2 k (kZ)时，sin( x)有最大值1， f(x)有最大值 5，即 2 k (kZ)，所以cos cos2+k
27、cos2sin 5.（2013新课标，15）设 为第二象限角，若 1tan()42，则 sinco_.【答案】 105 解析：由 1tan4t，得tan 13，即sin 13cos . 将其代入sin 2 cos 2 1，得 20cos9. 因为 为第二象限角，所以cos 0，sin 10，sin cos 105.三、解答题(2018新课标，理17)在平面四边形 ABCD中， o90， oA45， 2B， 5D.（1）求 ADBcos；（2）若 2，求 .17解析：解法1：（1）在 ADB中，由正弦定理： ADBsin5si2，所以 ADBsin52sin52，又因为 oC90，所以 o90，
28、所以 23c.解法2：在 AB中，由余弦定理可得 25cs2A，解得 23（负值舍去），再由余弦定理可得 ADBos)3(2.（2） OBDC90，所以 CcADBsin5，在 C中，由余弦定理可知20852cos2B，解得 .（2017新课标，17） ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 ABC的面积为23sinaA（1）求sin BsinC；（2）若6cos BcosC=1,a=3,求 ABC的周长解析：（1） A 面积 3sinaS且1sin2Sbc， 21sin3siA， 223siabc， 由正弦定理得2iA，由 si0得2sin3BC（2）由（1）得si3
29、BC，1cos6BC， BC， 1cosinscos2A，又 0， ， 60，si2A，12，由余弦定理得 29abc 由正弦定理得insabB，sinacC， 2sin8ibcBCA由得 3c， 3b，即 周长为 318（2017新课标，17） ABC的内角 ,的对边分别为 ,abc ,已知 2sin()8sinBAC（1）求 cos；（2）若 6a , 面积为2，求 .b解析：（）【解法1】由题设及 2sin8i,BBA，故 si4-cosB（ 1） ，上式两边平方，整理得 217cos-3+15=0，解得 5co=71（ 舍 去 ） ， .【解法2】由题设及 siin,2C，所以 2si
30、n8si，又 0si，所以 412tanB， 1752tacos2B.（）由 58in17=得 ，故 4asin17ACScBc，又 17=2ABCSac， 则 ，由余弦定理及 a6c得222 5bosa(1os)362()4B（ +），所以b=2（2017新课标，17） AC 的内角 ,B的对边分别为 ,abc ，已知 sin3cos0A，27a， b（1）求 c；（2）设 D为 B边上一点，且 AD， 求 AB 的面积解析:（1）由 sin3cos0A得2sin03，即3kZ，又 0,，所以，得 .由余弦定理 22cosabA.又因为17,代入并整理得 215c.故 4c.（2）因为 2,
31、7,4ACB，由余弦定理2cosabc.因为 D，即 为直角三角形，则 cosACD，得 7C.由勾股定理223AC.又2，则236B，191sin326ABDS.（2016新课标，17） ABC的内角 ,的对边分别为 cba,，已知cbaC)osc(os2（）求 ；（）若 7， 的面积为 23，求 ABC的周长解析： 2coscosaBbA， 由正弦定理得： cosincsincosinACininCAC， ， 0A、 、 ， ， 0 cs1， cs2， 0， ， 3C 由余弦定理得： cosab， 2172ab，237ab13sin242SabC， 6， 287， 5 AB 周长为 57b
32、c（2015新课标，17）在 ABC中， D是 BC上的点， AD平分 BAC， ABD面积是 ADC面积的2倍（）求 sinC；（） 若 AD=1， DC= 2 ，求 BD和 AC的长解析：（） 1sinABDSBAD， 1sin2CSADC，因为 2ABDCS，C，所以 2，由正弦定理可得 1i2B.（）因为 :ABDS， 2，所以 ，在 和 中，由余弦定理知， 22cosADB， 22cosACDACD，故 236CC，由（）知 B，所以 1.（2013新课标，17）如图，在 ABC中， ABC90， AB 3， BC1， P为 ABC内一点， BPC90.(1)若 PB 12，求 PA
33、；(2)若 APB150，求tan PBA.20解：(1)由已知得 PBC60，所以 PBA30.在 PBA中，由余弦定理得 PA2 173cos 30424，故 PA 2.(2)设 PBA ，由已知得 PBsin ，在 PBA中，由正弦定理得 3sinsin150()，化简得 3cos 4sin ，所以tan 34，即tan PBA 4.（2012新课标，17）已知 a， b， c分别为 ABC三个内角 A， B， C的对边，cosin0aCc（1）求 A；（2）若 2， ABC的面积为 3，求 b， c解析：（1）根据正弦定理 RCcBbAa2sinisin，得 Aasin， BRbsin2，CRcsin，因为 co3i0ac，所以 0sin2sisin)2(s)i2( CRBR，即 incsnCAC，（1）由三角形内角和定理，得 ABsicosi)si(，代入（1）式得 0nn3cosi C，化简得 CACsiinsn3，因为 0si，所以 1c，即 21)6i(A，而 A， 656，从而 ，解得 3（2）若 a， ABC的面积为 3，又由（1）得 ，则 43cos2sin122ab，化简得 842cb，从而解得 2b， c
