1、1课时跟踪训练(二十四) 解三角形应用举例基础巩固一、选择题1已知两座灯塔 A、 B 与 C 的距离都是 a，灯塔 A 在 C 的北偏东 20，灯塔 B 在 C 的南偏东 40，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( )A a B. a3C. a D2 a2解析 如图所示，由余弦定理可知， AB2 a2 a22 aacos1203 a2得AB a.故选 B.3答案 B2如图，设 A、 B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出 AC 的距离为 50 m， ACB45， CAB105 后，就可以计算出 A、 B 两点的距离为( )A50 m B50 m2 3C25 m
2、 D. m22522解析 由题意得 B1804510530，2由正弦定理得 ，ABsin ACB ACsinB AB 50 (m)ACsin ACBsinB502212 2答案 A3两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站北偏东 40，灯塔B 在观察站南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的( )A北偏东 10 B北偏西 10C南偏东 10 D南偏西 10解析 灯塔 A、 B 的相对位置如图所示，由已知得 ACB80， CAB CBA50，则 605010，即北偏西 10.答案 B4在湖面上高为 10 m 处测得天空中一朵云的仰角为 30，测得湖中之影的俯角为45
3、，则云距湖面的高度为(精确到 0.1 m)( )A2.7 m B17.3 mC37.3 m D373 m3解析 依题意画出示意图则 CM 10tan30CM 10tan45 CM 10tan45 tan30tan45 tan3037.3.答案 C5张晓华同学骑电动自行车以 24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点 A 处望见电视塔 S 在电动车的北偏东 30方向上，15 min 后到点 B 处望见电视塔在电动车的北偏东 75方向上，则电动车在点 B 时与电视塔 S 的距离是( )A2 km B3 km 2 2C3 km D2 km3 3解析 画出示意图如图，由条件知 AB24 6.在
4、 ABS 中， BAS30， AB6， ABS180751560105，所以 ASB45.由正弦定理知 ，所以 BS 3 .BSsin30 ABsin45 ABsin30sin45 2答案 B6在 200 米高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别为 30，60，则塔高为( )A. 米 B. 米4003 40033C. 米 D. 米20033 20034解析 作出示意图如右图，由已知，在 Rt OAC 中， OA200， OAC30，则 OC OAtan OAC200tan30 .20033在 Rt ABD 中， AD ， BAD30，20033则 BD ADtan BAD tan30 ，2
5、0033 2003 BC CD BD200 .2003 4003答案 A二、填空题7一船以每小时 15 km 的速度向正东航行，船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60方向，行驶 4 h 后，船到 B 处，看到这个灯塔在北偏东 15方向，这时船与灯塔的距离为_km.解析 如图所示，依题意有：AB15460， MAB30， AMB45，在 AMB 中，由正弦定理得 ，60sin45 BMsin30解得 BM30 (km)25答案 30 28(2017广东广州市高三综合测试)江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45和 60，而且两条船与
6、炮台底部连线成 30角，则两条船相距_m.解析 如图，由题意知， OA30， OAM45， OAN30， MON30.在 Rt AOM 中， OM OAtan OAM30tan4530.在 Rt AON 中， ON OAtan OAN30tan3010 .3在 MON 中，由余弦定理得MN OM2 ON2 2OMONcos MON 900 300 23010332 10 (m)300 3答案 10 39(2018山西大学附中检测)如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B， C 的俯角分别为 75，30，此时气球的高是 60 m，则河流的宽度 BC 等于_m.6解析 如图， ACD30，
7、ABD75， AD60 m, 在 Rt ACD 中， CD 60 (m)，ADtan ACD 60tan30 3在 Rt ABD 中， BD ADtan ABD 60tan75 602 360(2 )(m)，3 BC CD BD60 60(2 )120( 1)(m)3 3 3答案 120( 1)3三、解答题10.港口 A 北偏东 30方向的 C 处有一检查站，港口正东方向的 B 处有一轮船，距离检查站为 31 海里，该轮船从 B 处沿正西方向航行 20 海里后到达 D 处观测站，已知观测站与检查站距离 21 海里，问此时轮船离港口 A 还有多远？解 在 BDC 中， BC31， BD20， C
8、D21，由余弦定理知，cos CDB ，BD2 CD2 BC22BDCD 17sin CDB .437sin ACDsin sin CDBcos cos CDBsin .( CDB 3) 3 3 5314在 ACD 中，由正弦定理知 AD 21 15.ADsin ACD CDsinA 5314 32此时轮船距港口还有 15 海里7能力提升11(2017山西太原模拟)某登山队在山脚 A 处测得山顶 B 的仰角为 45，沿倾斜角为 30的斜坡前进 1000 m 后到达 D 处，又测得山顶的仰角为 60 ，则山的高度 BC 为( )A500( 1)m B500 m3C500( 1)m D1000 m
9、2解析 过点 D 作 DE AC 交 BC 于 E，因为 DAC30，故 ADE150.于是 ADB36015060150.又 BAD453015，故 ABD15，由正弦定理，得AB 500( )(m)ADsin ADBsin ABD 1000sin150sin15 6 2所以在 Rt ABC 中， BC ABsin45500( 1)(m)3答案 A12某人在 C 点测得某塔在南偏西 80，塔顶仰角为 45，此人沿南偏东 40方向前进 10 米到 D，测得塔顶 A 的仰角为 30，则塔高为( )A15 米 B5 米 C10 米 D12 米解析 如图，设塔高为 h，在 Rt AOC 中， ACO
10、45，则 OC OA h.在 Rt AOD 中， ADO30，则 OD h，38在 OCD 中， OCD120，CD10，由余弦定理得： OD2 OC2 CD22 OCCDcos OCD，即( h)2 h210 22 h10cos120，3 h25 h500，解得 h10 或 h5(舍)答案 C13甲船在 A 处观察乙船，乙船在它的北偏东 60的方向，两船相距 a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的 倍，则甲船应取方向_才能追上乙船；追上时甲3船行驶了_海里解析 如图所示，设到 C 点甲船追上乙船，乙到 C 地用的时间为 t，乙船速度为 v，则 BC tv， AC tv， B120，3由
11、正弦定理知 ，BCsin CAB ACsinB ，1sin CAB 3sin120sin CAB ， CAB30， ACB30，12 BC AB a， AC2 AB2 BC22 ABBCcos120 a2 a22 a2 3 a2， AC a.(12) 3答案 北偏东 30 a314. (2017广东省五校协作体高三一诊)如图所示，在一个坡度一定的山坡 AC 的顶上有一高度为 25 m 的建筑物 CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角 ，在山坡的 A 处测得 DAC15，沿山坡前进 50 m 到达 B 处，又测得 DBC45，根据以上数据可得cos _.9解析 由 DAC15， DBC45可得
12、 BDA30， DBA135， BDC90(15 )3045 ，由内角和定理可得 DCB180(45 )4590 ，根据正弦定理可得 ，即 DB100sin1550sin30 DBsin15100sin(4530)25 ( 1)，又 ，即 2 325sin45 252 3 1sin 90 25sin45，得到 cos 1.252 3 1cos 3答案 1315.海岛 B 上有一座高为 10 米的塔，塔顶有一个观测站 A，上午 11 时测得一游船位于岛北偏东 15方向上，且俯角为 30的 C 处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西 75方向上，且俯角为 45的 D 处(假设游船匀速行驶)(1)求该船
13、行驶的速度(单位：米/分钟)；(2)又经过一段时间后，游船到达海岛 B 的正西方向 E 处，问此时游船距离海岛 B 多远？解 (1)在 Rt ABC 中， BAC60， AB10，则 BC10 米；3在 Rt ABD 中， BAD45， AB10，则 BD10 米；在 BCD 中， DBC751590，则 CD 20 米BD2 BC2所以速度 v 20 米/分钟CD110(2)在 Rt BCD 中， BCD30，又因为 DBE15，所以 CBE105，所以 CEB45.在 BCE 中，由正弦定理可知 ，EBsin30 BCsin45所以 EB 5 米BCsin30sin45 6延伸拓展(2017江西宜春段考)某工厂实施煤改电工程防治雾霾，欲拆除高为 AB 的烟囱，测绘人员取与烟囱底部 B 在同一水平面内的两个观测点 C， D，测得 BCD75， BDC60， CD40 米，并在点 C 处的正上方 E 处观测顶部 A 的仰角为 30，且 CE1米，则烟囱高 AB_米解析 CBD180 BCD BDC45，在 CBD 中，根据正弦定理得 BC 20 ，CDsin BDCsin CBD 6 AB1tan30 CB120 (米)2答案 120 2
