1、 考纲要求:1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.会 利 用 三 角 形 的 面 积 公 式 解 决 几 何 计 算 问 题 .CabSsin21基础知识回顾:1. 2 R，其中 R 是三角形外接圆的半径asin A bsin B csin C由正弦定理可以变形：(1) a b c sin A sin B sin C；(2) a2 Rsin A， b2 Rsin B， c2 Rsin C.2余弦定理： a2 b2 c22 bccos A， b2 a2 c22 accos B， c2 a2 b22 abcos C变形： cos A ， cos B ， cos C .b
2、2 c2 a22bc a2 c2 b22ac a2 b2 c22ab3.在 ABC 中，已知 a， b 和 A 解三角形时，解的情况A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a bsinA a bsinAbsinA aba b a b a b解的个数无解 一解 两解 一解 一解 无解4.三角形常用的面积公式(1)S aha(ha表示 a 边上的高)(2) S absinC acsinB bcsinA .12 12 12 12 abc4R(3)S r(a b c)(r 为内切圆半径)12应用举例:类型一、利用正（余）弦定理解三角形【例 1】 【河北省唐山一中 2018 届高三下学期强化提升考试（一
3、） 】已知 中， ，点 在 边=60上，且 （1）若 ，求 ；=2,=2（2）求 的周长的取值范围【答案】 （1） ；（2） .423中，利用正弦定理得： ，(2)=463所以： ，由于： ，0120则： ，=22+=22+463(+(120)， ，=22+463(32+32)由于： ，则： ，0120 30+30150得到： ，(+30)(12， 1所以 的周长的范围是： .【点睛】本题考查了用正弦定理、余弦定理解三角形，尤其在求三角形周长时解题方法是利用正弦定理将边长转化为角的问题，然后利用辅助角公式进行化简，求出范围，一定要掌握解题方法。【例 2】 【河北省衡水中学 2018 届高三考前
4、适应性训练】已知在 中， 所对的边分别为 ，.（1）求 的大小； （2）若 ，求 的值.=2【答案】 （1） 或 （2）1=3（2） ，=2又由余弦定理得 ，当 时，则 ， ， ，2+22=0当 时，则 ， ， ，此方程无解.=( 31)24=230综上所述，当且仅当 时，可得 .=3【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.
5、 类型二、利用正（余）弦定理判断三角形形状【例 3】在 中， ， .（1）求证： 是直角三角形；（2）若点 在 边上，且 ，求 【答案】 （1）见解析；（2）（2）设 ，则 ， ， ，=277所以 ， =(90)=217在 中， ，=30+30， 由正弦定理得， ，所以【点睛】本题主要考查的知识点是运用正弦定理和余弦定理解三角形，注意角之间的表示，本题需要一定的计算【例 4】 【浙江省“七彩阳光”联盟 2019 届高三期初联考】在 中，角 所对的边分别为 ，已知且 +=.（1）判断 的形状；（2）若 ，求 的面积.=6【答案】 （1）见解析；（2）（2）由（1）知 ， ，则 ， 因为 ，所以由
6、余弦定理，得 ，解得 ， 2=8+43所以 的面积 【点睛】本题运用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形，注意在运算过程中 作为隐含的条件成立并且加以运用。类型三、利用正（余）弦定理解决与三角形面积有关的问题【例 5】 【云南省红河州 2018 届高三复习统一检测】在 中,角 , , 的对边分别为 .已知 ,.(1)求角 ；(2)若 ，求 的面积【答案】(1) ；(2)2.58（2）由（1）得 ,因为 得 ,同理得 ,所以 的面积 . 【点睛】本题考查三角形的解法，正弦定理的应用，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力【例 6】 【黑龙江省 2018 年普通高等学校招生全国统一考试仿真
7、模拟（八） 】在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 ， ， 成等差数列. （1）求 ；（2）若 ， ，求 的面积.=3【答案】(1) ；(2) .又 ， ，即 .而 ， ，由 ，得 .方法、规律归纳:1.三角形中常见的结论(1)A B C . (2)在 ABC 中， A Ba bsinA sinBcosA cosB.(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)三角形内的诱导公式： sin(A B) sin C； cos(A B) cos C；tan(A B) tan C； sin cos ； cos sin .A B2 C2 A B2 C2(6)在 ABC 中， A，
8、B， C 成等差数列的充要条件是 B60 .(7) ABC 为正三角形的充要条件是 A， B， C 成等差数列且 a， b， c 成等比数列2.判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断实战演练:1 【黑龙江省 2018 年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（十一） 】在 中，角 所对的边分别为 ，且 （1）求 ；（2）若 ，求 的面积的最大值【答案】(1) ；(2) .【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边
9、的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围2 【黑龙江省 2018 年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（七） 】在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， .（1）若 ，求 的面积；（2）若 的面积为 ，求 ， .【答案】(1) ；(2) ， .=23 【福建省闽侯第二中学、连江华侨中学等五校教学联合体 2017 届高三上学期期中考试】已知 中，角 所对的边分别为 且 （1）求角 的大小；（2）若 ，求 面积的最大值。【答案】 ；（2） 【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角
10、恒等变换的方法化简 即得角 的大小.(2)先证明再求 面积的最大值 .【详解】（1）0180,0.=12,=120（2） 由余弦定理 ， 得 （ 23） 2=2+22120=2+2+3.4,【点睛】(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题解题的关键是.4 【安徽省定远重点中学 2018 届高三 5 月高考模拟考试】已知 中，内角 所对的边分别为 ，其中 ， （1）若 ，求 的值；（2）若 边上的中线长为 ，求 的面积.【答案】(1) (2) （）由 边上的中线长为 ，利用向量的运算和夹角公式求解 ，即可求解【详
11、解】（1）依题意， ，故 ，所以 ，所以 ，即 ，coscos+sinsin+coscos=2sincos即 ，因为 ，所以 ，故 ，sinsin=2sincos可得 ；（2）记 边上的中线为 CD，故 ，所以 ，结合（1）可知 ，解得 ，所以 的面积 .【点睛】本题考查了正余弦定理的灵活运用和计算能力，属于基础题5 【2018 年高考第二次适应与模拟】在 中，内角 的对边分别为 ，且满足.+2+22+22 =0（1）证明： 成等差数列； ,（2）已知 的面积为 ， ，求 的值.【答案】 （1）见解析；（2） =5【详解】（1）由题设 ，+2+22+22 =0即 由三角形内角和定理有 由正弦定
12、理有成等差数列（2）由 得 ，根据 ，=916 =24由余弦定理 又由(1)得 ，代入得 ，2=2+22=(+)2258 4275.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式解题中利用正弦定理和余弦定理进行边角关系的转化是解题地基本方法当等式两边是关于边 或关于角 的齐次式时，可以利用正弦定理进行,边角转化，如果有余弦定理中的式子则用余弦定理转化，化为单一关系式再进行变形求解6 【山东省沂水县第一中学 2018 届高三第三轮考试】在 中，内角 所对的边分别为 ，已知.（1）求角 ； （2）若 的周长为 8，外接圆半径为 ，求 的面积.【答案】(1) ;(2) .433【详解】（1）由
13、 ，()=(23)得 ，即 ，所以 +() =23即 ，因为 ，所以 .=3由正弦定理得 ，因为 ，所以 ，所以 ，得 .0 =37 【河南省信阳高级中学 2019 届高三第一次大考】 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知， . coscos=16（1）求 ；（2）若 ，求 的面积和周长.【答案】 （1） ；（2） ，3 23【解析】分析：（1）把已知等式 用正弦定理转化为角的关系，可求得 ，从而可得，也即得 （2）把 及 代入已知可得 ，再由公式 求得面积，由余弦定理可求得 ，从而可得 ，得周长详解：（1）由正弦定理以及 得 ， 又因为 ，所以 ，所以可得()=(+)=12所以 ，且
14、 ，得 （2）将 和 代入 得 ，所以 =3由余弦定理得 ，即 ，所以 的周长为点睛：本题考查正弦定理，三角形的面积公式，考查两角和的余弦公式和诱导公式，在解三角形中边角关系常常用正弦定理进行相互转化，解题时可根据要求的结论确定选用什么公式，从而确定解题方法如本题求三角形面积，利用（1）的结论可选用公式 ，因此可先把 及 代入已知求出 ，再求面积8 【河南省郑州市 2018 届高三第三次质量预测】在 中，角 的对边分别是 ，且.3=(2 3)（）求角 的大小；（）若 ，求 面积的最大值【答案】 （） ；（） .点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的应用，属于中档题
15、。9 【山西省太原市 2018 届高三第三次模拟考试】已知 的内切圆面积为 ，角 所对的边分别为，若 .（1）求角 ；（2）当 的值最小时，求 的面积.【答案】(1) ;(2) .（2）由余弦定理得 ，由题意可知 的内切圆半径为 1，如图，设圆 为三角形 的内切圆， 为切点，可得 ，则 ，于是 ，化简得 ，所以 或 ，又 ，所以 ，即 ，=126,+)当且仅当 时， 的最小值为 6，此时三角形 的面积 .=12=12123=33点睛:本题主要考察了正余弦定理的灵活应用及三角形内切圆的性质,属于中档题.10 【北京东城北京二中 2018 届高三上学期期中考试】已知向量 ， ，且函=(,2)=(,
16、 3)数 ()=（ ）求函数 的最大值以及取最大值时 的取值集合()（ ）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ， ，求 的面(2)= 32积【答案】(1) 函数 的最大值为 ，此时 的取值集合为 (2) 1 32 |=512+, 34（ ） ，(2)=(3) 32= 32 ，(3)=0 为 的内角， ，=3由余弦定理得 即 ，2=2+22 2=2+2=(+)23又 ， ，故 ，+=23得 ， 的面积 =12=121 32=34点睛：本题综合考查平面向量的数量积公式，三角函数的正余弦倍角公式，辅助角公式，及用余弦定理解三角形和三角形面积。解三角的关键是选择合适的正弦定理与余弦定理
17、及面积公式。11 ABC 的内角， A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 sin(A C)8sin 2 .2(1)求 cosB；(2)若 a c6， ABC 的面积为 2，求 b.【答案】(1)cos B .(2)b 2.1517点睛：以三角形载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.12已知 中， ， 为 内一点，且 .=90（）当 时，求 的长；（）若 ，
18、令 ，求 的值.=150【答案】() ；() .=31233（） ， ，=60由内角和定理得 .=30在直角 中， ，在 中，由正弦定理得：即 ，2150= 2(30)即： ，整理可得： ，4= 23212解得 .13 【山东、湖北部分重点中学 2018 届高三高考冲刺模拟考试（二） 】 的内角 的对边分别为 .已知 .+= 1+（）求角 ；（） 的面积为 ，其外接圆半径为 ，且 ，求 .【答案】() ；() .（） ， =2=23,=3由面积公式得 ，即 .12=34=332由余弦定理 得 即 .2=2+22 2=2+26=9 2+2=15解得： 或 ，又 ，所以 .=23=3 =3=23
19、=3,=2314 【宁夏回族自治区银川一中 2018 届高三考前适应性训练】已知 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， =3(1)（1）求 ；（2）若 ， ，求 的面积+=13314【答案】 （1）=3（2）12=10315 【江苏省苏州市 2018 届高三调研测试（三） 】已知 中，若角 对应的边分别为 ，满足， .+1+4=0(1)若 的面积为 ，求 ；32(2)若 ，求 的面积.=6【答案】 （1） （2） 或=7=32 34【解析】分析：（1）由 得 ，即 ，又 ，两边=12=12=32 =3 =3 +1=4同时平方化简求值即可；（2）利用三角形的面积公式以及余弦定理转化求解即可.解析：解：(1)由 得 ，即 .=12=12=32 =3 =3又 ，那么 ，+1=4 (+1)2=162=16(12)=16482即 ，得到 ，即有 .4142+49=0 2=7 =7
