1、电磁学基本理论,场量的定义和计算,电磁学基本理论,麦克斯韦方程组,一、场量的定义和计算,（1）库仑定律,库仑定律是静电现 象的基本实验定律。大 量试验表明: 真空中两 个静止的点电荷 与 之 间的相互作用力:,1.电场强度,物理意义,两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力;,无限大真空情况.,可推广到无限大各向同性均匀介质中,适用条件,两点电荷同性为斥力，异性为吸力.,两点电荷q1与q2之间的作用力：,正比于它们的电荷量的乘积；,反比于它们之间距离的平方；,作用力的方向沿两者间的连线；,电场力符合矢量叠加原理,(2)电场强度,既然我们已经知道怎样计算静止电荷 之间的力,为什么还要定义一个场量呢
2、?,近距作用,远距作用,电场强度的定义,设q为位于S（x,y,z）处的点电荷， 在其电场中点P (x, y, z)处引入试验电荷 qt.,实验证明,qt受到的作用力的大小与自 身所带电量qt成正比,与电荷所处位置的电 场强度（Electric Field Intensity）成 正比，即：,所以：,应该尽可能小。,当电场强度形成的矢量场在空间的分布各点相同时称之为均匀电场。,电场强度的大小与检验电荷的大小无关。,电场强度的方向与正检验电荷的受力方向一致。,对运动的电荷，上式仍然成立。,电场强度满足叠加原理。,对真空中的点电荷：,分布电荷的电场强度,分布电荷密度,q是长度元l上的电荷。,线电荷密
3、度（Charge Line Density）：,面电荷密度（Charge Area Density）：,q是面积元S上的电荷。,体电荷密度（Charge Volume Density）：,q是体积元V内的电荷。,分布电荷电场强度的计算,（以体电荷为例）,在V内取一微小体积元 dV其电荷量：,它在场点P处产生的 电场为：,体积V内所有电荷在P(r)处所产生的总电场为：,用类似的方法可求得电荷分布为S(r)和 l(r)时电场强度的表达式分别为,小结：求分布电荷电场强度的步骤,无限细分该区域；,分析每一个区域；,叠加原理。,2.电位函数,若在静电场中放一试验电荷 ， 它受到电场力的作用而产生运动，
4、这时电场力就作功。,电压（电位差）,如果 在场中移动了 的距离，电场力作的功是:,要使试验电荷处于平衡状态，应有一外力 和该电场力大小相等，方向相反。即当 位移 时，外力所做的功：,两点间电压等于在场中由一点向另一点移动单位正电荷时，外力做的功。,定义它与 的比值定义为作用在P到A路径上的电压：,所以，如果检验电荷在静电场中由P点移动到A点，外力所做的功为：,静电场中电场力作的功与路径无关，只取决于始点和终点的位置，所以静电场是保守场，也称位场。,静电场中电场力作的功与路径无关,电位,如果我们在场中任意选定一点，例如P点，作为参考点。则单位正电荷由场中任一点A移到参考点P时，电场力所做的功将仅
5、随A点的坐标而异。此时把积分：,即A点移到参考点的电压，称为A点的电位。,显然，参考点处的电位：,通常，参考点选在无穷远处,即：,当场源为真空中，位于原点的点电荷时：,电位的计算,现假设场源电荷不在坐标原点，其位置矢量为 ，而A点的位置矢量为 ，则：,另外，电位的分布满足叠加原理，对点电荷：,类似的方法可得分布电荷的电位函数的 表达式分别为,电位分布也可用图形表示，即将电位相等的各点联成曲线或曲面，这些线或面称为等位线或等位面。电荷在等位面上移动时，电场即不对电荷作功，也不会获得能量。,电位和电场的关系,电位函数是一个辅助函数，是一个标量函数；,在静电场中，任意一点的电场强度的方向总是沿着电位
6、减少的最快的方向，其大小等于电位的最大变化率；,在直角坐标系中：,判断, 电位为零处，场强一定为零( );, 场强为零处，电位一定为零( );, 场中任意两点的电位差与参考点无关。, 同一个物理问题，只能选取一个参考点。, 选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。, 电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点., 电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。,电位参考点的选择原则：,电偶极子,电偶极子(Electric Dipole)是指相距 很近的两个等值异号的电荷。,图1.2.2 电偶极子,设每个电荷电量为q， 相距为d， 则电偶极子在点P的电位及电场:,R2-R1d cos R
7、1R2R2,所以,电偶极子的电位表达式为,电偶极矩矢量(DipoleMoment Vector) p的大 小为p=qd，方向由负电 荷指向正电荷， 即:,当两电荷之间距相对于到观察点的距离 非常小,即Rd时,R1, R2, R三者近乎平行， 因此有:,根据式（2.26）得电偶极子在P点 处的电场强度为:,电力线与等位线（面）的性质：,E线不能相交;,E线愈密处，场强愈大;,E线与等位线（面）正交；,传导电流：由导电媒质（导体、半导体、 漏电介质）中，电荷的流动 形成；,电荷在电场的作用下发生宏观运动，形成真实的电流。这样的电流又有传导电流和运流电流之分。,运流电流：由真空或气体中，电荷的流动形
8、成。,3.磁感应强度（磁通密度矢量）,电流和电流密度,i是标量,它只能描述一根导线上总的电流的强弱，并不反映电流在每一点的流动情况。,单位时间内通过某一横截面的电量，简称 为电流。其强弱用电流强度来表征,假定体电荷密度为V的电荷以速度v沿某方向运动， 如图所示。 设在垂直于电荷流动的方向上取一面积元S， 若流过S的电流为I， 则定义矢量 J的大小为,导体中每一点都有一个电流密度，因而构成一个矢量场。我们称之为电流场。而电流密度处处相等的电流场即为恒定电流场或恒定电场。,J的方向规定为正电荷在该点的运动方向， 单位为A/m2。,已知电流密度后，则流过体积内任意曲面S的电流强度为：,如图，单位时间
9、内流过面元 的电流为：,恒定电场电流密度与电荷密度的关系,注意：线电流一般不定义密度函数。,1820年,法国物理学家安培从实验中总结出电流回路之间的相互作用力的规律,称为安培力定律 (Amperes Force Law )。,设真空中有两个载有线电流的回路C1和C2，其上电流元I1dl1对I2dl2的作用力dF21为：,安培力定律和毕奥-萨法尔定律,上式中：,将上式进行改写：,取决于电流回路C1的 电流分布及源点到场 点的距离矢量R， 而 与电流回路C2无关，,其中：,电流元 在周围空间产生的 磁场。,在周围空间产生的 磁场。,所以，任意电流回路C周围的磁场分布为：,上式称为毕奥萨伐尔定律（B
10、iotSavarts Law）， 它表示载有恒定电流I的导线在场点r处所产生的磁通密度。 注意， B, dl和aR 三者互相垂直， 并遵循右手螺旋关系。,单位 T（wb/m2）特斯拉,若产生磁通密度的电流不是线电流， 而是体电流分布J(r)或面电流分布 JS(r)， 则它们所产生的磁通密度分别为,比较：,安培力,库伦力,磁通连续性原理,称为磁通密度矢量，所以穿过闭合曲面S的磁通量为：,磁通连续性原理积分形式,磁通连续性原理微分形式,4.矢量磁位,磁通连续性原理又称磁场中的高斯定律，表明穿过一个封闭曲面S的磁通量等于离开这个封闭曲面S磁通量，换句话说，磁通永远是连续的；,磁场的散度处处为零，说明
11、恒定磁场是无散场；（在任意媒质中均成立）。,磁场的散度为零，由恒等式 得： 应该可以用一个矢量函数的旋度来表示；,矢量磁位,称为矢量磁位单位为 或 ，一个矢量的性质由其散度和旋度共同决定，所以引入库仑规范条件：,关于 的计算，可参照P50，式2.452.47,引入矢量磁位函数可以简化磁场的运算,的方向与 的方向相同；,1.安培环路定理,假设磁场是由真空中一载有电流I的无限长 直导线产生，即由例2-5知：,安培环路与磁力线重合,二、电磁学基本理论,安培环路定理（恒定磁场的情况）,安培环路不交链电流,安培环路与若干根电流交链,安培环路与磁力线不重合,安培环路定理微分形式,综上所述得：,安培环路定理
12、积分形式,该结论适用于其它任何带电体情况（不只是无 限长载流直导线）；,强调：环路方向与电流方向成右手关系，电流 取正，否则取负；,在真空中，磁场强度沿闭合路径的线积分等于闭合路径所包围电流的代数和；,恒定磁场是有旋场，电流是其漩涡源；,例: 如图所示，一无限长同轴电缆芯线通有均匀分布的电流I，外导体通有均匀的等量反向电流，求各区域的磁感应强度。,解: 根据题意，取圆柱坐标系。,（1） 区域,内导体的电流密度为:,取半径为 r 的圆环为积分回路， 根据安培环路定律:,磁感应强度为:,同理取半径为r 的圆为积分回路，则有:,（2） 区域,该区域的磁感应强度为:,（3） 区域,外导体的电流密度为:
13、,同理，取半径为r 的圆为积分回路，则有:,可得：,（4） 区域,位移电流,麦克斯韦在将恒定磁场中的安培环路定理应用于时变场时出现了矛盾：,同样的系统，同样的回路，在电流交变的情况下，为什么积分结果不同？,为了解决上述矛盾，麦克斯韦断言：电容器两极板间有另外一种电流存在。其值与传导电流相等。,和 构成闭合曲面：,即：,位移电流密度 A/m2,设想 上有位移电流流过，则：,矛盾解决！,麦克斯韦位移电流假说的正确性已经被大量实验证明！,安培环路定理的修正全电流定理,积分形式,微分形式,全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。,解
14、：忽略极板的边缘效应和 感应电场,位移电流密度,位移电流,例：已知平板电容器的面积为 S , 相距为 d , 介质的介电常数 ，极板间电压为u(t)。试求位移电流id；传导电流iC与id 的关系是什么?,电场,传导电流与位移电流,传导电流：,关于电流,带电粒子在电场作用下的定向运动；,位移电流：,具有磁效应，可以产生磁场，但与 带电粒子的运动无关。实质是电场 随时间的变化。,2.法拉第电磁感应定律,（1）内容,电磁感应现象,当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感应电动势及感应电流。法拉第指出感应电动势的大小正比于磁通对时间的变化率。,楞次定律,感生电动势的参考方向,感应电动势及其所产生的
15、感应电流，总是企图阻止回路中磁通的变化。,负号表示感应电流产生的磁场总是阻碍原磁场的变化。,法拉第电磁感应定律,法拉第电磁感应定律就是电磁感应现象和愣次定律的总结，即：,（2）数学表达式,该闭合回路中的感应电动势为：,闭合回路中的磁通量为：,可得：,引起磁通变化的原因分为三类：,称为感生电动势，这是变压器工作的原理，又称为变压器电势。,回路不变，磁场随时间变化,感生电动势,称为动生电动势，这是发电机工作原理，又称为发电机电势。,回路切割磁力线，磁场不变,磁场随时间变化，回路切割磁力线,讨论第一种情况：,法拉第电磁感应定律的微分形式。,法拉第电磁感应定律的积分形式。,感应电场是非保守场，电力线呈
16、闭合曲线，变化的磁场 是产生 的涡旋源；,实验表明：感应电动势 与构成回路的材料性质无关（甚至可以是假想回路），只要与回路交链的磁通发生变化，回路中就有感应电动势。当回路是导体时，才有感应电流产生；,产生电场的源有两种：电荷（散度源）和变化的磁场（漩涡源）；,静电场是时变场的特殊形式.,例: 如图所示，一个矩形金属框的宽度d 是常数，其滑动的一边以匀速v 向右移动，求：下列情况下线框里的感应电动势。,（1） 恒定均匀；（2） 。,解：（1）已知,其中：,（2）已知,设导体中电流密度为 ， 任意选定闭合曲面 ，其包围体积为 ，则从闭合曲面流出的电流为：,由电荷守恒定律有：,3.电流连续性方程,电
17、流连续性方程的积分形式,电流连续性方程的微分形式,该式表明：从封闭曲面流出的电流，必然等于封闭曲面内正电荷的减少率，反之亦然。,4.电场高斯定理,若以该点电荷为中心，做一半径为R 的球面，则电场强度穿出该球面的通量为,如果闭合曲面内包含n个点电荷，则：,如果闭合曲面内含有连续分布的电荷，则：,高斯定律 积分形式,应用散度定理， 上式式也可写成,因此， 有,或,高斯定律 微分形式,所以计算时首先要分析给定场分布的对 称性，判断能否用高斯定律求解。,高斯定律适用于任何情况，但只有具有一定对称性的场才能得到解析解。,关键是高斯面的选取,场点位于高斯面上；,高斯面为闭合曲面；,在高斯面上，场强的大小处
18、处相等,在高斯面上，场强的方向与高斯面元的方向相同或相反。,三、麦克斯韦方程组,1.形式,2.意义,方程组的积分形式表示任意闭合曲线及其所围成的面积或任意闭合曲面所包围的体积内场与场源的时空变化关系，考虑的是整体效应；,方程组的微分形式表示某点处场与场源的时空变化关系，它只适用于媒质的物理特性不发生突变的点。积分和微分形式所表示的场与场源的关系是一致的；,方程组的两个旋度方程是表示电场与磁场相互作用的方程。而两个散度方程表示电场和磁场各自的性质；,麦克斯韦方程组揭示内在矛盾和运动。即：不仅电荷和电流可以激发电磁场，而且变化的电场和磁场可以互相激发，从而形成电磁波；,尽管麦克斯韦方程组在电磁理论
19、中占有极其重要的地位，而且现在已经知道在高速运动的领域，该方程也是正确的。但在更进一步研究电场现象时，仅仅依靠麦克斯韦方程组还是不够的；,方程组是在基本实验定律的基础上经过推广建立起来的，这种推广在最初只是一种假定，其正确性要靠实践来检验。赫兹发现电磁波的实验及近代无线电技术的广泛应用完全证明了其正确性。,“这个方程组的提出是牛顿时代以来物理学上一个重要的事情，这是关于场定律的定量的描述。方程中所包含的内容比我们所指出的要丰富得多。在它们简单的形式下隐藏着深奥的内容。这些内容只有靠仔细的研究才能显示出来。它是描述场的结构的定律，它不像牛顿定律那样把此处发生的事件与彼处的条件联系起来，而是此处此
20、刻的场只与最近的刚过去的场发生关系。假使我们知道此处此刻所发生的事件，这些方程便可帮助我们预测在空间上稍远一些，在时间上稍迟一些将会发生什么。”,麦克斯韦方程组包含着丰富的内容和深刻的含义。伟大的物理学家爱因斯坦曾这样评价麦克斯韦方程：,3.推广,（1）无源理想媒质,（2）无源导电媒质,（3）复数形式的麦克斯韦方程组,对时谐场的分析研究有着非常重要的意义。,既满足时变场的基本规律，又不同于一般的复杂时变场；,随时间做任意变化的函数可以通过傅立叶变换将其展开成正弦分量的叠加,所以分析时谐场是分析所有时变电磁场问题 的基础。,时谐场：场源和场矢量的各个坐标分随时间做简谐变化。,时谐电磁场的相量表示
21、法,时谐电磁场的复数形式与正弦稳态电路中的相量法类同。以电场强度为例进行分析：,式中，电场强度各分量为：,以上方法称之为电磁场的瞬时值表示法。,同理：,即：,式中：,称之为时谐电场各坐标分量的复振幅。,所以：,式中：,称之为时谐电场电场强度的复振幅矢量或电场强度的复数表示。其余场量也有类似表示。,与时间无关,时谐场对时间求导：,结论：时谐场对其瞬时值关于时间求导的运算，对应与复数值就相当于在前面乘以 .,麦克斯韦方程组的相量形式,现在考虑复数形式的时谐电磁场满足的方程复数形式的麦克斯韦方程组。以第一方程为例进行分析：,用复数形式表示后，麦克斯韦方程中的场源、场量均由四维函数变成了三维；偏微分方
22、程也变成了常微分方程；,麦克斯韦方程的复数形式只适用于时谐场；,复数形式只是数学表示式，不代表真实的场，没有明确的物理意义；,场量由复数形式变成瞬时形式的方法：,例：将下列相量形式表示的场矢量变换成瞬时值，或做相反的变换。,解：,例1 真空中有长为L的均匀带电直导线 , 电荷线密度为 ,试求线外P 点的电场.,解:采用直角坐标系, 令y轴经过场点p,导线与x轴重合。,带电长直导线的电场,例2 一半径为a的带电圆环，求轴线上的电场强度.,解:如图建立坐标系, 设电荷密度为 。,所以：,所以：,当 时；圆环中心的电场为0；,当 时；带电圆环相当于点电荷。,例3 求电荷线密度为 的无限长均匀带电体的电场。,解：分析电场分布特点：, D线皆垂直于导线，呈辐射状态；, 等r处D 值相等；,取长为L，半径为r 的封闭圆柱面为高斯面。,由 得,
