1、高等数学（上）总复习,第一章 函数与极限,内容提要与典型例题,1.理解函数的定义与特性： 函数的三要素定义域、值域、法则； 四种特性有界性、单调性、奇偶性、周期性。,一、函数,注意常用函数：复合函数、分段函数、初等函数,2.会求函数的定义域及函数表达式,二、极限,1.理解数列的极限的定义及性质；,2.理解函数的极限的定义及性质；,不存在,注意一个结论：,应用：当分段函数在分段点左、右两侧表达式不同时，求函数在分段点的极限,3.理解无穷小与无穷大的概念，无穷小的阶的概念；会进行无穷小的比较。 特别注意：等价无穷小,无穷小与极限的关系：,其中 为,时的无穷小量 .,（1）利用极限的运算法则,4.极
2、限的计算,可简化求极限的过程,设,且 x 满足,时,则有,（ 0， 0， m,n为非负整数).,f) 幂指函数的极限运算,（2）利用连续函数的性质求极限,（3）利用无穷小的运算性质,a) 有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量。,b) 有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。,c) 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,（4）利用等价无穷小的替换简化计算:,（5）利用重要极限,或,（6）利用极限的存在准则,夹逼定理 单调有界数列必有极限,（7）洛必达法则求不定式的极限,注意:应用洛必达法则的条件：,为有限数A (或为 ),方法：,若,但此时又要注意若出现循环形式就要另谋他法了。,例 计算下列极限,三、连续,
3、1.理解函数连续的定义；,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,设函数,且,函数,在点,(1),在点,即,(2) 极限,(3),连续必须具备下列条件:,存在 ;,有定义 ,存在 ;,对自变量的增量,有函数的增量,左连续,右连续,函数,在点,连续有下列等价命题:,注意：,极限与连续的关系: 极限 连续,连续函数必有极限, 有极限不一定是连续函数.,第一类间断点:,及,均存在 ,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在 ,称,若其中有一个为振荡,称,若其中有一个为,为可去间断点 .,为跳跃间断点 .,为无穷间断点 .,为振荡间断点 .,2.会判断函数在一点是否连续性，若是间断点 能够指出间
4、断点的类型。,3.理解闭区间上连续函数的性质,（1）有界性与最大值最小值定理,（2）零点定理与介值定理,第二章 导数与微分,一、导数与微分的概念,1.导数的定义 设函数,在点,存在,并称此极限为,则称函数,若,的某邻域内有定义 ,记作:,2.导数定义的三种形式,例：设函数 ，求,切线方程:,法线方程:,3.导数的几何意义,4.左导数与右导数,定理 函数,在点,且,可导的充分必要条件,是,注：求分段函数在分段点的导数要用导数的定义,例 设函数,为了使函数 在 处连续且可导， 应取什么值?,的微分,定义: 若函数,在点 的增量可表示为,( A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,
5、在点,可微,5.微分的定义,定理: 函数,在点 可微的充要条件是,即,求微分的方法,函数连续,函数可导,有极限,函数可微,二、熟练应用公式及法则求函数的导数及微分,1.求下列函数的导数,2.求隐函数的导数及微分,例 设函数 由方程 所确定，求,第三章 导数的应用,1. 微分中值定理及其相互关系,柯西中值定理,罗尔定理,2. 微分中值定理的主要应用,(1) 研究函数或导数的性态,(2) 证明恒等式或不等式,(3) 证明有关中值问题的结论,解题方法:,利用逆向思维 , 设辅助函数 ,一般,证明含一个中值的等式或根的存在 ,(3) 若结论中涉及含中值的两个不同函数 ,可用原函数法找辅助函数 .,多用
6、罗尔定理,可考虑用柯,西中值定理 .,(2) 证明不等式多用拉格朗日中值定理,例 证明不等式：当 时，,公式 称为 的 n 阶泰勒公式 .,公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .,二、泰勒(Taylor)中值定理 :,阶的导数 ,时, 有,其中,则当,带有佩亚诺(Peano) 余项的n 阶泰勒公式.,称为麦克劳林( Maclaurin )公式 .,则有,在泰勒公式中若取,二、利用导数研究函数的性态：,讨论函数的单调区间可以按以下步骤进行：,1）确定函数 的定义域；,2）求 ，找出 和 不存在的点， 以这些点为分界点，把定义域分成若干区间；,3）在各个区间上判别 的符号，以此确定 各区间上的
7、单调性。,的连续性及导函数,例 填空题,(1) 设函数,其导数图形如图所示,单调减区间为 ;,极小值点为 ;,极大值点为 .,提示:,的正负作 f (x) 的示意图.,单调增区间为 ;,.,在区间 上是凸弧 ;,拐点为,提示:,的正负作 f (x) 的示意图.,形在区间 上是凹弧;,则函数 f (x) 的图,(2) 设函数,的图形如图所示,3.求函数的极值、最值：,极值函数在定义域内部局部的最值,极值点定义域内增、减区间的分界点,求函数极值点的方法：（极值第一、第二判别法）,二阶导数 , 且,则 在点 取极大值 ;,则 在点 取极小值 .,(极值第二判别法),判断驻点是否是极值点,最大值与最小
8、值问题,则其最值只能,在极值点或端点处达到 .,求函数最值的方法:,(1) 求 在 内的极值可疑点,(2) 最大值,最小值,特别:,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 .,(小),对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点,是否为最大 值点或最小值点 .,(小),例 一房地产公司有50多套公寓要出租。当月租金,定为1000元时，公寓会全部租出去。当月租金每增,加50元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的,公寓每月需花费100元的维修费。试问房租定为多,少可获得最大收入？,第四章 不定积分,一、理解原函数与不定积分的概念。,二、掌握不定积分的基本性质,三、 求不定积分的基本方法,1. 直接积分法,通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 .,2. 换元积分法,(代换: ),3. 分部积分法,使用原则:,1) 由,易求出 v ;,2),比,好求 .,解题技巧:,把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的,顺序,前者为 后者为,分部积分题目的类型:,1) 直接分部化简积分 ;,2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;,(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 ,解出积分后加 C ),常见于被积函数为指数函数与三角函数相乘,例 计算下列不定积分,
