1、12016-2017 学年高中数学 第一章 数列本章高效整合 北师大版必修5一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1数列 ，3， ， ，3 ，则 9 是这个数列的第( )3 15 21 3A12 项 B13 项C14 项 D15 项解析： 3 ，3 ， ，9 3 27被开方数成等差数列，813( n1)6， n14.答案： C2在等差数列 an中，若 a1 a2 a332， a11 a12 a13118，则 a4 a10( )A45 B50C75 D60解析： 由已知： a1 a2 a3 a11 a12 a13150，
2、3( a1 a13)150， a1 a1350. a4 a10 a1 a13， a4 a1050.答案： B3已知等差数列 an的公差为 2，若 a1， a3， a4成等比数列，则 a2等于( )A4 B6C8 D10解析： 由题可知， a a1a4(a14) 2 a1(a16) a18 a26.23答案： B4已知等比数列 an中， a2 ， a4 ，则 a10( )12 14A. B. 116 1162C. D.132 164解析： 易知 a2， a4， a6， a10也成等比数列，则将 a2作为数列的首项，q ， a10 a2q51 .12 132答案： C5在各项均为正数的等比数列 a
3、n中，若 a5a69，则 log3a1log 3a2log 3a10的2值为( )A12 B10C8 D2log 35解析： log 3a1log 3a2log 3a10log 3a1a2a10log 3(a5a6)55log 3910.答案： B6等比数列 an的前 n 项和为 Sn，且 4a1,2a2， a3成等差数列若 a11，则 S4( )A7 B8C15 D16解析： 4 a24 a1 a3，4 a1q411 q2. q2. S4 15.故选 C.1 1 241 2答案： C7等差数列 18,15,12，的前 n 项和的最大值为( )A60 B63 C66 D69解析： 通项公式为
4、an213 n，令 an0 得 n7，所以 Sn的最大值为 S7 S663. 0 18 72答案： C8某人有人民币 a 元作股票投资，购买某种股票的年红利为 24%(不考虑物价因素且股份公司不再发行新股票，该种股票的年红利不变)，他把每年的利息和红利都存入银行，若银行年利率为 6%，则 n 年后他所拥有的人民币总额为_元(不包括 a 元的投资)( )A4 a(1.06n1) B a(1.06n1)C0.24 a(16%) n1 D4(1.06 n1)解析： 设 n 年后他拥有的红利与利息之和为 an元则a1 a24%0.24 a；a2 a24% a1(16%)0.24 a0.24 a1.06
5、；a3 a24% a21.060.24 a0.24 a1.060.24 a1.062；an0.24 a0.24 a1.060.24 a1.0620.24 a1.06n10.24 a(11.061.06 21.06 n1 )30.24 a 4 a(1.06n1)1 1.06n1 1.06答案： A9如果将 2,5,10 依次加上同一个常数后组成一个等比数列，那么该等比数列的公比是( )A. B. 12 32C. D.43 53解析： 依题意得(5 t)2(2 t)(10 t)，解得 t2.5，所以公比 q .5 2.52 2.5 53答案： D10在等差数列 an中，若 a22 a6 a1012
6、0，则 a3 a9等于( )A30 B40C60 D80解析： 由 a22 a6 a104 a6120 得 a630，所以 a3 a92 a660.答案： C11设 Sn ，且 SnSn1 ，则 n 的值为( )12 16 112 1n n 1 34A6 B7C8 D9解析： an ，1n n 1 1n 1n 1 Sn (112) (12 13) (13 14) (1n 1n 1)1 .1n 1 nn 1由 SnSn1 得 ，34 nn 1 n 1n 2 34即 .nn 2 34 n6，故选 A.答案： A12数列 1,2 ，3 ， n 的前 n 项和为( )12 12 14 12 14 12
7、n 14A n1 n1 B. n2 n 2(12) 12 32 12n 1C. n2 n 2 D n 112 12 12n 1 12n 1解析： 此数列的第 n 项为 an，则 a11，当 n2 时， an n n12 14 12n 1 n1 ，也适合 n1，故 an n1 .12 12n1 12 12n 1 12n 1该数列的前 n 项和Sn (1 1120) (2 1 121) (3 1 122) (n 1 12n 1)(123 n) n (112 122 12n 1) n n2 n 2.n n 121 12n1 12 12 32 12n 1答案： B二、填空题(本大题共 4 小题，每小题
8、 4 分，共 16 分请把正确答案填在题中横线上)13设等比数列 an的前 n 项和为 Sn.若 a11， S64 S3，则 a4_.解析： S64 S3， q1，及 4 ，a1 1 q61 q a1 1 q31 q q33， a4 a1q3133.答案： 314等差数列 an中， a170， d9，则数列中绝对值最小的项是第_项解析： an9 n79， n8 时，an0； n9 时 an0，且 a87， a92，绝对值最小的项为 a9.答案： 915某电脑公司计划在 2011 年 5 月 1 日将 500 台电脑投放市场，经市场调研发现，该批电脑每隔 10 天平均日销售量减少 2 台，现准备
9、用 38 天销售完该批电脑，则预计该公司5 月 1 日至 5 月 10 日的平均日销售量是_台解析： 设第一个 10 天每天销售 a 台，则第二个 10 天每天销售( a2)台，第三个 10天每天销售( a4)台，第四个 10 天每天销售( a6)台，由题意得，10 a10( a2)10( a4)8( a6)500，a16.5答案： 1616若 an是等差数列，首项 a10， a2 008 a2 0090， a2 008a2 0090，则使数列 an的前 n 项和 Sn为正数的最大自然数 n 是_解析： 由条件可知，等差数列 an单调递减，a2 0080， a2 0090.考虑 a2 008
10、a2 0090 及等差数列性质知4 016 4 0160，a1 a4 0162 a2 008 a2 0092即 S4 0160；考虑 a2 0090 及等差数列性质知4 017 4 0170， 2a2 0092 a1 a4 0172即 S4 0170，故满足题意得 n4 016.答案： 4 016三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 12 分)(2010全国改编)记等差数列 an的前 n 项和为 Sn，设S312，且 2a1， a2， a31 成等比数列，求 an.解析： 设数列 an的公差为 d，依题设有Error!即E
11、rror!解得 a11， d3 或 a18， d4， an1( n1)3 或 an8( n1)(4)，即 an3 n2 或 an4 n12.18(本小题满分 12 分)求数列 1 ，2 ，5 ，(2 n1)12 34 18(1) n1 ，的前 n 项和12n解析： Sn(1352 n1)12 14 18 1 n 112n n 1 2n 12121 ( 12)n1 12 n2 .1 ( 12)n3619(本小题满分 12 分)等比数列 an中，已知 a12， a416.(1)求数列 an的通项公式；(2)若 a3， a5分别为等差数列 bn的第 3 项和第 5 项，试求数列 bn的通项公式及前
12、n项和 Sn.解析： (1)设 an的公比为 q.由已知得 162 q3，解得 q2. an a1qn1 2 n.(2)由(1)得 a38， a532，则 b38， b532.设 bn的公差为 d，则有Error!解得Error!从而 bn1612( n1)12 n28.所以数列 bn的前 n 项和Sn 6 n222 n.n 16 12n 28220(本小题满分 12 分)已知某猪场的猪的数量每一年都在上一年存栏数的基础上增加一倍，并且每年卖出 500 头该猪场 1994 年卖出后的存栏数为 1 000 头，到哪一年，这个猪场生猪存栏数开始超过 1 024 500 头？解析： 设 a 为(19
13、94 n)年的生猪存栏数，所以 a01 000， a121 0005001 500， a22 a1500， an2 an1 500( n2)，所以 an5002( an1 500)所以 an500是首项为 a15001 000，公比为 2 的等比数列，所以 an5001 0002n1 .所以 an1 0002 n1 500.令 an1 024 500，即 2n1 1 0242 10，所以 2n1 210，所以 n11，即 2006 年猪场存栏数超过 1 024 500 头21(本小题满分 12 分)设 an是等差数列， bn是各项都为正数的等比数列，且a1 b11， a3 b521， a5 b
14、313.(1)求 an、 bn的通项公式；(2)求数列 的前 n 项和 Sn.anbn解析： (1)设 an的公差为 d， bn的公比为 q，则依题意有 q0 且Error!解得 d2， q2.所以 an1( n1) d2 n1，bn qn1 2 n1 .7(2) .anbn 2n 12n 1Sn1 ，321 522 2n 32n 2 2n 12n 12Sn23 .52 2n 32n 3 2n 12n 2得 Sn22 22 222 22n 2 2n 12n 122 (112 122 12n 2) 2n 12n 122 6 .1 12n 11 12 2n 12n 1 2n 32n 122(本小题
15、满分 14 分)函数 f(x)3 x22 x，已知数列 an的前 n 项和为 Sn，点(n， Sn)(nN )均在函数 y f(x)的图像上(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn ， Tn是数列 bn的前 n 项和，求使得 Tn 对所有 nN 都成立的3anan 1 m20最小正整数 m.解析： (1)由点( n， Sn)(nN )均在函数 y f(x)的图像上得 Sn3 n22 n.当 n2 时， an Sn Sn1(3 n22 n)3( n1) 22( n1)6 n5；当 n1 时， a1 S131 2211615.所以 an6 n5( nN )(2)由(1)得 bn 3anan 1 3 6n 5 6 n 1 5 ，12( 16n 5 16n 1)故 Tn ini 1b12(1 17) (17 113) ( 16n 5 16n 1)12(1 16n 1)因此，使得 (nN )成立的 m 必须且仅须满足 ，即 m10，12(1 16n 1) m20 12 m20故满足要求的最小整数 m 为 10.8
