1、1 第二篇 方程与不等式 专题08 一元二次方程 解读考点 知 识 点 名师点晴 1 一元二次方程的概念 会识别一元二次方程 一元二 次方程 的概念 2 一元二次方程的解 会识别一个数是不是一元二次方程的解 解法 步骤 能灵活选择适当的方法解一元二次方程 根的判 别式 是一元二次方程 2 4 b ac （a0）的判 2 0 ax bx c 别式 会判断一元二次方程根的情况 根与系 数的关 系 ， 1 2 b x x a 1 2 c x x a 会灵活运用根与系数的关系解决问题 一元二 次方程 的应用 由实际问题抽象出一元二次方 程 要列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系 最后要检验结果是不
2、是合理 2年中考 【2017年题组】 一、选择题 1 （2017内蒙古包头市）若关于x的不等式 的解集为x1，则关于x的一元二次方程 1 2 a x 根的情况是（ ） 2 1 0 x ax A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C无实数根 D无法确定 【答案】C2 【解析】 点睛：本题考查了根的判别式：一元二次方程 （a0）的根与= 有如下关系： 2 0 ax bx c 2 4 b ac 当0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实 数根 考点：1根的判别式；2不等式的解集 2 （2017内蒙古呼和浩特市）关于x的一元二次方程 的两个实数根互为相
3、反数， 2 2 ( 2 ) 1 0 x a a x a 则a的值为（ ） A2 B0 C1 D2或0 【答案】B 【解析】 试题分析：设方程的两根为 ， ，根据题意得 ，所以 ，解得a=0或a=2，当 1 x 2 x 1 2 0 x x 2 2 0 a a a=2时，方程化为 ，=40，故a=2舍去，所以a的值为0故选B 2 1 0 x 考点：根与系数的关系 3 （2017四川省凉山州）若关于x的方程 与 有一个解相同，则a的值为（ 2 2 3 0 x x 2 1 3 x x a ） A1 B1或3 C1 D1或3 【答案】C 【解析】 试题分析：解方程 ，得：x 1 =1，x 2 =3，x=
4、3是方程 的增根，当x=1 2 2 3 0 x x 2 1 3 x x a 时，代入方程 ，得： ，解得a=1故选C 2 1 3 x x a 2 1 1 3 1 a 点睛：本题考查了解一元二次方程因式分解法，分式方程的解此题属于易错题，解题时要注意分式的 分母不能等于零 考点：1解一元二次方程因式分解法；2分式方程的解 4 （2017四川省泸州市）已知m，n是关于 的一元二次方程 的两实数根，则 x 2 2 2 2 4 0 x tx t t 的最小值是（ ） ( 2)( 2) m n 3 A7 B11 C12 D16 【答案】D 【解析】 点睛：本题考查了一元二次方程根与系数的关系注意还需考虑
5、有实数根时t的取值范围，这是本题最易 漏掉的条件解此类题目要把代数式变形为两根之积或两根之和的形式 考点：1二次函数的性质；2最值问题；3二次函数的最值；4根与系数的关系；5综合题 5 （2017四川省绵阳市）关于x的方程 的两个根是2和1，则 的值为（ ） 0 2 2 n mx x m n A8 B8 C16 D16 【答案】C 【解析】 试题分析：关于x的方程 的两个根是2和1， =1， 0 2 2 n mx x 2 m 2 n =2，m=2，n=4， =（4） 2 =16故选C m n 考点：根与系数的关系 6 （2017宁夏）关于x的一元二次方程 有实数根，则a的取值范围是（ ） 2
6、1 3 2 0 a x x A B C 且 D 且 1 8 a 1 8 a 1 8 a 1 a 1 8 a 1 a 【答案】D 【解析】 试题分析：根据题意得a1且=3 2 4（a1）（2）0，解得 且a1故选D 1 8 a 考点：根的判别式 7 （2017安徽省）一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元设两次降价的百分率都为 x，则 x满足（ ） A B 16(1 2 ) 25 x 25(1 2 ) 16 x 4 C D 2 16(1 ) 25 x 2 25(1 ) 16 x 【答案】D 【解析】 考点：由实际问题抽象出一元二次方程 8 （2017山东省东营市）若 与 互为相反数，则
7、x+y的值为（ ） 2 4 4 x x 2 3 x y A3 B4 C6 D9 【答案】A 【解析】 试题分析：根据题意得： + =0，所以 =0， =0，即 2 4 4 x x 2 3 x y 2 4 4 x x 2 3 x y （x2） 2 =0，2xy3=0，所以x=2，y=1，所以x+y=3故选A 点睛：本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成（x+m） 2 =n的形式，再利用直接开平方 法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法也考查了非负数的性质 考点：1解一元二次方程配方法；2非负数的性质：绝对值；3非负数的性质：算术平方根 9 （2017山东省泰安市）一元二次方程 配方
8、后化为（ ） 2 6 6 0 x x A B C D 2 ( 3) 15 x 2 ( 3) 3 x 2 ( 3) 15 x 2 ( 3) 3 x 【答案】A 【解析】 试题分析：方程整理得：x 2 6x=6，配方得：x 2 6x+9=15，即 ，故选A 2 ( 3) 15 x 考点：1解一元二次方程配方法；2一次方程（组）及应用 10 （2017湖北省荆州市）规定：如果关于x的一元二次方程 （a0）有两个实数根，且 2 0 ax bx c 其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程” 现有下列结论： 方程 是倍根方程； 2 2 8 0 x x 5 若关于x的方程 是倍根方程，则a=
9、3； 2 2 0 x ax 若关于x的方程 （a0）是倍根方程，则抛物线 与x轴的公共点的 2 6 0 ax ax c 2 6 y ax ax c 坐标是（2，0）和（4，0） ； 若点（m，n）在反比例函数 的图象上，则关于x的方程 是倍根方程 4 y x 2 5 0 mx x n 上述结论中正确的有（ ） A B C D 【答案】C 【解析】 关于x的方程 （a0）是倍根方程，x 2 =2x 1 ，抛物线 的对称轴 2 6 0 ax ax c 2 6 y ax ax c 是直线x=3，抛物线 与x轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0） ，故正确； 2 6 y ax ax c 点（m，n）在
10、反比例函数 的图象上，mn=4，解 得 4 y x 2 5 0 mx x n x 1 = ，x 2 = ，x 2 =4x 1 ，关于x的方程 不是倍根方程； 2 m 8 m 2 5 0 mx x n 故选C 考点：1反比例函数图象上点的坐标特征；2根的判别式；3根与系数的关系；4抛物线与x轴的交 点；5综合题 11 （2017白银）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩 余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m 2 若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ） A （322x） （20x）=570 B32x+220x=32205706 C （32
11、x） （20x）=3220570 D32x+220x2x 2 =570 【答案】A 【解析】 试题分析：设道路的宽为xm，根据题意得：（322x） （20x）=570，故选A 考点：由实际问题抽象出一元二次方程 12 （2017贵州省六盘水市）三角形的两边a、b的夹角为60且满足方程 ，则第三边的 2 3 2 4 0 x x - + = 长是（ ） A B C D 6 2 2 2 3 3 2 【答案】A 【解析】 点睛：本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这 种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法也考查了解直角三角形 考点：1解一元二次方程因
12、式分解法；2解直角三角形 13 （2017四川省攀枝花市）关于x的一元二次方程 有两个实数根，则实数m的取值范 2 ( 1) 2 1 0 m x x 围是（ ） Am0 Bm0 Cm0且m1 Dm0且m1 【答案】C7 【解析】 点睛：本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当0时，方程有两个实数根”是解题 的关键 考点：根的判别式 二、填空题 14 （2017四川省内江市）设、是方程 的两实数根，则 = ( 1)( 4) 5 x x 3 3 【答案】47 【解析】 试题分析：方程 可化为 ，、是方程 的两实数 ( 1)( 4) 5 x x 2 3 1 0 x x ( 1)( 4)
13、5 x x 根，+=3，=1， =7， =47， 2 2 2 =( + ) 2 4 4 2 2 2 2 2 =( ) 2 = =47，故答案为：47 3 3 4 4 点睛：本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据已知条件对 进行变形 3 3 考点：1根与系数的关系；2条件求值 15 （2017四川省眉山市）已知一元二次方程 的两个实数根为 ， ，则 2 3 2 0 x x 1 x 2 x 的值是 1 2 ( 1)( 1) x x 【答案】4 【解析】 试题分析：一元二次方程 的两个实数根为 ， ， 、 ， 2 3 2 0 x x 1 x 2 x 1 2 3 x x 1 2 2 x x =
14、 =23+1=4故答案为：4 1 2 ( 1)( 1) x x 1 2 1 2 ( ) 1 x x x x 考点：根与系数的关系 16 （2017德州）方程3x（x1）=2（x1）的解为 【答案】1或 2 38 【解析】 考点：1解一元二次方程因式分解法；2等式的性质；3解一元一次方程 17 （2017枣庄）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 2 2 1 0 ax x 【答案】a1 且a0 【解析】 试题分析：由题意得a0且=（2） 2 4a（1）0，解得a1且a0故答案为：a1且 a0 考点：根的判别式 18 （2017山东省泰安市）关于x的一元二次方程 无实数
15、根，则k的取值范围 2 2 (2 1) ( 1) 0 x k x k 为 【答案】k 5 4 【解析】 试题分析：根据题意得=（2k1） 2 4（k 2 1）0，解得k 故答案为：k 5 4 5 4 考点：根的判别式 19 （2017山东省淄博市）已知，是方程 的两个实数根，则 的值为 2 3 4 0 x x 2 3 a 【答案】0 【解析】 试题分析：根据题意得+=3，=4，所以原式=a（+）3=33=0故答案为：0 考点：根与系数的关系 20 （2017江苏省扬州市）若关于x的方程 存在整数解，则正整数m的所 2 2017 4020 0 x m x 有取值的和为 【答案】15 【解析】9
16、点睛：本题考查无理方程、换元法、正整数等知识，解题的关键是学会利用换元法解决问题，属于中考填 空题中的压轴题 考点：1无理方程；2换元法 三、解答题 21 （2017北京市）关于x的一元二次方程 2 3 2 2 0 x k x k （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根小于1，求k的取值范围 【答案】 （1）证明见解析；（2）k0 【解析】 试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得=（k1） 2 0，由此可证出方程总有两个实数 根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x 1 =2、x 2 =k+1，根据方程有一根小于1，即可得出关于k的 一元一次不等式，解之即可
17、得出k的取值范围 试题解析：（1）证明：在方程 中，=（k+3） 2 41（2k+2） 2 3 2 2 0 x k x k =k 2 2k+1=（k1） 2 0，方程总有两个实数根 （2）解： =（x2） （xk1）=0，x 1 =2，x 2 =k+1 2 3 2 2 x k x k 方程有一根小于1，k+11，解得：k0，k的取值范围为k0 点睛：本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是： （1）牢记“当0时，方程有两个实数根” ；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于 1，找出关于k的一元一次方程 考点：根的判别式 22 （2017四川省
18、南充市）已知关于x的一元二次方程 2 ( 3) 0 x m x m （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为 ， ，且 ，求m的值 1 x 2 x 2 2 1 2 1 2 7 x x x x 10 【答案】 （1）证明见解析；（2）m的值是1或2 【解析】 试题解析：（1）证明： ，=（m3） 2 41（m） 2 ( 3) 0 x m x m =m 2 2m+9=（m1） 2 +80，方程有两个不相等的实数根； （2） ，方程的两实根为 ， ，且 ， ， 2 ( 3) 0 x m x m 1 x 2 x 2 2 1 2 1 2 7 x x x x 1 2 3 x x m
19、 ， ，（m3） 2 3（m）=7，解得，m 1 =1，m 2 =2，即m的值是1 1 2 x x m 2 1 2 1 2 ( ) 3 7 x x x x 或2 考点：1根与系数的关系；2根的判别式 23 （2017四川省眉山市）东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品 每天生产76件，每件利润10元调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加 2元 （1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品； （2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件若生产的某档次产品一天的 总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次
20、的产品？ 【答案】 （1）第 3档；（2）第5档 【解析】 试题分析：（1）根据生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元，即可求出每件利润为14 元的蛋糕属第几档次产品； （2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据单件利润销售数量=总利润，即可得出关于x的一元二次 方程，解之即可得出结论 试题解析：（1） （1410）2+1=3（档次） 答：此批次蛋糕属第3档次产品 （2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据题意得：（2x+8）（76+44x）=1080，整理得： x 2 16x+55=0，解得：x 1 =5，x 2 =11（舍去） 答：该烘焙店生产的是第5档次的产品 点睛：本题考查
21、了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）根据单件 利润销售数量=总利润，列出关于x的一元二次方程 考点：一元二次方程的应用11 24 （2017滨州） （1）根据要求，解答下列问题： 方程x 2 2x+1=0的解为 ； 方程x 2 3x+2=0的解为 ； 方程x 2 4x+3=0的解为 ； （2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： 方程x 2 9x+8=0的解为 ； 关于x的方程 的解为x 1 =1，x 2 =n （3）请用配方法解方程x 2 9x+8=0，以验证猜想结论的正确性 【答案】 （1）x 1 =x 2 =1；x 1 =1，x 2 =2；x 1 =
22、1，x 2 =3；（2）x 1 =1，x 2 =8；x 2 （1+n）x+n=0；（3） 答案见解析 【解析】 试题解析：（1）（x1） 2 =0，解得x 1 =x 2 =1，即方程x 2 2x+1=0的解为x 1 =x 2 =1； （x1） （x2）=0，解得x 1 =1，x 2 =2，所以方程x 2 3x+2=0的解为x 1 =1，x 2 =2； （x1） （x3）=0，解得x 1 =1，x 2 =3，方程x 2 4x+3=0的解为x 1 =1，x 2 =3； （2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： 方程x 2 9x+8=0的解为x 1 =1，x 2 =8； 关于x的方程 x 2 （
23、1+n）x+n=0的解为x 1 =1，x 2 =n （3）x 2 9x=8，x 2 9x+ =8+ ， （x ） 2 = 81 4 81 4 9 2 49 4 x = ，所以x 1 =1，x 2 =8； 9 2 7 2 所以猜想正确 故答案为：x 1 =x 2 =1；x 1 =1，x 2 =2；x 1 =1，x 2 =3；x 2 （1+n）x+n=0； 点睛：本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成（x+m） 2 =n的形式，再利用直接开平方 法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法也考查了因式分解法解一元二次方程12 考点：1解一元二次方程配方法；2一元二次方程的解；3解一元二次方
24、程因式分解法 25 （2017山东省潍坊市）工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器， 需要将四角各裁掉一个正方形 （厚度不计） （1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm 2 时，裁掉 的正方形边长多大？ （2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费 用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？ 【答案】 （1）裁掉的正方形的边长为2dm；（2）当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，最低费用 为25元 【解析】 试
25、题解析： （1）如图所示： 设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得（102x） （62x）=12，即x 2 8x+12=0，解得x=2或 x=6（舍去） 答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm 2 ； （2）长不大于宽的五倍，102x5（62x） ，解得0x2.5，设总费用为w元，由题意可知 w=0.52x（164x）+2（102x） （62x）=4x 2 48x+120=4（x6） 2 24，对称轴为x=6，开口向上，13 当0x2.5时，w随x的增大而减小，当x=2.5时，w有最小值，最小值为25元 答：当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元 考点：1二
26、次函数的应用；2一元二次方程的应用；3二次函数的最值；4最值问题；5操作型 26 （2017山东省烟台市）今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间” 活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年 单价为162元 （1）求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率； （2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案： 试问去哪个商场购买足球更优惠？ 【答案】 （1）10%；（2）去B商场购买足球更优惠 【解析】 （2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费
27、用，比较后即可得出结 论 试题解析：（1）设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据题意得： 200（1x） 2 =162，解得：x=0.1=10%或x=1.9（舍去） 答：2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10% （2）100 = 90.91（个） ，在A商城需要的费用为16291=14742（元） ，在B商城需要的费用 10 11 1000 11 为162100 =14580（元） 9 101474214580 答：去B商场购买足球更优惠 点睛：本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据2015年及2017年该品牌足球的单价，
28、列出关于x的一元二次方程；（2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的14 总费用 考点：1一元二次方程的应用；2增长率问题 27 （2017浙江省台州市）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根比如 对于方程 ，操作步骤是： 2 5 2 0 x x 第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A（0，1） ，B（5，2） ； 第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B； 第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C的横坐标m即为该方程的一个实 数根（如图1） ； 第四步：调整三角板直角顶点
29、的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n即为该方程的另一 个实数根 （1）在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点D（请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹） ； （2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的m就是方程 的一个实数根； 2 5 2 0 x x （3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程 2 0 ax bx c （a0， 0）的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标； 2 4 b ac （4）实际上， （3）中的固定点有无数对，一般地，当m 1 ，n 1 ，m 2 ，n 2 与a，b，c之间满足怎样的关系时， 点P（m 1 ，n 1 ） ，
30、Q（m 2 ，n 2 ）就是符合要求的一对固定点？ 【答案】 （1）作图见解析；（2）证明见解析；（3）A（0，1） ，B（ ， ）或A（0， ） ， b a c a 1 a B（ ，c）等；（4） ， = b a 1 2 b m m a 1 2 1 2 mm nn c a 【解析】15 （3）方程 （a0）可化为 ，模仿研究小组作法可得一对固定点的坐标； 2 0 ax bx c 2 0 b c x x a a （4）先设方程的根为x，根据三角形相似可得 ，进而得到 1 2 1 2 n m x x m n ，再根据 ，可得 ，最后比较系数可得 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 0 x m m
31、 x mm nn 2 0 ax bx c 2 0 b c x x a a m 1 ，n 1 ，m 2 ，n 2 与a，b，c之间的关系 试题解析：（1）如图所示，点D即为所求； （2）如图所示，过点B作BDx轴于点D，根据AOC=CDB=90，ACO=CBD，可得AOC CDB， ， ，m（5m）=2， ，m是方程 的 AO OC CD BD 1 5 2 m m 2 5 2 0 m m 2 5 2 0 x x 实数根； （3）方程 （a0）可化为 ，模仿研究小组作法可得：A（0，1） ，B（ 2 0 ax bx c 2 0 b c x x a a ， ）或A（0， ） ，B（ ，c）等； b
32、a c a 1 a b a （4）如图，P（m 1 ，n 1 ） ，Q（m 2 ，n 2 ） ，设方程的根为x，根据三角形相似可得 ，上式可化 1 2 1 2 n m x x m n 为 ，又 ，即 ，比较系数可得 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 0 x m m x mm nn 2 0 ax bx c 2 0 b c x x a a ， = 1 2 b m m a 1 2 1 2 mm nn c a16 点睛：本题属于三角形综合题，主要考查的是一元二次方程的解，相似三角形的判定与性质的综合应用， 解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例，列出比例式并转化为等积
33、式 考点：1三角形综合题；2一元二次方程的解；3相似三角形的判定与性质；4阅读型；5操作型； 6压轴题 28 （2017湖北省宜昌市）某市总预算a亿元用三年时间建成一条轨道交通线轨道交通线由线路敷设、 搬迁安置、辅助配套三项工程组成从2015年开始，市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数额的 投资2015年年初，对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍随后两年，线路敷设投 资每年都增加b亿元，预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如期完工；搬迁安置投资从2016年初 开始遂年按同一百分数递减，依此规律，在 2017年年初只需投资5亿元，即可顺利如期完工；辅助配套 工程在20
34、16年年初的投资在前一年基础上的增长率是线路敷设2016年投资增长率的1.5倍，2017 年年初 的投资比该项工程前两年投资的总和还多4亿元，若这样，辅助配套工程也可以如期完工经测算，这三 年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3：2 （1）这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元？ （2）市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元？ （3）求搬迁安置投资逐年递减的百分数 【答案】 （1）36；（2）35；（3）50% 【解析】17 （3）由x=5得出2015年初搬迁安置的投资为20亿元，设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百 分数为y，根据“2017年年初搬迁安置的为投资
35、5亿”列方程求解可得 试题解析：（1）三年用于辅助配套的投资将达到54 =36（亿元） ； 2 3 （2）设2015年年初，对辅助配套的投资为x亿元，则线路敷设的投资为2x亿元，搬迁安置的投资是4x 亿元，根据题意，得： ，解得： ，市政府2015 年年初 2 2 2 2 54 1.5 1.5 (1 ) (1 ) 4 36 2 2 x x b x b b b x x x x x x 5 8 x b 对三项工程的总投资是7x=35亿元； （3）由x=5得，2015年初搬迁安置的投资为20亿元，设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百 分数为y，由题意，得：20（1y） 2 =5，解得：y
36、1 =0.5，y 2 =1.5（舍） 答：搬迁安置投资逐年递减的百分数为50% 点睛：本题主要考查一元二次方程、二元一次方程组的应用，理解题意、准确梳理题中所涉数量关系，找 到题目蕴含的相等关系是解题的关键 考点：1一元二次方程的应用；2分式方程的应用；3增长率问题 29 （2017湖北省荆州市）已知关于x的一元二次方程 ，其中k为常数 2 ( 5) 1 0 x k x k （1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）已知函数 的图象不经过第三象限，求k的取值范围； 2 ( 5) 1 y x k x k （3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值 【答案】
37、（1）证明见解析；（2）k1；（3）2 【解析】 试题分析：（1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出0，根据判别式的意义即可证明； （2）由于二次函数 的图象不经过第三象限，又=（k5） 2 4（1k） 2 ( 5) 1 y x k x k =（k3） 2 +120，所以抛物线的顶点在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开18 口向上，由此可以得出关于k的不等式组，解不等式组即可求解； （3）设方程的两个根分别是x 1 ，x 2 ，根据题意得（x 1 3） （x 2 3）0，根据一元二次方程根与系数的关 系求得k的取值范围，再进一步求出k的最大整数值 试题解析：（1）证明：
38、=（k5） 2 4（1k）=k 2 6k+21=（k3） 2 +120，无论k为何值，方 程总有两个不相等实数根； （2）解：二次函数 的图象不经过第三象限，二次项系数a=1，抛物线开口 2 ( 5) 1 y x k x k 方向向上，=（k3） 2 +120，抛物线与x轴有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为 x 1 ，x 2 ，x 1 +x 2 =5k0，x 1 x 2 =1k0，解得k1，即k的取值范围是k1； （3）解：设方程的两个根分别是x 1 ，x 2 ，根据题意，得（x 1 3） （x 2 3）0，即x 1 x 2 3（x 1 +x 2 ） +90，又x 1 +x 2 =
39、5k，x 1 x 2 =1k，代入得，1k3（5k）+90，解得k 则k的最大整数值为 5 2 2 点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，根的 判别式，根与系数的关系，综合性较强，难度适中 考点：1抛物线与x轴的交点；2根的判别式；3根与系数的关系；4二次函数的性质 30 （2017湖北省鄂州市）关于x的方程 有两个不相等的实数根 0 3 2 ) 1 2 ( 2 2 k k x k x （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为 、 ，存不存在这样的实数k，使得 ？若存在，求出 1 x 2 x 5 | | | | 2 1 x x
40、 这样的k值；若不存在，说明理由 【答案】 （1） k ；（2）4 11 4 【解析】 试题解析：（1）方程有两个不相等的实数根，=（2k1） 2 4（k 2 2k+3）=4k110，解得： k ； 11 4 （2）存在， ， =（k1） 2 +20，将 两边平方可得 1 2 2 1 x x k 2 1 2 2 3 x x k k 5 | | | | 2 1 x x ，即 ，代入得： ，解得： 2 2 1 1 2 2 2 5 x x x x 2 1 2 1 2 ( ) 4 5 x x x x 2 2 (2 1) 4( 2 3) 5 k k k 19 4k11=5，解得：k=4 考点：1根与系数
41、的关系；2根的判别式 31 （2017重庆）某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响， 樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产 （1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今 年收获樱桃至少多少千克？ （2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为 100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同，该果 农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了 2m%，但销售均价比去年减
42、少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年 樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值 【答案】 （1）50；（2）12.5 【解析】 试题解析：（1）设该果农今年收获樱桃x千克，根据题意得：400x7x，解得：x50 答：该果农今年收获樱桃至少50千克； （2）由题意可得：100（1m%）30+200（1+2m%）20（1m%）=10030+20020，令m%=y，原方程可化为： 3000（1y）+4000（1+2y） （1y）=7000，整理可得：8y 2 y=0，解得：y 1 =0，y 2 =0.125，m 1 =0（舍去） ， m 2 =12.5，m 2 =1
43、2.5 答：m的值为12.5 点睛：此题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，正确表示出水果的销售总金额是 解题关键 考点：1一元二次方程的应用；2一元一次不等式的应用 32 （2017黑龙江省绥化市）已知关于x的一元二次方程 2 2 (2 1) 4 0 x m x m （1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？20 （2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值 【答案】 （1）m ；（2）m=4 17 4 【解析】 （2）设方程的两根分别为a、b，根据题意得：a+b=2m1，ab= 2 4 m 2a、2b为边长为5的菱形的两条对角线的长， = 2 2 2 ( ) 2 a b a b ab 2 2 ( 2 1) 2( 4) m m =2m 2 +4m+9=5 2 =25，解得：m=4或m=2 a0，b0，a+b=2m10，m=4 若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为4 点睛：本题考查了根的判别式、根与系数的关系、菱形的性质以
