1、在时变场情况下，电场和磁场相互激励，在空间形成电磁波，时变电磁场的能量以电磁波的形式传播。电磁场的波动性可用电磁场满足的波动方程来描述，而波动方程是将麦克斯韦方程组进行适当变化后得到的。,第4章 时变电磁场,4.1 波动方程 电磁场的波动性,时变电磁场具有波动性，其波动方程与一般波动方程相似，这是波动运动的共性。另一方面，电磁场的波动具有个性，即它必须满足麦克斯韦方程。,4.1.1 波动方程的建立,在无源空间中，电荷和电流处处为零，即0，J0，电磁场满足的麦克斯韦方程为,对第二式两边取旋度，并利用D =E、B=H，得,利用 和 得,同理：,电磁场波动方程，典型的三维波动方程,求解三维方程比较困
2、难，且解的物理意义不易理解。可将方程简化进行求解和分析。设电场强度E只与z和时间t有关，其方向沿x方向，即,4.1.2 波动方程解的一般形式,一维波动方程,解的函数形式,变量,现在关心函数变量 。,考虑第一项 代表的物理意义。,设f+的波形当变量 时为最大值。令波形最大值的位置为z=zmax,4.1.3 波动方程解的诠注 电磁场的波动性,不同时刻波形最大值出现的位置t=0，zmax=0；,t=t1 0，zmax= vt10；, ,沿z方向传播,图形移动速度，即电磁波速度,t=t2 t1，zmax= vt2vt10；,波动方程及其解的进一步说明,同理可得第二项表示沿-z方向传播的波波动方程的解代
3、表两个沿相反方向传播的波，具体选择视具体情况而定三维波动方程的解仍然代表传播的波，但无法用图形描绘满足波动方程的电磁场，以振荡形式在空间中传播，形成电磁波，其传播速度为 ，真空中,4.2 电磁位 达朗倍尔方程,在静态场中引入了标量位和矢量位，分别描述电场和磁场，简化了对电场和磁场的分析过程。对于时变电磁场，也可以引入位函数来描述。,4.2.1 用位函数描述电磁场,标量位函数,引入A和的意义在于简化电磁场的求解过程，特别是对于复杂的辐射问题，引入位函数可以大大简化。,前面定义的矢量位A和标量位不是惟一确定的，对于同样一组E和B，还可以用另一组位函数来表示，即有,4.2.2 规范与规范变换,显然不
4、同的位函数对应同样的电磁场。由于是任意标量，所以同样电磁场的位函数有无数多组，即电磁场的位函数具有不确定性。通常将一组电磁位(A,)称为一种规范，不同的电磁位或规范可以描述相同的电磁场。,有关规范和规范变换的进一步说明,规范通常被用来描述电磁场，一种规范即为一种描述方法，或者说一组参量或坐标规范变换即为描述方法的变换，或者说从用某一组参量或坐标描述变换到用另一组参量或坐标描述客观物理量或客观物理规律与规范的选择无关，不会因规范的变换而变化，这种性质称为规范不变性,规范条件 要确定一个矢量场，除了给定其旋度外，还需要给定其散度。矢量位A的任意性即是因为没有给定其散度所致。所以还需要规定A的散度，
5、通常选择的规定为,洛仑兹条件,库仑条件,4.2.3 达朗贝尔方程,位函数满足的达朗贝尔方程，是非齐次的波动方程。,达朗贝尔方程和位函数的波动性,电荷产生标量位波动电流产生矢量位波动离开源后，位函数以波动的形式存在并传播，由此决定电磁场也以波动的形式存在和传播,4.3 电磁能量与能量守恒,能量守恒定律是一切物质运动过程遵守的普遍规律，作为特殊形态的物质，电磁场及其运动过程也遵守这一规律。本节将详细讨论电磁场的能量和能量守恒定律，引入重要的坡印廷矢量和坡印廷定理，分析讨论电磁场能量、电荷电流运动及电磁场做功之间的相互联系。,电磁场的能量密度：电磁场能量的空间分布用能量密度w来描述，它表示单位体积中
6、电磁场的能量，通常是坐标与时间的函数，即,4.3.1 电磁场能量密度和能流密度的物理表述,电磁场的能量流密度：电磁波电磁振荡定向运动伴随电磁场能量移动，其流动情况用电磁场能量流密度(能流密度)S表示。S是矢量，数值为单位时间垂直流过单位面积的能量，方向为能量流动方向，一般是坐标和时间的函数，即,电磁场的能量流通量：通过面积 的能量流通量为,电磁场对连续电荷系统做的功：,对单位体积电荷做功的功率,对体积V中电荷做功的功率,电磁场对电荷系统做的功：电磁场中运动速度为v的电荷q受到的电磁场作用力 ，功率,设区域V中电磁场能量随时间减少，由于能量守恒，减少的能量可能通过边界 流出，或因对V中电荷做功而
7、消耗，即减少量 = 流出量 + 消耗量,坡应廷定理或电磁场能量守恒定理,4.3.2 电磁场的能量守恒 坡印廷定理,能量密度和能流密度应该与电磁场场量有关，w和S可以用场量来表示。,由,与坡应廷定理比较,坡应廷矢量,电磁场能量密度,电场能量密度,磁场能量密度,4.3.3 用场量表示电磁场的能量密度和能流密度,例4-1 一根长度l、横截面S的导线两端电位差为U，导线的电导率为。求当电流流过导线时电场能量的损耗。,解：当导线两端存在电位差时，导线中会产生电场，即,可见，电场对电荷做功导致电场能量消耗，电场能量通过做功转换为光、热、机械能或其他形式的能量。,4.4 电磁场的动量与动量守恒,与能量守恒定
8、律一样，动量守恒定律是自然界一切物质运动过程所遵守的普遍规律。作为一种特殊形态的物质，电磁场及其运动过程也不遵守这个规律,电磁场的动量密度：电磁场动量的空间分布用动量密度g来描述，它表示单位体积中电磁场的动量，它是一个矢量且通常是坐标与时间的函数，即,4.4.1 电磁场动量密度和能流密度的物理表述,电磁场的动量流密度：电磁振荡运动伴随电磁场动量的移动，其流动情况用电磁场动量流密度张量 来表示,电磁场的动量流通量：通过面积 的动量流通量为 。注意，面积元与动量流张量为前点乘，这个顺序不能交换，这是由于动量流张量各分量的前一个下标表示动量流动的方向，应该与面积元点乘,单位时间内电荷动量的增量,电磁
9、场对电荷的作用：电荷受到电磁场的作用力会产生运动，从而使得电荷的动量发生改变。单位体积受力f(力密度)与单位体积中的动量增量g之间的关系为,式中，分量Tij中的下标i和j分别表示动量流动的方向和动量本身的方向，Tij的意义是：单位时间内流过垂直于i轴的单位面积的动量的j分量,设区域V中电磁场动量随时间减少，由于动量必须守恒，减少的动量可能通过边界 流出，或因使V中的电荷动量改变而消耗，即减少量 = 流出量 + 消耗量,电磁场动量守恒定理,4.4.2 电磁场的动量守恒,动量密度和动量流密度应该与电磁场场量有关，动量密度g和动量流密度张量(Tij)可以用场量来表示，即,单位张量,4.4.3 用场量
10、表示电磁场的动量密度和动量流密度,场源（电荷或电流）以一定的角频率随时间作正弦变化，它所激发的电磁场也以相同的角频率随时间作正弦变化，称为时谐场或正弦场广播、电视和通信的载波，都是时谐波或称正弦电磁波即使电磁场不是正弦场，也可以通过富里叶变换展开成正弦场来研究。所以，研究正弦场具有普遍意义复数表示法可以使大多数正弦场问题得以简化，但有时仍需用实数形式（称为瞬时表示法），所以经常会遇到两种表示法的互换另外，对于能量密度、能流密度等含有场量的平方关系的物理量（称为二次式），只能用瞬时的形式来表示,4.5 正弦场的复数表示,设 是一个以角频率随时间t作正弦变化的场量，它可以是电场和磁场的任意一个分量
11、，也可以是电荷或电流等变量，它与时间的关系可以表示成,式中的A0为振幅，(r)为与坐标有关的相位因子。 利用三角公式,实数表示法或瞬时表示法，瞬时场,其中,复数表示法,时间因子,复振幅,相位因子,照此法，电场各分量Ei（i 表示x，y或z）可表示成,4.5.1 电磁场的复数表示,各分量合成以后，电场强度为,复矢量，只与坐标有关，与时间无关,同理：,对复数表示法的进一步说明,复数式用“”以示区别，但实际中“”并不写出来复数式只是数学表示方式，不代表真实的场真实场是复数式的实部，即瞬时表达式由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有关的部份就可表示场量,瞬时表示法,复数表示法,不含时间因
12、子的复数表示法,恢复时间因子,取实部得到瞬时表示法，即瞬时场,4.5.2 复数表示法与瞬时表示法的变换,4.5.3 正弦场中的二次式,电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方关系，这种关系式称为二次式。二次式的表示方法二次式本身不能用复数形式表示，其中的场量必须是实数形式，不能将复数形式的场量直接代入。 设某正弦电磁场的电场强度和磁场强度分别为,则能流密度为,如把电场强度和磁场强度用复数表示，即有,先取实，再代入,使用二次式时需要注意的问题,二次式只有实数的形式，没有复数形式场量是实数式时，直接代入二次式即可场量是复数式时，应先取实部再代入，即“先取实后相乘”如复数形式的场量中没有
13、时间因子，取实前先补充时间因子,二次式的时间平均值能量密度和能流密度反映的是能量密度或能流密度在某一个瞬时的取值，是时间的函数有时要关心在一个时间周期中的平均值，即平均能量密度和平均能流密度。这就是二次式的时间平均值问题,如电场和磁场都用实数形式给出，则平均能流密度为,如果电场和磁场都用复数形式给出，即有,同理，有,时间平均值与时间无关,将复数形式表示的场量和电荷、电流，代入麦克斯韦方程组，可得正弦场的麦克斯韦方程组，如,消去时间因子,略去“ ”,同理,4.6.1 复数形式的麦克斯韦方程,4.6 正弦场的基本方程,对复数形式麦氏方程的说明,方程中的各量都不包含时间因子，各量均与时间无关,因为
14、，所以时间偏导数 作用于复数形式的场量时，相当于在场量前乘上j，如,例1 已知时变场的电场强度为 ，其中Exm和 kz为实常数。写出电场强度的瞬时矢量。,解：,例2 已知电场强度为 ，其中Exm和 kz为实常数。写出电场强度的瞬时矢量。,解：,例3 已知无源空间中，电磁场的电场强度复矢量为 ，其中k和E0为常数。求：H、S和S平均。,解：（1）由 得,（2）电场、磁场的瞬时值和玻应廷矢量为,（3）平均坡应廷矢量为,或直接积分，得,例4 已知真空中电磁场的电场强度和磁场强度矢量分别为 ，其中E0、H0和k为常数。求：(1)w和w平均；(2)S和S平均。,解:(1),其中：,(2),4.6.3 复数形式的达朗倍尔方程,在时谐时情况下，矢量位和标量位以及它们满足的方程都可以表示成复数形式，即,此时洛仑兹条件和位函数满足的达朗贝尔方程变为,4.6.2 复数形式的波动方程 亥姆霍兹方程,在时谐情况下，电磁场波动方程可写成,式中 ，此方程称为亥姆霍兹方程，即时谐情况下的波动方程。对于有耗介质，有,
