1、第二章、信号分析基础,本章学习要求：,1. 掌握信号分类方法 2. 了解信号分析中的常用函数 3. 掌握信号分析中函数的运算（卷积和相关） 4. 掌握信号时域波形分析方法 5. 掌握信号时域统计分析方法 6. 掌握信号频域频谱分析方法 7. 了解其它信号分析方法,工程测试技术,2.5 信号的频域分析,第二章、信号分析基础,信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。,傅里叶变换,第二章、信号分析基础,掌握内容,第二章、信号分析基础,1、频域分析的概念 2、周期信号的频谱分析 幅值谱：幅度-频率相位谱：相位-频率功率谱：功率-频
2、率 3、非周期信号的频谱分析幅值谱密度-频率相位谱密度-频率功率谱密度-频率 4、傅立叶变换的性质 5、频谱分析的应用,1、频域分析的概念,131Hz,147Hz,165Hz,175Hz,频域参数对应于设备转速、固有频率等参数，物理意义更明确。,2.5 信号的频域分析,时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。,图例：受噪声干扰的多频率成分信号,2.5 信号的频域分析,2.5 信号的频域分析,信号的频谱X(f)代表了信号在不同频率分量处信号成分的大小，它能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。,时域分析与频域分析的关系,2
3、、周期信号的频谱分析,周期信号是经过一定时间可以重复出现的信号，满足条件： x ( t ) = x ( t + nT ),2.5 信号的频域分析,狄义赫利条件 (1) 在一个周期内，间断点的个数有限 (2) 极大值和极小值的数目有限 (3) 信号绝对可积,满足上述条件的任何周期函数，都可以展成“正交函数(集)线性组合”的无穷级数。,2、周期信号的频谱分析,2.5 信号的频域分析,三角函数集（正弦型函数）,复指数函数集,正交函数集,如果正交函数集是三角函数集或指数函数集，则周期函数展成的级数就是“傅里叶级数”。 相应的级数通常被称为“三角形式傅里叶级数”和“指数形式的傅里叶级数”。傅里叶级数的两
4、种不同表示形式。 傅里叶级数工程上物理上的应用相当广泛。任一周期函数可以利用傅里叶级数分解成许多不同振幅大小，不同频率高低的正弦波与余弦波。而非周期信号函数则可以利用傅里叶积分来分析。,2.5 信号的频域分析,展开成三角函数的无穷级数形式,设周期函数x(t)的周期为T,a0是常数，表示直流分量； n为正整数，n=1, a1cos0t+b1sin0t，基波n=2, a2cos20t+b2sin20t，二次谐波ancosn0t+bnsinn0t，n次谐波 用一类时间函数的集合来描述周期，称为周期信号的时域分析 系数an和bn统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称为傅里叶系数(FS)。 系数an和bn
5、的计算可由三角函数的正交特性求得。,T 周期：T=2/0 0基波圆频率； f0 基频：f0= 0/2,2.5 信号的频域分析,设周期为T函数x(t)，展开成三角函数的无穷级数形式,信号的基波、基频,三角函数的正交特性,2.5 信号的频域分析,三角函数的正交特性,2.5 信号的频域分析,系数计算方法，n0是离散变量，离散频率,注意是An /2,设周期为T的函数x(t)，展开成复指数函数的无穷级数形式：,频谱图的概念,工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以fn (0)为横坐标， an、bn为纵坐标画图，称为实频虚频谱；以fn为横坐标， An、 为纵坐标画图，则称为幅值相位谱；以fn为横坐标， 为纵
6、坐标画图，则称为功率谱。,图例,2.5 信号的频域分析,波形合成与分解,周期信号都可以用三角函数sin(2nf0t), cos(2nf0t) 的组合表示，也就是说，可以用一组正弦波和余弦波来合成任意形状的周期信号。,2.5 信号的频域分析,点击图片进入,2.5 信号的频域分析,2.5 信号的频域分析,例1、将下列周期信号按三角函数展开，画出幅值谱和相位谱,2.5 信号的频域分析,2.5 信号的频域分析,2.5 信号的频域分析,2.5 信号的频域分析,2.5 信号的频域分析,例2、已知周期矩形脉冲信号在一个周期内的表达式为：,2.5 信号的频域分析,，求其复数形式的幅值谱与相位谱。,解：根据计算
7、式，有：,复数形式的级数展开式为：,幅值和相位为：,频域分析,频带宽度：BW=2/ , Bf=1/ 频率间隔：0=2/T, f=1/T 占空因数： /T,Bw=2/,T,2.5 信号的频域分析,频域分析,2.5 信号的频域分析,频域分析,2.5 信号的频域分析,频域分析,周期T越小，频率间隔0=2/T越大！,2.5 信号的频域分析,周期信号幅值谱性质,a. 谐波性：仅在一些离散频率点，基频及其谐波(nf1)上有值，各次谐波频率比为有理数。具有非周期性的离散频谱。 b. 离散性：各次谐波在频率轴上取离散值，离散间隔为：0=2/T c. 收敛性：各次谐波分量随频率增加而衰减。 d. Cn是双边谱，
8、正负频率的频谱幅度相加才是实际幅度。,频域分析,2.5 信号的频域分析,吉布斯现象是由于展开式在间断点邻域不能均匀收敛引起的。 例：方波信号,频域分析,吉布斯现象(Gibbs),2.5 信号的频域分析,N=1,频域分析,2.5 信号的频域分析,N=1 , N=3,2.5 信号的频域分析,2.5 信号的频域分析,N=1, N=3, N=5,2.5 信号的频域分析,变化平缓的信号其频带窄，变化越快则频带越宽,3、非周期信号的频谱分析,2.5 信号的频域分析,周期信号的频谱谱线的间隔为,周期信号的频谱谱线的长度为,周期T0增加对离散频谱的影响,3、非周期信号的频谱分析,2.5 信号的频域分析,利用冲
9、激信号表示非周期信号,非周期信号表示为冲激信号的叠加,当0，则k， d，求和变成积分,上式表明，任何一个非周期信号可由一系列不同强度x()d，作用于不同时刻的冲激信号的线性组合来表示。,3、非周期信号的频谱分析,2.5 信号的频域分析,非周期信号可以看成是周期T 趋于无限大的周期信号,非周期信号的谱线间隔趋于无限小，变成了连续频谱；谱线的长度趋于零。,解决方法,FT变换,上式为连续时间信号的傅里叶变换(CTFT)。时域频域 C()频谱密度函数,3、非周期信号的频谱分析,2.5 信号的频域分析,频谱离散函数与频谱密度函数的关系,周期信号的FS展开式为 频域时域,当T，则n0 ， d，求和变成积分
10、：,频谱离散函数,频谱密度函数,3、非周期信号的频谱分析,2.5 信号的频域分析,CTFT：,ICTFT：,变换核,时域 频域,频域 时域,ICTFT：一个非周期信号是由频率为无限密集，幅度X()(d/2)等于无限小，无限多的复指数信号ejt的线性组合而成。非周期信号也可以分解为许多不同频率分量的谐波和，不同的是，由于非周期信号的周期T，基频fdf，它包含了从零到无穷大的所有频率分量，各频率分量的幅值为X(f)df，这是无穷小量，所以频谱不能再用幅值表示，而必须用幅值密度函数描述。非周期信号谱线出现在0, fmax的各连续频率值上，这种频谱称为连续谱,CTFT：周期信号是离散频谱，表示的是每个
11、谐波分量的复振幅。非周期信号的频谱是连续的频谱，表示的是每单位带宽内所有谐波分量合成的复振幅。X()是概率密度函数，是个复量。,3、非周期信号的频谱分析,2.5 信号的频域分析,FT存在的条件：满足下列狄里赫利条件 1、充分条件：时域信号绝对可积， 2、在任意有限区间内，信号x(t)只有有限个最大值和最小值 3、在任意有限区间内，信号x(t)仅有有限个不连续点，而且在这些点都必须是有限值,非周期信号的傅里叶变换是一对线性变换，它们之间存在一对一的关系，具有唯一性和可逆性,相位谱,幅值谱,或,式中:,2.5 信号的频域分析,非周期信号频谱分析图例,典型信号的频谱分析,点击图片进入,2.5 信号的
12、频域分析,例3、已知矩形脉冲信号,求其幅值谱密度和相位谱密度。,解：矩形脉冲信号的Fourier变换为：,幅值谱密度和相位谱密度：,2.5 信号的频域分析,A,/2,-/2,x(t),t,2.5 信号的频域分析,2.5 信号的频域分析,Bw=2/,矩形脉冲宽度为，代表时宽。频带宽度BW=2/ , Bf=1/ 。,时宽越小，带宽越大！,4、傅立叶变换的性质,a. 奇偶虚实性实函数x(t)的傅立叶变换X(f)的实部为偶函数，虚部为奇函数；X(f)的模为偶函数，相位为奇函数。 b. 线性叠加性若 x1(t) X1(f)，x2(t) X2(f) 则 c1x1(t)+c2x2(t) c1X1(f)+c2
13、X2(f) c. 对称性 若 x(t) X(f)，则 x(-t) X(-f) d. 时间尺度改变性 若 x(t) X(f)，则 x(kt) 1/kX(f/k) e. 时移性 若 x(t) X(f)，则 f. 频移性 若 x(t) X(f)，则 g. 卷积定理 若 x1(t) X1(f)，x2(t) X2(f)则 x1(t)x2(t) X1(f)*X2(f)；x1(t)*x2(t) X1(f)X2(f),2.5 信号的频域分析,线性性,齐次性,叠加性,b. FT的性质-线性性,b. FT的性质-线性性-例,求下图所示信号的频谱密度,线性性,例、求下图波形的频谱,2.5 信号的频域分析,时间尺度变
14、换特性：时域压缩对应频域扩展，时域扩展对应频域压缩,d. FT的性质-尺度变换特性,在时域若将信号压缩a倍，则在频域其频谱扩展a倍，同时幅度相应地也减为a倍；反之亦然,d. FT的性质-尺度变换特性-例,求下图所示信号的频谱密度,时移特性,不影响幅度谱，只在相位谱上叠加一个线性相位,与尺度变换结合,e. FT的性质-时移特性,求下图所示信号的频谱密度,e. FT的性质-时移特性-例,已知,e. FT的性质-时移特性-例,信号的频谱,频移特性,与尺度变换结合,频谱搬移 时域信号乘上一个复指数信号后，频谱被搬移到复指数信号的频率处。 利用欧拉公式，通过乘以正弦或余弦信号，可以达到频谱搬移的目的。信
15、号调制,f. FT的性质-频移特性,FT频移特性,f. FT的性质-频移特性-例,已知 其中R(t)表示一个矩形窗函数，是一个宽度为的矩形脉冲,频移特性,无限长的正弦信号截断，在0附近出现功率泄露,5、频谱分析的应用,频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是信号分析中最常用的一种手段。,在齿轮箱故障诊断中，可以通过齿轮箱振动信号频谱分析，确定最大频率分量，然后根据机床转速和传动链，找出故障齿轮。,在螺旋浆设计中，可以通过频谱分析确定螺旋浆的固有频率和临界转速，确定螺旋浆转速工作范围。,2.5 信号的频域分析,谱阵分析：设备启/停车变速过程分析,2.5 信号的频域分析,工程信号的傅立叶变换：,在
16、傅立叶正变换公式中，时间t的积分区间为-, + ，这意味着信号的观测时间无限长。 在实际工程信号测量中这是做不到的，人们只能观测和记录一个有限时间长度T0的信号，未观测部分则认为是观测部分的简单重复。,2.5 信号的频域分析,Fourier Who?,Jean B. Joseph Fourier (1768-1830),“An arbitrary function, continuous or with discontinuities, defined in a finite interval by an arbitrarily capricious graph can always be e
17、xpressed as a sum of sinusoids.”J.B.J. FourierDecember 21, 1807,2.5 信号的频域分析,2.5 信号的频域分析,简介： 1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表在“热的分析理论”一书中,2.5 信号的频域分析,傅立叶的两个最主要的贡献,“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示” 傅里叶的第二个主要论点,创新及新思想,工业革命：蒸汽机、热传导 1807 F
18、ourier: 处理不连续的卓越数学方法Laplace, Lagrange: 认为是一种荒谬的思想 时频分析： STFT变换 Wigner分布 Wavelet分析,2.5 信号的频域分析,思考题,1. 已知信号x(t)由幅值为4的50Hz正弦波信号和幅值为-2的100Hz余弦波信号组成，画出信号的实频虚频谱，幅值相位谱和功率谱。 2. 下图为一存在质量不平衡的齿轮传动系统，大齿轮为输入轴，转速为600转分，大，中、小齿轮的齿数分别为40, 20, 10。 下面是在齿轮箱机壳上测得的振动信号功率谱： 请根据你所学的频谱分析知识，判断是哪一个齿轮存在质量不平衡？提示：一倍频的频谱值增大，则存在质量不平衡。,2.5 信号的频域分析,2.5 信号的频域分析,思考题解答,1. 已知信号x(t)由幅值为4的50Hz正弦波信号和幅值为-2的100Hz余弦波信号组成，画出信号的实频虚频谱，幅值相位谱和功率谱。,2.5 信号的频域分析,思考题解答,2. 下图为一存在质量不平衡的齿轮传动系统，大齿轮为输入轴，转速为600转分，大，中、小齿轮的齿数分别为40, 20, 10。 下面是在齿轮箱机壳上测得的振动信号功率谱： 请根据你所学的频谱分析知识，判断是哪一个齿轮存在质量不平衡？提示：一倍频的频谱值增大，则存在质量不平衡。,解答：小齿轮！,
