1、第二章 投影基础,2-2 三面投影,2-3 点、直线、平面的投影,2-4 直线与平面、两平面的相对位置,2-1 投影法概述,2-5 投影变换,1.教学内容:,1).投影法的基本知识,2).三视图的对应关系,3).点、线、面的投影及投影规律,4).直线上点的求法,5).平面上点、直线的求法,2.教学重点难点：,1).三视图的对应关系,2).点、线、面的投影及投影规律,3).直线上点的求法,4).平面上点、直线的求法,2-1 投影法概述,一、投影法基本概念,二、投影法分类,三、投影法的基本特性,四、投影法应用,光线（光源）投射线（投射中心） 地（墙）面投影面 影 子投影 投影法：在投影面上获得物体
2、投影的方法。,一、投影法基本概念,投射线,投射中心,投影面,投影,物体位置改变，投影大小也改变,中心投影法,二、投影法分类,投影方法,中心投影法,平行投影法,正投影法,斜投影法,画透视图,画斜轴测图,画工程图样及正轴测图,斜角投影法,平行投影法,三、投影法的基本特性,1.实形（长）性,直线段（或平面）平行于投影面，其投影反映线段的实长（或平面的实形）。,实形(长)性,AB = ab,ABC abc,2.点分线段之比投影后不变。,AC :CB = ac :cb,AB :CB = ab :cb,定比性,3.当平面与投射面倾斜时,其投影为实形的类似形。,类似性,4.其它特性详见表2-2。,四、投影法
3、应用,按照用途和形体的结构特点，工程上常用以下几种投影图：,1.透视图,2.轴测图,3.多面正投影图,4.标高投影,按正投影法原理绘制的标高投影,2-2 三面投影,一、三面投影的形成,二、视图,一、三面投影的形成,采用多面投影。,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,1. 单面投影,a,2. 三面投影,1）投影面,正面投影面（简称正面或V面）,水平投影面（简称水平面或H面）,侧面投影面（简称侧面或W面）,OX轴 V面与H面的交线,OY轴 H面与W面的交线,三个投影面互相垂直,2）投影轴,OZ轴 V面与W面的交线,二、视图,1.
4、 视图的概念,利用正投影法得到的投影，即物体在V、H和W面上的三个投影，通常称为物体的三视图。其中三个投影分别称为：主视图（正面投影）、俯视图（水平投影）、左视图（侧面投影）。,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,向右翻,向下翻,不动,2. 三视图的方位关系,主视图物体的上、下和左、右 俯视图物体的前、后和左、右 左视图物体的上、下和前、后,3.三视图之间的投影关系,主、俯视图-长对正； 主、左视图-高平齐； 俯、左视图-宽相等,2-3 点、直线、面的投影,一、点的投影,二、直线的投影,三、平面的投影,一、点的投影,1. 点的三面投影,规定：空间点用大写字母表示，点的三个投影都用同一个
5、小写字母表示。其中H 投影不加撇，V 投影加一撇，W 投影加两撇。,投影,投影面的展开如左边两图所示其边框可以不画，最后得到的三面投影图如右图所示。,2.点的投影规律, aaOX轴, aax= aaz=y=A到V面的距离,aax= aay=z=A到H面的距离,aay= aaz=x=A到W面的距离,aaOZ轴,例：已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,通过作45线使aaz=aax,解法二:,用圆规直接量取aaz=aax,3. 重影点及点的相对位置,重影点：在同一条投射线上的两点，其在某投影面上的 投影重合，称这两点为该投影面的重影点。重影点的可见性由两点的相对位置判
6、别，对V、H和W面的重影点分别为前遮后、上遮下、左遮右，不可见点的投影一般以加括号表示。,a,b,a,(b),a”,b”,X,O,Z,O,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。,判断方法：, x 坐标大的在左, y 坐标大的在前, z 坐标大的在上,b,a,a,a,b,b,B点在A点之前、之右、之下。,X,YH,YW,Z,二、直线的投影,1. 一般位置直线及直线上点的投影,一般位置直线的三面投影都为倾斜且缩短的直线。直线对H、V、W面的倾角用、表示，则ab=ABcos ab=ABcos ，a”b”=ABcos ,一般位置直线的三面投影均不反映实长及倾角的大小，通常用直角三角形法
7、求其实长及倾角的真实大小。如例题2-3。,2. 特殊位置直线的投影特性, 投影面平行线, 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实大。, 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。,水平线,侧平线,正平线,投 影 特 性：,实长,实长,实长,（2）投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线, 另外两个投影，反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。, 在其垂直的投影面上，,投影有积聚性。,投影特性:,3. 两直线的相对位置,空间两直线的相对位置有三种：平行、相交和交叉。,) 两直线平行,投影特性：,空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，且保持定比性，反之亦然。,a,b,c,
8、d,c,a,b,d,例：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。所以AB/CD,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。求出侧面投影后可知：AB与CD不平行。,2.) 两直线相交,判别方法：,若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。,交点是两直线的共有点,例：过C点作水平线CD与AB相交。,先作正面投影,3.) 两直线相交叉：没有公共点,总结：若两空间直线平行，则投影均平行；若两空间直线垂直，则投影均垂直；若两空间直线相交叉，则投影都不
9、符合前两种投影特性。,4. 直角投影定理,定理：相互垂直的两直线，若其中一直线为投影面的平行线，则两直线在该投影面上的投影反映直角。注意：该定理的逆定理也成立，常用来求解有关距离的问题。,设直角边BC/H面 因 BCAB, 同时BCBb 所以 BCABba平面,直线在H面上的投影互相垂直,即 abc为直角,因此 bcab,故 bc ABba平面,又因 BCbc,证明：,a,b,c,a,b,c,例：过C点作直线与AB垂直相交。,三、平面的投影,1. 平面的表示方法,相交两直线,两平行直线,三角形,直线与直线外一点,不在一直线的三点,2. 各种位置平面的投影特性,投影面垂直面,投影面平行面,一般位
10、置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,a,b,c,a,c,b,c,b,a,类似性,类似性,积聚性,铅垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线；该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小；在其它两个投影面的投影面积都小于原平面图形的类似性。,为什么？,） 投影面垂直面,）投影面平行面,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,） 一般位置平面,投影特性：三个投影都类似。,3. 平面内的点和直线,1.）平面上
11、的直线和点,点在平面上的条件：点在平面内的某一直线上,直线在平面上的条件：通过平面内两点或通过平面内一点，且平行于平面内一直线,先定线再定点,两点定一线,一点一线定线,例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,面上取点的方法：,k,b,例2：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。,解法一,解法二,2.）平面内的投影面平行线,定义：既在给定平面内，又平行于投影面的直线，称为该平面内的投影面平行线。它有平面上的水平线、正平线和侧平线三种 。,平面上的投影
12、面平行线,在左图中，AE在,ABC内，ae/ox,轴即AE/V面，故AE为,ABC平面,内的正平线，同理CD为该平面内 的水平线。,2-4 直线与平面、两平面的相对位置,一、直线与平面、平面与平面平行,二、直线与平面、平面与平面相交,一、直线与平面、平面与平面平行,直线与平面平行的几何条件：若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。 平面与平面平行的几何条件： 若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。,a,c,b,m,a,b,c,m,例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。,
13、有无数解,正平线,例2：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。,c,b,a,m,a,b,c,m,唯一解,平行直线的同面投影互相平行,二、直线与平面、平面与平面相交, 直线与平面相交,直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况，即直线或平面垂直于投影面的情况。,要讨论的问题：,求直线与平面的交点。, 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。, 平面为特殊位置,直线与平面相交，平面与平面相交其关键点是求交点和交线，并判别可见性。其实质是求直线与平面的共有点、两面的共有线。,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m,例：求直线MN与平面ABC的交
14、点K并判别可见性。,空间及投影分析,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。, 求交点, 判别可见性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。,还可通过重影点判别可见性。,1(2),作 图,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c, 直线为特殊位置,空间及投影分析,直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。, 求交点, 判别可见性,点位于平面上，在前；点位于MN上，在后。故k 2为不可见。,1(2),作图,用面上取点法, 两平面相交,两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都
15、是两平面的共有点。这里只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,要讨论的问题：, 求两平面的交线,方法：, 确定两平面的两个共有点。, 确定一个共有点及交线的方向。, 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),空间及投影分析,平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。, 求交线, 判别可见性,作 图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,能!,如何判别？,例：求两平面的交线MN并判别可见性。
16、,b,c,f,h,a,e,a,b,c,e,f,h,1(2),空间及投影分析,平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。ab与ef的交点m 、 b c与f h的交点n即为两个共有点的正面投影，故mn即MN的正面投影。, 求交线, 判别可见性,点在FH上，点在BC上，点在上，点在下，故fh可见，n2不可见。,作 图,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N点的水平投影n位于def的外面，说明点N位于DEF所确定的平面内，但不位于DEF这个图形内。所以ABC和DEF的交线应为MK。,互交,本章小结,2. 点与直线及两直线的相对位置的判断方法及直角定理。,4. 直线与平面、平面与平面之间的相对位置，其实质是找交点或交线并判别点或直线的可见性。,1. 投影法与点、直线、平面的投影规律，尤其是特殊位置平面的投影特性。,3. 平面内点和直线的作图及判别。,
