1、,二阶线性微分方程解的结构,第五节,二、线性齐次方程解的结构,三、线性非齐次方程解的结构,一、二 阶线性微分方程的一般形式及函数组的线性相关性,第七章,n阶线性微分方程,时, 称为非齐次方程 ;,时, 称为齐次方程.,复习: 一阶线性方程,通解:,非齐次方程特解,齐次方程通解Y,下面考虑二阶线性微分方程的解,时, 称为非齐次方程 ;,时, 称为齐次方程.,复习: 一阶线性方程,通解:,非齐次方程特解,齐次方程通解Y,证毕,二阶线性齐次方程解的解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,证:,代入方程左边, 得,(叠加原理),定理1.,说明:,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,
2、对于二阶齐次微分线性方程,是它的一个的解,也是它的一个解,并不是通解,但是,因为,是它的另一个的解,定义:,是定义在区间 I 上的,n 个函数,使得,则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关.,例如，,在( , )上都有,故它们在任何区间 I 上都线性相关;,又如，,若在某区间 I 上,必需全为 0 ,则,在任何区间 I 上都 线性无关.,若存在不全为 0 的常数,两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:,线性相关,存在不全为 0 的,使,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为 0, 则,必线性,相关,定理 2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解, 则,数) 是该方
3、程的通解.,例如, 方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,结论一： 二阶齐次线性微分方程的求解问题转化为 求两个线性无关的特解的问题,三、非齐次线性微分方程解的结构 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 3,的特解,的特解. (非齐次方程之解的叠加原理),推论1： 非齐次线性微分方程的解与其对应的齐次微分方程 的解之和仍然是非齐次线性微分方程的解,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理 4.,则,是非齐次方程的通解 .,证: 将,代入方程左端, 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,是非齐次方程的解,又Y 中含有,两个独立任意常数,例如, 方程,有特解
4、,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,证毕,因而 也是通解 .,结论二： 二阶非齐次线性微分方程的求解问题转化为 求对应的齐次微分方程的通解和非齐次微分 方程的一个特解的问题,*一般求解方法： 1：通过变量替换降阶降阶法 2：通过对齐次方程的同解进行常数变易求非齐次方程的通解常数变易法,上述关于二阶线性微分方程可推广至n阶,定理 5.,是对应齐次方程的 n 个线性,无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,例3.,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解 .,解:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,作业P 312 1（口头）；2；3；4,第八节 目录 上页 下页 返回 结束,
