1、在概率论发展早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个样本点的随机试验是不够的，还必须考虑试验结果是无穷多个的情形，这中间最简单的一类是试验结果是无穷多个，而又有某种“等可能”的情形.,如,二. 几何概率,1.定义,向任一可度量区域G内投一点，如果所投的点落在G中任意可度量区域g内的可能性与g的度量成正比，而与g的位置和形状无关，则称这个随机试验为几何型随机试验。或简称为几何概型。,2. 概率计算,P(S)= kG的度量=1,在几何概型中，样本空间为S=G, G中的点是样本点,设A=投点落入区域g内，则有,P(A)=kg的度量,因为,所以有,k =1/G的度量,因此,P(A)= g的度量/ G
2、的度量,例1. 两人约定于12点到1点到某地会面，先到者等20分钟后离去，试求两人能会面的概率？,解：设x, y分别为两人到达的时刻（12时x分，y分）,问题可以看作是向平面区域G内投点。,由于两个人分别“等可能”地在12点-1点的任何时刻达到，故可看作几何概型,设A表示“两人能会面”，则有,A=(x, y): |x-y| 20,20,20,所以,我们已经讨论了古典概型和几何概型中事件概率的计算方法。在这两种计算方法中，“基本事件的发生是等可能的”是一基本假定。,然而在许多实际问题中，古典概型和几何概型的这一基本假定并不成立。,例如 从同一型号的反坦克弹中任取一发射击目标，观察命中情况,S=命
3、中，不命中,设,A=命中,求,三.概率的频率定义,1. 事件的频率,设试验E的样本空间为S, A为E的一个事件。把试验E重复进行n次，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数。比值nA/ n称为在这n次试验中，事件A发生的频率，记作fn(A).,fn(A) = nA /n,表示事件A发生的频繁程度。频率大，事件A发生就频繁，意味着事件A在一次试验中发生的可能性就大，反之亦然。,直观想法是用频率来近似事件 A 在一次试验中发生的可能性的大小，但是这种近似是否可行呢？,我们在相同条件做10次试验，每次试验为抛掷5次硬币，观测正面朝上(A)的次数,事件A在各次试验中频率分别为,0.4
4、, 0.6, 0.2, 1.0, 0.2, 0.4, 0.8, 0.4, 0.6, 0.6,2. 频率的稳定性,我们在相同条件做10次试验，每次试验为抛掷50次硬币，观测正面朝上(A)的次数,事件A在各次试验中频率分别为,0.44, 0.50, 0.42, 0.50, 0.48, 0.42, 0.36, 0.48, 0.54, 0.62,我们在相同条件做10次试验，每次试验为抛掷500次硬币，观测正面朝上(A)的次数,事件A在各次试验中频率分别为,0.502, 0.498, 0.512, 0.506, 0.502, 0.492, 0.488, 0.516, 0.524, 0.494,掷一枚均匀
5、硬币，记录前500次掷硬币试验中频率p*的波动情况。 掷一枚硬币，正面出现频率的趋势（横轴为对数尺度）,从上述数据可以看出，在重复试验次数 n 较小时，事件A发生的频率在0至1之间随机波动，其幅度较大；但是，随着 n的增大，频率的摆动幅度减小，逐渐稳定于0.5。,长期实践表明，在重复试验中，事件A发生的频率 fn(A)总在一个常数值附近摆动，而且，随着重复试验次数 n 的增加，频率的摆动幅度越来越小. 观测到的大偏差越来越稀少 ，呈现出一定的稳定性.频率的稳定性,3概率的频率定义,在一组不变的条件下，重复作n次试验，记m是n次试验中事件A发生的次数。当试验次数n很大时，频率m/n稳定地在某数值
6、 p 附近摆动，而且一般地说，随着试验次数的增加，这种摆动的幅度越来越小，称数值 p 为事件A在这一组不变的条件下发生的概率，记作P(A)=p.,4. 频率的基本性质,设A，A1，A2，An是 E 中事件, 则有, 0 fn(A)1, fn (S)=1, 若A1，A2，An是互不相容的事件，则有,5频率定义概率的意义,（1）它提供了一种可广泛应用的，近似计算事件概率的方法。我们让试验重复大量次数，计算事件A发生的频率，用它来近似事件A的概率。,（2）它提供了一种检验理论正确与否的准则。,五. 概率的公理化定义,虽然概率的频率定义克服了“基本事件发生是等可能的”这一假定所带来的限制，但是这种方法
7、在理论上不够严谨。科学特别是数学的发展，不仅要求能更深刻反映内在本质的概率公理化体系的出现，同时也为此准备了必要的理论基础。正是在这种背景下，柯尔莫哥洛夫于1933年提出了举世公认的概率公理化体系，从而明确定义了概率论的基本概念，使概率论成为一门严谨的数学分支，为现代概率论的蓬勃发展奠定了坚实的基础。,下面扼要介绍这个公理体系事件概率的定义，即概率的公理化定义。,设试验E的样本空间为S，事件域为包含S, 和满足一定条件的S的一些子集组成的集合，P为定义在事件域上的一维实函数,P : R1A P(A),该一维实函数满足下面三条公理：,公理3：若事件A1,A2,Ak,互不相容，则有,公理1：对任一
8、事件A，有P(A)0；,公理2：对必然事件S，有P(S)=1；,那么称P(A)为事件A的概率, 称(S , , P)为一概率空间,2概率的性质,(1),证明：,令 An= (n=1, 2, ),则,由可列可加性知,（2）有限可加性:,若A1，A2，An互不相容，则,证明：,令 An+1= An+2= =，,则有,由可列可加性知,(3) 若A B, 则有P(BA) = P(B) P(A)P(A) P(B) 特别地，对任何事件A，都有P(A) 1;,对事件A，有,又因 再由性质 3便得,(4) 对任何两个事件A, B，都有,(5) 对任何n个事件A1，A2，An, 都有,（6）概率的连续型,如果A
9、1A2 An , 就称事件序列Aj=Aj| j=1,2,.是单调增的; 如果B1B2 Bn ，就称事件序列Bj=Bj| j=1,2,.是单调减的.,定理：设Aj和Bj是事件序列.,(1) 如果 Aj 是单调增序列， 则,(2) 如果 Bj 是单调减序列， 则,例 2,(1) 若事件A与B互不相容, 求,（2）若A B, 求,（3）若P(AB)=1/8, 求,设P(A)=1/3, P(B)=1/2,解：,(1),（2）若A B, 求,例 2 设P(A)=1/3, P(B)=1/2,解：,(2),（3）若P(AB)=1/8, 求,(3),例3 设元件盒中装有50个电阻，20个电感，30个电容，从盒
10、中任取30个元件，求所取元件中至少有一个电阻同时至少有一个电感的概率.,所求概率为P(AB),例3 设元件盒中装有50个电阻，20个电感，30个电容，从盒中任取30个元件，求所取元件中至少有一个电阻同时至少有一个电感的概率.,A=所取元件中至少有一电阻,B=所取元件中至少有一电感,例4. 甲、乙两人先后从52张牌中各抽取13张,求甲或乙拿到4张A的概率.1) 甲抽后不放回，乙再抽; 2) 甲抽后将牌放回，乙再抽.,1)A、B互斥,P(A+B)=P(A)+P(B),解：设A=甲拿到4张A， B=乙拿到4张A,所求为P(A+B),计算P(A)和P(B) 时用古典概型,2) A、B相容,P(A+B)
11、=P(A)+P(B)P(AB),设A=甲拿到4张A， B=乙拿到4张A,所求为P(A+B),例4. 甲、乙两人先后从52张牌中各抽取13张,求甲或乙拿到4张A的概率.2) 甲抽后将牌放回，乙再抽.,例5. m个听众随机走进n(nm)个会场, 求每个会场都至少有一个听众的概率qm？,解: 我们用 Ai 表示第 i 个会场没有听众, 用B表示至少有一个会场没有听众, 则,我们要计算,例5. m个听众随机走进n(nm)个会场, 求每个会场都至少有一个听众的概率qm？,Ai 表示第 i 个会场没有听众,由于,且记,例5. m个听众随机走进n(nm)个会场, 求每个会场都至少有一个听众的概率qm？,Ai 表示第 i 个会场没有听众,由于,且记,例5. m个听众随机走进n(nm)个会场, 求每个会场都至少有一个听众的概率qm？,Ai 表示第 i 个会场没有听众,由于,且记,例5. m个听众随机走进n(nm)个会场, 求每个会场都至少有一个听众的概率qm？,Ai 表示第 i 个会场没有听众,由于,且记,例5. m个听众随机走进n(nm)个会场, 求每个会场都至少有一个听众的概率qm？,Ai 表示第 i 个会场没有听众,由于,且记,例5. m个听众随机走进n(nm)个会场, 求每个会场都至少有一个听众的概率qm？,Ai 表示第 i 个会场没有听众,所以,由此,
