1、第五章 相似矩阵及二次型,1 预备知识 向量的内积,定义 1 设有 n 维向量,令 x , y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn ,称 x , y 为向量 x 与 y 的内积.,内积具有下列性质：,1. x , y = y , x ;,3. x + y , z = x , z + y , z ;,4. x , x 0,其中 x，y，z 是为向量，,易知, x , y = xTy .,当且仅当时x = 0 时 x , x = 0.,定义 2 非负实数,称为 n 维向量 x 的长.,向量的长具有性质：,长为 1 的向量称为单位向量.,若向量 x 0 ,如果 x , y = 0 ，
2、那么称向量 x 与 y 正交.,一组两两正交的非零向量.,正交向量组:,那么它应满足,由,得,规范正交向量组:,定理 1 正交向量组必线性无关.,证 设向量组 a1 , a2 , , ar 是正交向量组,类似的可证,于是向量组 a1 , a2 , , ar 线性无关.,但不为正交向量组.,向量组 e1 , e2 , , er 为规范正交向量组，当且仅当,若有一组数,由单位向量构成的正交向量组.,设向量组 a1 , a2 , ar 线性无关，则必有规范正交向量组,正交化：,单位化：,于是，e1 , e2 , , er 是规范正交向量组，,且与 a1 , a2 , , ar,等价.,e1 , e2
3、 , , er 与 a1 , a2 , , ar 等价.,e1 , e2 即为所求.,取它的一个基础解系,再把b2 , b3正交化即为所求a2 , a3 .,也就是取,定义 3 设 n 维向量 e1 , e2 , , er 是向量空间 V 的一个基,如果向量组 e1 , e2 , , er 为规范正交向量组，,则称 e1 , e2 , . ,向量组 a1 , a2 , a3 是所求正交向量组.,er 是 V 的一个规范正交基.,所以对齐次方程组,定义 4 如果 n 阶矩阵 A 满足,那么称 A 为正交矩阵.,n 阶矩阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列（行）向,设n 阶矩阵 A = (
4、 a1 , a2 , , an ) , 其中 a1 , a2 , , an 是,或者说, n 阶矩阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列,A为正交矩阵，即是,ATA = E ,都是正交矩阵.,例 6,（行）向量组构成向量空间 Rn 的一个 规范正交基.,A的列向量组.,量组是规范正交向量组.,由此可见， A 为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列（行）向量,组是规范正交向量组.,定义 5 若 P 为正交矩阵，则线性变换 x = Py 称为正交变换.,线性变换的系数构成矩阵,于是线性变换（）,就可以记为,x = Py,都为正交变换.,例 7,若 线性变换 x = Py 为正交变换，,a ,
5、b 为任意两个向量.那么,这是因为,特别的，,2 方阵的特征值与特征向量,定义6 设 A 是 n 阶矩阵，,和 n 维非零列向量 p,非零向量 p 称为 A 的对于特征值,称为方阵 A 的特征多项式.,称为n 阶矩阵 A 的特征方程.,(1)式也可写成,使得,行列式,求 n 阶方阵 A 的特征值与特征向量的方法：,1 求出矩阵的 A 特征多项式,特征值.,它的非零解都是,例1 求矩阵,的特征值和特征向量.,解 A 的特征多项式为,于是，,所以，A 的特征值为,得基础解系,解方程组(A - E)x = 0.由,其中k为任意非零数.,得基础解系,例 2 求矩阵,的特征值和特征向量.,解 A 的特征
6、多项式为,其中k是任意非零数.,所以，A 的特征值为,解方程组(A - 3E)x = 0.由,得基础解系,的全部特征向量为 kp1 ,解方程组(A - E)x = 0. 由,其中k为任意非零数.,得基础解系,的全部特征向量为 k p2 + l p3 ,其中数,证 对特征值的个数 m 用数学归纳法.,由于特征向量是非零向量，,所以，m = 1 时定理成立.,量是线性无关的，,令 p1 , p2 , pm 依次 为m 个不等的特征值,下面证明 p1 , p2 , pm,p1 , p2 , pm,k, l不同时为零.,依次是与之对应的特征向量,那么 p1 , p2 , pm 线性无关.,假设 m 1
7、 个不同的特征值的特征向,线性无关.,设有一组数 x1 , x2 , , xm 使得,x1 p1 + x2 p2 + xm pm = 0 (1),成立.,以矩阵 A 左乘式 (1) 两端,得,（3）式减（2）式得,根据归纳法假设， p1 , pm -1 线性无关，,所以 , x1 = 0 , . , xm 1= 0.,这时（1）式变成， xm pm = 0 .,因为 pm 0，,所以只有xm = 0 .,这就证明了p1 , p2 , pm 线性无关.,归纳法完成，定理得证.,于是,p1 , p2 依次是与之对应的,那么向量组 p1 , p2 线性无关,证 设有一组数 x1 , x2 使得,x1
8、 p1 + x2 p2 = 0 (1),成立.,以矩阵 A 左乘式 (1) 两端,得,（3）式减（2）式得,所以 x1 = 0 .,这样（1）式变成， x2 p2 = 0 .,因为 p2 0，,所以只有x2 = 0 .,这就证明了p1 , p2 线性无关.,特征向量，,所以有向量 p 0 使，,于是，,求上三角矩阵,练 习,的特征值与特征向量.,的特征值,3 相似矩阵,定义 7 设 A , B 都是 n 阶矩阵，,P -1AP = B ,则称矩阵 A 与 B 相似，,可逆矩阵 P 称为把 A 变成 B 的相似变换,则 A 与 B 的特征多项式相同,从而 A 与 B 的特征值也相同.,证 因为
9、A与 B 相似，,故,定理 3 若 n 阶矩阵 A与 B 相似，,所以有可逆矩阵 P，使 P -1AP = B ,若有可逆矩阵P ，使,证毕.,矩阵.,相似，,由定理 3 知，,定理 4 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件是:,定理4的证明 如果可逆矩阵 P, 使,若记矩阵,也就是,n 个线性无关的特征向量.,推论 若 n 阶矩阵 A 与对角矩阵,推论 如果 n 阶矩阵A的特征值互不相等，,则A与对角矩阵相似,A 有,P = ( p1，p2 , , pn ) ,A( p1 , p2 , , pn ) = ( p1 , p2 , , pn ),即为 (A p1 , A p2 , , A
10、 pn ) =,再由 P 是可逆矩阵便可知，,反之，如果 n 阶矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量 p1 , p2 , ,于是，应有数,以向量组 p1 , p2 , , pn 构成矩阵 P = ( p1，p2 , , pn ) ,则P,矩阵，,即 A与对角矩阵相似.,p1 ,p2 , , pn 就是 A 的 n 个线性,其中 p1 , p2 , , pn 是 P 的列向量组, 就有,为可逆矩阵，,无关的特征向量.,pn ,2 例1中的 3 阶矩阵,只有 2 个线性无关的特征向量，,2 例2中的矩阵,是 A 的特征值 3 的线性无关的特征向量,所以它不可能与对角矩阵相似.,是 A 的特征值
11、1 的线性无关的特征向量.,P = ( p1 , p2 , p3 ) =,于是， 3 阶矩阵A 恰有 3 个线性无关的特征向量 p1 , p2 , p3 ，,则 P 为可逆矩阵，且,P -1A P =,所以它能与对角矩阵相似.,令,例 1 判断下列矩阵是否与对角矩阵相似，若是，求出相似,解 A 的特征多项式为,因此 A 的特征值为,变换矩阵和对角矩阵,得基础解系,解方程组(A - E)x = 0.由,得基础解系,令,则 可逆矩阵 P 为所求相似变换矩阵, 且,于是，3 阶矩阵 A有 3个线性无关的特征向量，,所以它能与对角,矩阵相似.,例2 设 2 阶矩阵 A 的特征值为1, 5, 与特征值对
12、应的特征,求 A .,解 因为 2 阶矩阵 A 有2个互异的特征值，,取,应有,所以,据定理 4 的推论，,A 能与对角矩阵相似.,向量分别为,例3 社会调查表明，某地劳动力从业转移情况是：在从农,解 到2001年底该地从农工作和从事非农工作人员占全部劳,如果引入 2 阶矩阵,表示每年非农从业,人员中有1/20改为从农工作.,表示每年从农人员中有,3/4改为从事非农工作.,于是有,业情况以及经过多年之后该地劳动力从业情况的发展趋势,员各占全部劳动力的1/5和4/5，试预测到2005年底该地劳动力从,人员中每年有3/4改为从事非农工作，在非农从业人员中每年有,1/20改为从农工作. 到2000年
13、底该地从农工作和从事非农工作人,动力的百分比分别为,和,再引入 2 维列向量,其分量依次为到某年底从农工作和从事非农,表示到2000年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳,如向量,那么，2001年底该地从农工作和从事非农工作,于是，到2005年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部,劳动力的百分比应为,k 年后该地劳动力的从业情况可由,矩阵A的特征多项式,Ax,工作人员各占全部劳动力的百分比,动力的1/5 和4/5,人员各占全部劳动力的百分比就可由下述运算得出,对应的特征向量，,对应的特征向量，,则 P 为可逆矩阵，,所以,矩阵相似.,据定理4的推论， A 能与对角,且使得,类似的，第
14、 k 年底该地劳动力的从业情况为,按此规律发展，多年之后该地从农工作和从事非农工作人员占,全部劳动力的百分比趋于,例 4 如果,于是 A 与 B 的特征多项式 相同，但 A 与 B 不相似.,特征多项式相同的矩阵未必相似.,即 ，多年之后该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动,力的6/100 和 94/100.,那么,4 对称矩阵的相似矩阵,定理5 实对称矩阵的特征值为实数.,p 为 对应的特征向量.,于是有,两式相减，,因为 p0,则 p1 与 p2 正交.,p1, p2 依次,是它们对应的特征向量.,即,定理 6,定理 7 设 A 为 n 阶对称矩阵 ,线性无关的特征向量.,即 p1与
15、 p2 正交.,恰有 r 个,因为 A 是实对称矩阵，,所以,于是,证 由已知有,r 重根,左乘（2）式的两端得,重数依次为 r1 , r2 , , rm ,于是, r1 + r2 + + rm= n .,恰有 ri 个线性无关的实特征,向量, 把它们正交单位化，即得 ri 个单位正交的特征向量, i =1,2，, , m .由 r1 + r2 + + rm= n .,知这样的特征向量恰有 n 个.,又实对称矩阵不等的特征值对应的特征向量正交( 根据定理6 )，,故这 n 个特征向量构成规范正交向量组.,以它们为列构成矩阵 P ,它们的,定理 5及定理 7 知，,根据,则为 P 正交矩阵，,并
16、有,恰 是 A的n 个特征值.,定理 8 设 A 为 n 阶对称矩阵，则必有正交矩阵 P ,使,是以 A 的 n 个特征值为对角元素的对角矩阵.,为对角矩阵,于是得正交矩阵,P = ( p1, p2, p3 ),且使得,将其规范正交化.,解 A 的特征多项式为,为对角矩阵,再单位化得,正交化： 取,于是得正交矩阵,P = ( p1 , p2 , p3 ),且使得,5 二次型及其标准形,定义 8 n 个变量 x1 , x2 , , x n 的二次齐次函数,f (x1 , x2 , , xn ) =,称为二次型.,于是（1）式可写成,f (x1 , x2 , , xn ),对二次型 (1) ，记,
17、则二次型 (1) 又表示为,f (x1 , x2 , , xn )=,其中 A 为对称矩阵，,叫做二次型 f (x1 , x2 , , xn ) 的矩阵，,也把 f (x1 , x2 , , xn ) 叫做对称矩阵 A 的二次型.,对称矩阵 A 的秩，,叫做二次型 f (x1 , x2 , , xn ) = xTA x 的秩.,二次型 f (x1 , x2 , , xn )经过可逆的线性变换,即用(3) 代入 (1) ，,还是变成二次型.,那么新二次型的矩阵与,原二次型的矩阵 A 的关系是什么？,可逆线性变换 (3),记作,x = C y ,f (x1 , x2 , , xn ),g(y1 ,
18、 y2 , , yn ),x = C y,可逆线性变换,( AT = ) A,B ( = BT ),C TAC =,把可逆的线性变换 x = C y 代入二次型 f = xTA x , 得二次型,f = xTA x = (C y)TA(C y) = yT(C TAC ) y,就是说，若原二次型的矩阵为 A ，,那么新二次型的矩阵为,其中 C 是所用可逆线性变换的矩阵,定理 9 设有可逆矩阵 C ,使 B = CTAC ,如果 A为对称矩阵，,则B也为对称矩阵，,且R(A) = R(B) .,CTAC ,即 B 为对称矩阵.,因为 B = CTAC ，,所以R(B) R(AC) R(A) .,因
19、为,所以 R(A) R( BC -1) R(B) ,故得 R(A) = R(B).,A=( CT )1BC 1，,证 因为 A 是对称矩阵,即 AT = A，,所以,BT = ( CTAC )T,= CTAT(CT )T,= CTATC,= B ,主要问题：求可逆的线性变换,将二次型 (1) 化为只含平方项，,即用(3) 代入 (1) ，能使,f (x1 , x2 , , xn ),称（4）为二次型的标准形.,总有正交变换,x = Py，,使 f 化为标准形,定理 8 设 A 为 n 阶对称矩阵，则必有正交矩阵 P ,使,是以 A 的 n 个特征值为对角元素的对角矩阵.,定理 10,也就是说，
20、已知对称矩阵A ，求一个可逆矩阵C 使,为对角矩阵.,例 1 用矩阵记号表示二次型,例 2 求一个正交变换 x = Py，把二次型,解 二次型的矩阵为,那么,化为标准形.,解 二次型的矩阵为,它的特征多项式为,于是正交变换为,例 3 求一个正交变换 x = Py，把二次型,化为标准形.,解 二次型的矩阵为,它的特征多项式为,正交化： 取,再单位化得,于是正交变换为,例4 已知在直角坐标系 o x1 x2中, 二次曲线的方程为,试确定其形状,解 先将曲线方程化为标准方程，,也就是用正交变换把二次型,化为标准形,二次型 f 的矩阵为,A的特征多项式为,于是 A 的特征值为,可求得对应的特征向量为,
21、将它们单位化得,令,就有,故在新坐标系o y1 y2中该曲线的方程为,这是一个椭圆,其短、长半轴长分别为,y1,y2,x1,x2,0,6 用配方法化二次型成标准形,例1 化二次型,为标准形,并求所用的变换矩阵.,就把 f 化成标准形,例2 化二次型,为标准形,并求所用的变换矩阵.,解 令,代入，再配方可得,所用线性变换矩阵为,所用变换矩阵为,7 正定二次型,定理 11 设实二次型 f = xTAx的秩为 r , 若有实可逆变换,x = Cy 及 x = Pz,使,定义 9 实二次型 f = xTAx 称为正定二次型，如果对任何,xTAx 0 .,正定二次型的矩阵称为正定矩阵.,定理 12 n
22、元实二次型 f = xTAx 为正定的充分必要条件是：,它的标准形的 n 个系数全为正.,则k1 ,k2 , kr中正数的个数与,中正数的个数相等,证 设可逆变换 x = Cy 使,x 0 , 都有,和,因为 C 是可逆矩阵,故,即二次型为正定的.,再证必要性.,用反证法. 假设有 ks0 ,则当 y = es 时，,其中es 是第 s 个分量为 1 其余分量都为 0 的 n 维向量.,这与 f 为正定相矛盾,因而 ki 0 , i = 1 ,2 , n .,推论 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是: A 的特征值全,定理13 对称矩阵 A 为正定矩阵的充分必要条件是：,阶主子式都为正. 即,为正,A 的各,先证充分性 .,设 ki 0 , i = 1 ,2 , n .,任给 x 0 ,
